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1、第4章高斯白噪声中信号的检测（1 ）第1局部教学设计第4章教学设计（1）授课日期年 月 日授课次序授课学时授课章节 或主题第4章高斯白噪声中信号的检测：4.1高斯白噪声；4.2高斯白噪声中二 元确知信号的检测；4.3高斯白噪声中多元确知信号的检测教学内 容提要（1） 4.1高斯白噪声。（2） 4.2高斯白噪声中一元确知信号的检测：带限高斯白噪声中一 元确知信号的检测；理想高斯白噪声中二元确知信号的检测；通信 系统的检测性能分析；相干雷达系统的检测性能分析。（3） 4.3高斯白噪声中多元确知信号的检测：高斯白噪声中多元确 知信号的一般检测方法；高斯白噪声中多兀确知信号的止交检测方法。目的与 要求
2、（1）理解高斯白噪声的函义，熟悉高斯白噪声的统计特性及随机信号的 采样定理。（2）理解高斯白噪声对信号检测方法的影响，熟悉带限高斯白噪声和理 想高斯白噪声中信号检测方法的区别，熟练掌握高斯白噪声中确知信号的检测 方法及检测性能评价方法。（3）掌握高斯白噪声中多元确知信号的一般检测方法，熟悉高斯白噪声 中多元确知信号的正交检测方法。(4.2.25)(4.2.25)H,j x(1)SQ)d/-j x(1)SoQ)d. ? /3(6)检测系统结构理想高斯白噪声中二元确知信号检测系统的框图，如图422所示。0判决属0EK(l-rK)(4.2.48)(4.2.49)(4.2.50)VT =/3 -(E,
3、 - Rg)半1n4纭(1-)(4.2.51)第二类错误概率为“a出)=匚;高产令y = G (gR(7)/bG，那么第二类错误概率写为2P(。| 口)=L exp(-妙=文匕)。2兀2式中：叫是用变量口进行判决时对应的门限值，其表示式为接收机的性能主要取决于两种确知信号的平均能量Ek、噪声功率谱密度N0和两种确知 信号之间的时间互相关系数，而与所用信号的具体波形无关。4. 2.4相干雷达系统的检测性能分析(1)相干雷达系统检测的假设相干雷达对固定目标回波信号的检测就是二元确知信号的检测问题，其假设为(4.2.53)(4.2.53): %(?)= QtTH : X。)-邑 + 0 Z 00判决
4、乩判决H0图423相干雷达的最正确检测系统(3)检测统计量的概率密度对于相干雷达情况，有=0, Eo = 0,片长=片/2。在假设”。条件下，1) =几)， 检测统计量G是高斯随机变量，均值G|H0 = 0,方差VarG|”0 = 4 =N02。假设Ho下检测统计量G的条件概率密度函数为P(G |“。)=P(G |“。)=, expJ叫gI NEj(4.2.59)在假设i条件下，底。=邑心+ ),检测统计量G为也是高斯随机变量，均值为 EGH = E,方差为VarG|HJ = b： =N。g/2。假设下检测统计量G的条件概率密度函数为60(4)虚警概率P(G|H1) =1J兀MEexp -(G
5、-g)2ME(4.2.61)由假设“下检测统计量G的条件概率密度函数得到虚警概率为(4.2.62)式中：G = N0Ej2 , 0 = u。个NEj2。(5)检测概率由假设“I下检测统计量G的条件概率密度函数得到检测概率为/ exp - J 兀 N()E_/ exp - J 兀 N()E_(G - EJ2MEdG =,81rexp dv v a/2ti 式中：G-E、=山0耳/2, B-E、=VojN01/2。并令信噪比为d =2g/N()。例421在时间范围内，二元相干相移键控(CPSK)通信系统发送的二元信 号为) = Asing%, S(1) = - Asin 69J，其中，信号的振幅A
