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1、第9章高斯噪声中信号参量估计第1局部教学设计第9章教学设计授课日期年 月 日授课次序授课学时授课章节 或主题第9章高斯噪声中信号参量估计教学内 容提要（1） 9.1概述（2） 9.2高斯白噪声中信号单个参量估计（3） 9.3高斯白噪声中信号多个参量估计（4） 9.4高斯色噪声中信号参量估计目的与 要求（1）理解带限高斯白噪声和理想高斯白噪声中信号参量最大似然估计的 区别，熟练掌握高斯白噪声中振幅、相位、频率和时延等单个参量估计的估计 方法及性能分析，熟悉频率和时延参量估计的特点。（2）掌握高斯白噪声中多个参量估计的最大似然估计方法，熟悉多个参 量估计的性能指标。（3）掌握高斯色噪声中信号参量估
2、计的方法。知识点 归纳（1）高斯白噪声中信号参量最大似然估计。（2）高斯白噪声中振幅估计。（3）高斯白噪声中相位估计。（4）高斯白噪声中频率估计。（5）图斯白噪声中时延估计。（6）高斯白噪声中多个参量估计。（7）高斯色噪声中信号参量估计。156估计系统应该由一系列对不同频率区间匹配的滤波器并联所组成的，并且在各个匹配滤波器 后面接有包络检波器，如下图。0tT图924信号频率最大似然估计系统例设观测信号为尤(，)=Acos，+ e)+ ),其中A和为的常数，为 未知确实定参量，。为随机参量。噪声(。是均值为0、方差为的高斯白噪声，且与。相 互统计独立。根据观测信号X。)的样本为人(左二 1,2,
3、M),对信号的频率和相位。做 出估计。9. 2.5信号时延的估计1 .信号时延的最大似然估计量当信号时延是待估计的未知参量时，接收信号表示为x(t) = s(t - r) + n(t) 0t.rVar f N。2E W2(9.2.72)由此可见，提高信噪比2S/NO,增加信号的带宽(或减小信号的时宽)，可以减小信号时 延估计的方差下限，即提高信号时延估计的精度。166高斯白噪声中信号多个参量估计1 .信号多个参量的最大似然估计对于高斯白噪声中信号多个参量估计，接收信号模型为x(，) = sQ, * + Q) = s(，q,夕2，) + )式中：仇,66是有用信号s(/, g的加个未知参量；。=
4、,么?为未知参量向 量；)是均值为0、功率谱密度为N0/2的理想高斯白噪声。信号参量向量。=4，2，%/t的最大似然估计方程组为/). _ O；山=0 z =(9.3.4)信号参量向量，=4，&,T的最大似然估计就是最大似然估计方程组的解。2 .信号多个参量估计的性能指标对于待估计向量。=42,，为确定性的未知参量向量，如果估计向量 泊廓囱,.总1满足及例=e(9.3.5)那么估计向量 泊/,。丁称为未知参量向量夕=口,为,丁的无偏估计向量。对于待估计向量。=口力2,，,为随机的未知参量向量，如果估计向量 泊向,a, .,了满足仇同=仇闿(9.3.6)那么估计向量 泊/,其丁称为未知参量向量夕
5、=如,的无偏估计向量。对于待估计向量。=4,，t为确定性的未知参量向量，费希尔信息矩阵/的元 素为_ rain/7x(0 | o OlnpfxQ) | 3J ：；一匕J 殁 dOj_E 32 1nM口 I / dOidOj(9.3.9)设费希尔信息矩阵J的逆矩阵尹的元素为/.，那么参量盘的估计量瓦的克拉美-罗下限 为先。9.3 高斯色噪声中信号参量估计对于高斯色噪声中信号参量估计，本节只讨论两种情况：非随机相位信号和随机相位信 号的情况。非随机相位信号是指其待估计参量都是非随机变量，其中包括初始相位；随机相 位信号是指其初始相位为随机变量，而其他待估计参量都是非随机变量。对于随机相位信号 的情