6、和频率”，并假定 发送两种信号的先验概率相等。二元信号在信道传输中叠加了均值为0、功率谱密度为N。/2 的高斯白噪声)。如果采用最小平均错误概率准那么，试确定检测判决式，并计算平均错误 概率。4.3高斯白噪声中多元确知信号的检测(1)多元信号检测的假设M元信号检测的假设为(4.3.1)设发送设备可能发送M个确知信号以(。/=1,2,M), H : x(Z)= s() + 0 Z T Hx :x(t)=4 + n(t) QtTHm : X(O = sM + Q) 0t检测统计量为TGk = f由J ()最大似然检测算法：假设G&最大，那么判定假设“女为真。 多元信号检测的框图如图431所示。2
7、.检测性能分析设M个确知信号互不相关，即T,由=0k(4.3.3)(4.3.5)(4.3.6)“。)图4.3.1 M元确知信号的最正确检测系统从而保证检测统计量G4 (% = 1,2,M)互不相关。为了方便，假定M个确知信号的能量相 等，即用=生= = Em =。假定各类假设的先验概率和各种错误判决的代价相等，因 此，各类假设的错误判决概率相等，且平均错误概率等于某一类假设的错误判决概率。以假 设修为真条件下的错误概率来计算平均错误概率。在假设乩下，检测统计量Gz的条件均值为TfE k-(4.3.8)石& |瓦由二Jo0 攵 w 1在假设下，检测统计量6攵的条件方差为NE/2。在假设下，检测统
8、计量G1的概率密度函数为62p(G I1 exp -(4.3.11)而诵 L ME在假设Hi下，检测统计量G& (k w 1)的概率密度函数为P& |H1) = =exp (4.3.12)亚诞 I ne)由于在假设况下各Gk互不相关，又是高斯随机变量，所以6攵是统计独立的。因此， 在假设“1为真的条件下，(G,G2，,Gm)的联合概率密度函数是各个G&概率密度函数的 乘积，即p(G0,Gm |H) = p(G|H)p(G2lW)p(G |耳)(4.3.13)由于假设为真，除P(GI1)外，其余P(Gk |I)的表示形式均一样，因此，平均 错误概率为R =1 P所有 G& N + l的坐标函数力
9、不需要具体设计。(2)似然函数利用构造的N个正交函数= 1,2,N),对任意假设下的接收信号x)进行正 交级数展开，级数展开的前N个展开系数为勺二：%(，)力。粒 j = 12r,N接收信号X”)的前N个展开系数与是相互统计独立的高斯随机变量。展开系数勺的均值取决于假设Hk o在假设Hk下展开系数勺的均值为=skj j = 12,N; k = 1,2,M(4.3.21)(4.3.22)Var区|%=E J：瓦+ 山%卜巾:=Eff几几力dMc=5( T)fj(” (C =少(4.3.23)在假设Hk下展开系数j的方差为可见，展开系数的方差与哪个假设“攵为真无关，都是N/2。由于展开系数吃之间是
10、互不相关的，所以为与匕之间的协方差C0 =0()。，)，C = Varxy Hk o由N个展开系数构成N维随机向量为(4.3.24)(4.3.25)在假设攵下，”的均值向量为Ak =，Nk2NkN 1 =瓦1 Sk2在每个假设下，X的协方差矩阵为64Gn 2Gn _ o0生 2*0在假设“k下，高斯随机向量X的N维联合概率密度函数为1r iT .i（./）=。什科20产2 expc （x（2兀）IC I L 21二(叫)M2 W广（Xj -3的）2 一 瓦）（2）最大似然检测算法最大似然检测算法：假设p（x |/）=max p（x Hii = 1,2 真。令检测统计量为NG)=Z(x 卢广 s
11、2) i = 12 ,Mj=i最大似然检测算法：假设G& =maxG,，= 1,2,那么判决假设“ 连续信号形式的检测统计量G,为NTG, =E(XM/sj/2) = Jo x3s：t-Ej2cT最大似然检测算法：假设GA=maxG = %2山耳/2 = 1,2, j oHk成立。其中Ej为确知信号勾的能量。多元信号检测的框图如下图。2.检测性能分析多元相关确知信号检测系统的检测性能仍然是平均错误概率，即M MPe=EEP（Hj）P（DkHj）k= i=l0(4.3.26)A.2 _-/k)一 )21kj，(4.3.27),那么判定假设H4为(4333) 成立。(4.3.35),M,那么判决假
12、设(4.3.37)0(4.3.26)A.2 _-/k)一 )21kj，(4.3.27),那么判定假设H4为(4333) 成立。(4.3.35),M,那么判决假设(4.3.37)Hk其基本方法仍然是先求出各假设”,下各检测统计量G&的概率密度函数p(G-,然后根 据判决式对p0 I乩)在相应区间积分，得各判决概率P3 |,最后计算平均错误概率。xQ)图4.3.3 M元相关确知信号的最正确检测系统如果各假设出现的先验概率p(”j相等，那么平均错误概率为(4.3.38)(4.3.38)那么各假设的错误1 M MiV1 k= i=Hk如果各假设出现的先验概率P(”J相等，且各假设下信号的能量相等, 判
13、决概率相等，平均错误概率为q = p(2l/)= 1-p(2 |/)= l-P所有 Gk，iwk,i = 12 ,以 k = 1,2,加 (4.3.39)式中：瓦代表错误判决。第3局部 教学小结本教学单元的主要内容是将将信号检测的基本理论具体应用到高斯白噪声中确知信号的 检测中。为了使学生更好地理解和掌握这局部教学内容，首先回顾高斯白噪声的统计特性和 随机信号的采样定理。在此基础上，以似然比检测方法为代表，讨论了带限和理想高斯白噪 声中二元确知信号检测方法，并分析它们似然函数的差异。以理想高斯白噪声为例，讨论了 高斯白噪声中二元确知信号检测性能分析方法。针对高斯白噪声中多元确知信号的检测，讨
14、论了一般检测方法和正交检测方法。希望课后认真复习，理解高斯白噪声对检测方法的影响，深刻理解带限和理想高斯白噪 声对观测信号似然函数的影响；通过做习题，掌握高斯白噪声中二元和多元确知信号检测方 法及性能分析方法。66知识点 归纳(1)高斯白噪声。(2)带限高斯白噪声中观测信号的似然函数。(3)理想高斯白噪声中观测信号的似然函数。(4)高斯白噪声中二元确知信号的检测方法。(5)高斯白噪声中一元确知信号检测性能的评价方法。(4)高斯白噪声中多元确知信号的一般检测方法。(4)高斯白噪声中多元确知信号的正交检测方法。教学重点(1)高斯白噪声中二元确知信号的检测方法。(2)高斯白噪声中二元确知信号检测性能
15、的评价方法。(3)高斯白噪声中多元确知信号的一般检测方法。(4)高斯白噪声中多元确知信号的正交检测方法。教学难点(1)高斯白噪声中二元确知信号的检测方法。(2)高斯白噪声中二元确知信号检测性能的评价方法。(3)高斯白噪声中多元确知信号的一般检测方法。(4)高斯白噪声中多元确知信号的正交检测方法。教学方法讲授法、讨论法、演示法、问题教学法。教学手段黑板、多媒体课件、仿真软件。教学过程 设计1 .教学内容的展开(1)回顾信号检测的基本理论，将信号检测的基本理论具体应用到高斯 白噪声情况，从而引入高斯白噪声中确知信号的检测。(2)4.1节的教学思路：将本章所用到高斯白噪声的知识进行回顾和归纳， 为本