6、况，初始相位作为随机参量在求似然函数时被平均掉了，它适用于窄带信号的情况。9.3.1 非随机相位信号的参量估计先讨论非随机相位信号单个参量的最大似然估计，再将所得结果推广到非随机相位信号 多参量估计的情况。1 .非随机相位信号单个参量的最大似然估计对于高斯色噪声中非随机相位信号的单个参量估计，接收信号为xQ) = s(t, 0) +(9.4.1)式中：。是有用信号s,e)的未知参量，是非随机参量；是均值为。、自相关函数为此) 的平稳高斯噪声。x(r)-5(r,)dr = 0(9.4.11)(9.4.7)非随机相位信号单个参量的最大似然估计方程为式中：函数g(c,8)满足积分方程6)dr =6)
7、J ()2 .非随机相位信号单个参量估计的克拉美罗不等式 对于参量。的无偏估计量克拉美-罗不等式为VarVarOga%d0 dO(9.4.16)3 .非随机相位信号振幅的最大似然估计对于高斯色噪声中非随机相位信号振幅的估计，接收信号为(9.4.17)(9.4.17)x(t) = s 亿 A) + n(t) = As(t) + n(t)式中：A是有用信号sQ, A)的幅度，是非随机参量；sQ)为确知信号；)是均值为0、自 相关函数为/?)的平稳高斯噪声。非随机相位信号振幅的最大似然估计方程为f /z(r)x(r) - A5(r)dr = 0(9.4.22)j o信号振幅A的最大似然估计量为I /
8、z(r)x(r)drXml 二 (9423)Jo/z(r)5(r)dr168式中：函数(切满足积分方程H。一 W)dr = s) j o信号振幅A的无偏估计量A的克拉美-罗不等式为VarA J ； 笠 &= J s力M_Jo dA dA J LJo 4.非随机相位信号多个参量的最大似然估计对于高斯色噪声中非随机相位信号的多个参量估计，接收信号模型为%。) = s(，, * + n(t) = s, 4, %,+ H。一 W)dr = s) j o信号振幅A的无偏估计量A的克拉美-罗不等式为VarA J ； 笠 &= J s力M_Jo dA dA J LJo 4.非随机相位信号多个参量的最大似然估
9、计对于高斯色噪声中非随机相位信号的多个参量估计，接收信号模型为%。) = s(，, * + n(t) = s, 4, %,+ (9.4.19)(9.4.26)(9.4.27)式中：q中2,，是有用信号用，另的加个未知参量，其中包括初始相位，它们是非随机 参量；夕=血，,为未知参量向量；是均值为。、自相关函数为的平稳 高斯噪声。信号未知参量向量。=口力2,，了的最大似然估计方程组为7sg，*。 叫7sg，*。 叫x(r)-5(r, )dr = 0i = 1,2，-，机(9.4.28)式中：函数功满足积分方程Tf Rn (r-r)g(r, gdc = s, g(9.4.29)j o对于信号的多个参
10、量估计，费希尔信息矩阵/的元素为=一片产2 1nMM3闿=的(工，)的,而(9,4,30)J dOidej Jo 涧 dOj费希尔信息矩阵/的逆矩阵为迎，设W=/T的元素为.尸 那么克拉美-罗不等式为VarR之先 i = 1,2,，加()4. 2随机相位信号的参量估计对于随机相位信号的参量估计，接收信号的似然函数是随机相位的函数，需耍将似然函 数对随机相位进行统计平均，得到平均似然函数，从而去掉随机相位作为随机因素的影响。在窄带信号情况下，接收信号x(r)可用复包络x(0表示为x(t) = Re， exp(j 次)(9.4.35)接收信号的复包络工。)由两局部组成 式中：AQ)exp(j 9.