16、章的教学奠定基础。从高斯噪声和白噪声两个方面论述高斯白噪声的概 念，从概率分布和功率谱密度两个方面论述高斯白噪声的特点。根据实际应用 情况，将白噪声分为理想白噪声和带限白噪声。从自相关函数和功率谱密度两 个方面分析理想白噪声和带限白噪声的统计特性。简要讨论低通和带通随机信 号采样定理，提高应用所学知识的能力。具体讲授过程：噪声一高斯白噪声一 高斯噪声f白噪声f随机信号的采样定理。(3) 4.2节的教学思路：依据带限高斯白噪声和理想高斯白噪声的特点， 首先讨论带限高斯白噪声中二元确知信号的检测方法；在此基础上，讨论理想 高斯白噪声中二元确知信号的检测方法，其中连续接收信号的似然函数十关键 知识点
17、。针对理想高斯白噪声中二元确知信号的检测，分别讨论通信系统和相 干雷达系统的检测性能分析方法。通过例题，讲解理想高斯白噪声中二元确知 信号的检测方法和性能分析方法。具体讲授过程：带限高斯白噪声中二元确知50第4章 高斯白噪声中信号的检测(2)第1局部教学设计第4章教学设计(2)授课日期年 月 日授课次序授课学时授课章节 或主题第4章 高斯白噪声中信号的检测：4.4高斯白噪声中一元随机参量信号 的检测教学内 容提要(1) 随机相位信号的检测。(2) 随机振幅和相位信号的检测。(3) 随机频率和相位信号的检测。(4) 随机振幅、频率和相位信号的检测。(5) 随机相位和到达时间信号的检测。(6) 随
18、机相位、频率和到达时间信号的检测。目的与 要求熟悉正交双通道处理方法，掌握高斯白噪声中二元随机参量信号的检测方 法及检测性能评价方法，理解随机频率和到达时间信号检测方法的特点。知识点 归纳(1)正交双通道处理。(2)随机相位信号的检测。(3)随机振幅和相位信号的检测。(4)随机频率和相位信号的检测。(5)随机振幅、频率和相位信号的检测。(6)随机相位和到达时间信号的检测。(7)随机相位、频率和到达时间信号的检测。6768教学重点(1)正交双通道处理。(2)随机相位信号的检测方法。(3)随机相位信号检测的性能评价方法。(4)随机振幅和相位信号的检测。(5)随机频率和相位信号的检测。教学重点(6)
19、随机振幅、频率和相位信号的检测。(7)随机相位、频率和到达时间信号的检测。教学难点(1)正交双通道处理。(2)随机相位信号的检测方法。(3)随机相位信号检测的性能评价方法。(4)随机振幅和相位信号的检测。(5)随机频率和相位信号的检测。(6)随机振幅、频率和相位信号的检测。教学方法讲授法、讨论法、演示法、问题教学法。教学手段黑板、多媒体课件、仿真软件。教学过程 设计1.教学内容的展开(1)回顾信号检测的基本理论和高斯白噪声中确知信号的检测，将信号 检测的基本理论具体应用于高斯白噪声中随机参量信号的检测，并以正弦或余 弦信号为例，讨论高斯白噪声中随机参量信号的检测。(2) 441节的教学思路：依
20、据实际应用情况，将正弦信号的随机相位取 为均匀分布，依次讨论简单和一般二元随机相位信号检测的似然函数、似然比、 检测判决式、检测系统结构及检测性能分析。其中的关键点是平均似然函数、 正交双通道处理、检测统计量及雅可比的应用，使学生理解这些关键点的作用。 具体讲授过程：简单二元随机相位信号的检测一一般二元随机相位信号的检 测；信号检测的假设一似然函数一似然比一检测算法一检测系统结构f检测性 能分析。(3) 442节的教学思路：在将正弦信号的相位取为随机参量的基础上， 再将振幅取为随机参量，讨论高为f白噪声中随机振幅和相位信号的检测。首先， 讨论简单二元随机振幅和相位信号的检测，其检测算法的关键点