11、10、9.12、9.15、9.16。教学 后记利用PPT、板书及仿真软件演不相结合的教学方法，以正弦信号作为典型 信号，以最大似然估计为代表，讨论了高斯噪声中信号参量估计。包括高斯白 噪声中单个和多个参量估计方法及性能分析，高斯色噪声中信号参量估计的方 法。通过仿真软件，演示了高斯白噪声中参量估计过程及性能分析，增加了教 学的直观效果。158第2局部教学内容9.1 概述信道噪声为加性高斯噪声，信号形式是正弦或余弦函数，而信号参量是未知的。以最大 似然估计为代表来讨论高斯噪声中信号参量估计。对于高斯噪声，按照白噪声和色噪声的分类来讨论信号参量估计。高斯白噪声按照时域 采样定理就可以使时域采样相互
12、统计独立，而高斯色噪声按照卡亨南-洛维展开使展开式的各 个分量相互统计独立。对于高斯白噪声，按照带限高斯白噪声和理想高斯白噪声的分类来讨论信号参量估计。 带限高斯白噪声可以用有限的时域抽样值代替时域的连续观测，而理想高斯白噪声需要时域 的连续观测。以理想高斯白噪声为代表，讨论高斯白噪声中信号参量估计。9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计2.1高斯白噪声中信号单个参量的最大似然估计设信息传输系统中发送设备发送的信号为s。,。)，信道的加性噪声为在观测时间 (0,7)内，接收设备的接收信号x)为x) =。) + 几 Q) 0tT)式中：e为单个被估计参量。高斯白噪声中单个信号参量最大似然估计需要的
13、条件是：发送信号sQ,e)的信号形 式；信道噪声小。是均值为0、方差为的高斯白噪声。1 .带限高斯白噪声情况对于。均值的带限高斯白噪声，其功率谱密度为& (=2I。& (=2I。H)de(9.2.10)ml求解最大似然估计方程就可以得到0的最大似然估计量般。当信号参量。的先验概率密度(9)时，最大后验估计方程为5 In p(例)d05 In p(例)d0Sin p(x|6) de=0(9.2.11)2 .理想高斯白噪声情况对于0均值的理想高斯白噪声),其功率谱密度为(9.2.12)(9.2.12)Gn3) = N0/2由于高斯白噪声的带宽无限大，需要对接收信号统计独立采样的数目为无限大，应该在
14、观测 时间(0,7)内连续观测接收信号。接收信号X。)的似然函数为p(x0) = F exp - J。x 一。)2 山 (9.2.13)式中:160N/2N/2F = lim(9.2.14)接收信号XO的对数似然函数为(9.2.15)In p(x|9) = In F N。对数似然函数对。求偏导，并令偏导数等于0,得最大似然估计方程为J /、7 nviSs。，。）0 x（/） sQ,e） 山J /、7 nviSs。，。）0 x（/） sQ,e） 山二0 ML(9.2.17)求解最大似然估计方程就可以得到0的最大似然估计量ml。那么估计量的如果被估计参量0是非随机参量，且估计量0是被估计参量0的无
15、偏估计, 克拉美-罗不等式为Var = W-)2- Ed2 lnp(x |d02ds(t, 0)d02dt(9.2.20)当信号参量e的先验概率密度p（e）时，最大后验估计方程为Sin p(例 x)dOSin p(例 x)dOSin p(x|9) + 5 In p(8)dOdOsQ,e)e = mapds(t,e)5 de-0doMAP(9.2.21)9. 2.2信号幅度的估计当信号幅度是待估计的未知参量时，接收信号表示为(9.2.22)(9.2.22)= s(，, A) + =As。)+ 0tT式中：sQ）为确知信号；A为信号幅度，是被估计参量，它可以是非随机或随机参量；儿 是均值为。、方差
16、为。；的理想高斯白噪声。1 .信号幅度的最大似然估计量信号幅度的最大似然估计方程为(9.2.23)(9.2.23)xQ) As s d/Jox ：A = Aml信号幅度的最大似然估计量为丁人心S山1Aml =1= kJ。M，)s由(9224)Jo /由EsO式中：S能量表示为Eo =1/山。J 02 .信号幅度估计系统的结构图921信号幅度最大似然 估计的相关器实现系统框图信号幅度A的最大似然估计量Aml由接收信号x(?)与信号5(0的相关运算获得，如 图921所示。信号幅度A的最大似然估计的匹配滤波器形式，如图922所示。%。)，对 S(t)的1匹配滤波器t=T时刻采样图信号幅度最大似然估计
17、的匹配滤波器实现系统框图3 .信号幅度估计的性能分析信号幅度A的最大似然估计量Aml是无偏估计。当信号幅度A是非随机变量，信号幅度A的最大似然估计量3ml是有效估计，最大似然 估计量Aml的方差为N /(2Es0) o例设观测样本为= A%+4 , k = l,2,.M , %是确知信号的样本，“是均 值为0、方差为巴；的高斯白噪声样本，A和均为未知的非随机参量。根据观测样本与对 A和做出估计，并分析估计性能。9. 2.3 信号相位的估计当信号相位是待估计的未知参量时，接收信号表示为xQ) = s(/,e)+ =A sin(函 + 夕)+ Qt T)式中：A为信号幅度，是常数；为角频率，是常数
18、；。为相位，是未知的被估计参量，它 可以是非随机或随机参量；)是均值为0、方差为的理想高斯白噪声。L信号相位的最大似然估计量相位的最大似然估计方程为1621620 x) - Asin(69f + 0)Acos(cot + O)dt=0o = ml(9.2.32)信号相位最大似然估计量为rT人6ml = arcta(9.2.36)J。x(t)coscotdt7tJ 02 .信号相位估计系统的结构信号相位最大似然估计系统的结构，如下图。图923信号相位最大似然估计系统3 .信号相位估计的性能分析在高信噪比情况下，当信号相位。是非随机变量，信号相位的最大似然估计量3ML是无 偏的，也是有效的，其方差
19、等于克拉美-罗下限N0/（2区）。例设观测信号为xQ） = Acos1+。） +孔，其中A和为的常数，。为 未知参量。噪声（。是均值为0、方差为的高斯白噪声。根据观测信号x）的样本 4（左= 1,2,求相位。的最大似然估计及克拉美-罗下限。9. 2.4 信号频率的估计当信号频率是待估计的未知参量时，接收信号表示为x（t） = co） + n（t） = A） sin（而 +。）+ n（t） 0tT（9.2.46）式中：AQ）为信号幅度，是的时间函数；力为角频率，是未知的被估计参量，它可以是 非随机或随机参量；。为相位，是在（0,2兀）上均匀分布的随机变量；）是均值为0、方差 为巴；的理想高斯白噪
20、声。L信号频率的最大似然估计量以频率为参量、以相位夕为条件的接收信号x）的似然函数px。）|例为(-K exp -(-K exp -1px(0 g),0 = F exp一exp父 nJ(9.2.47)式中:1 rT 9K = Fexpj 厂d，(9.2.48)N。_式中：Es =由为信号能量。 j o将px(t) |例对相位。在(0, 2兀)上求统计平均，得以频率。为参量条件的接收信号X。)的似然函数px(t) I co为式中:px(t) co = K exp2 7T0 exp2MNcos(9-J)学 27r= KexpJ 旦) l N。)rTMx x(?) A(r) sin cotdt =
21、M cosJoTMq - x(?)A(?) coscotdt = M sinM =4M； +g(9.2.56)(9.2.51)(9.2.52)(9.2.53)J = arctaeTcosco tdt J 07tx(t)smcotdt J 0=arcta(9.2.54)使似然函数px(t)|勿到达最大的就是的最大似然估计量由ml。因为(y)是V 的单调函数，因此使pxQ)l句最大，就等效于使A/?或最大。由于通过最大似然估计 方程得到最大似然估计量占ml的解析解比拟困难，因而转为求解使M最大的。但是得到 使M最大的。的解析解也比拟困难，采用将频率范围分为假设干小段，M最大的哪一小段所 对应的频率即为最大似然估计量ml。2.信号频率估计系统的结构设待估计的频率。是一定频率范围内的某个值，即乃切工电，。为了提高估计的精度, 选择适当的频率间隔Ag,将频率范围分为机个频率区间，即m =(以 一69/)/八(9.2.57)第i个频率区间的中心频率例为g = g +iAco i = 1,2,，/%(9.2.58)选择2个匹配滤波器，每一个匹配滤波器的通频带对应一个频率区间，每一个匹配滤波 器连接一个包络检波器，就得到对应一个频率区间的统计量因此，信号频率最大似然164