21、是平均似然比 由似然比先对相位求统计平均，然后再对振幅求统计平均得到；其检测性能分 析的关键点是检测概率要对振幅求统计平均。在简单二元随机振幅和相位信号 已经导出的结果基础上，采用增加一个虚拟假设的方法，讨论高斯白噪声中一 般二元随机振幅和相位信号的检测方法及性能分析方法。具体讲授过程：简单 二元随机相位信号的检测一一般二元随机相位信号的检测；信号检测的假设一似然函数一似然比一检测算法一检测系统结构一检测性能分析。(4) 443节的教学思路：在将正弦信号的相位取为随机参量的基础上， 再将频率取为随机参量，讨论高斯白噪声中简单二元随机频率和相位信号的检 测。首先，利用简单二元随机相位信号检测的似
22、然比对频率求统计平均得到平 均似然比；然后利用似然比检测方法得到检测判决式及检测系统结构；最后讨 论了将二元随机频率和相位信号的检测转换为多元随机频率和相位信号的检 测。关键点是将频率概率密度函数等效为抽样值的离散函数，使检测方法简便。 具体讲授过程：简单二元随机频率和相位信号检测的假设一频率概率密度函数 的近似一似然比一检测算法一检测系统结构一随机频率和相位信号的多元信 号检测方法。(5) 444节的教学思路：对于高斯白噪声中简单二元随机振幅、频率和 相位信号的检测，由于涉及到3个随机参量，求平均似然比就需要考虑似然比 对3个随机参量求统计平均的先后顺序。为了使求平均似然比方便，按照似然 比
23、对相位、振幅、频率的顺序依次求统计平均，这是讨论简单二元随机振幅、 频率和相位信号检测的关键。在得到平均似然比的基础上，讨论检测算法及检 测系统结构，并讨论转换为多元随机振幅、频率和相位信号的检测。具体讲授 过程：简单二元随机振幅、频率和相位信号检测的假设一似然比一检测算法一 检测系统结构一随机振幅、频率和相位信号的多元信号检测方法。(6) 445节的教学思路：对于高斯白噪声中简单二元随机相位和到达时 间信号的检测，与简单二元随机频率和相位信号检测的分析方法类似。像对待 频率那样，将到达时间概率密度函数等效为抽样值的离散函数。首先，利用简 单二元随机相位信号检测的似然比对到达时间求统计平均得到
24、平均似然比；然 后利用似然比检测方法得到检测判决式及检测系统结构；最后讨论了将简单二 元随机相位和到达时间信号的检测转换为多元随机相位和到达时间信号的检 测。具体讲授过程：简单二元随机相位和到达时间信号检测的假设一到达时间 概率密度函数的近似一似然比一检测算法一检测系统结构一随机相位和时延 信号的多元信号检测方法。(7) 446节的教学思路：对于高斯白噪声中简单二元随机相位、频率和 到达时间信号的检测，由于涉及到3个随机参量，求平均似然比就需要考虑似 然比对3个随机参量求统计平均的先后顺序。为了使求平均似然比方便，按照 似然比对相位、频率、到达时间的顺序依次求统计平均。在得到平均似然比的 基础
25、上，讨论检测算法及检测系统结构，并讨论转换为多元随机相位、频率和 到达时间信号的检测。具体讲授过程：简单二元随机相位、频率和到达时间信 号检测的假设一似然比一检测算法一检测系统结构一随机相位、频率和到达时 间信号的多元信号检测方法。(8) 布置适当练习，使学生掌握高斯白噪声中二元随机信号的检测方法。2.教学方法与手段的应用以多媒体教学为主，辅以板书和仿真演示。主要的知识点和关键的内容采69用板书加以强调。高斯白噪声中一元随机信号参量的检测性能米用仿真演不。以讲授法为主，辅以问题教学法、演示法和讨论法。随机相位和到达时间 信号的检测采用问题教学法，提高分析问题的能力。随机振幅、频率和相位信 号的
26、检测采用讨论法，激发学生学习兴趣，提高解决问题的能力。对高斯白噪 声中二元随机参量信号的检测性能，采用演示法，加深学生用对所学知识的理 解。课后作业教材第4章的思考题：4.4、4.5o 教材第4章的习题：4.9、4.10、4.11o教学 后记通过多媒体、板书和仿真软件演示相结合的教学方法，以正弦或余弦信号 为例，以似然比检测算法为代表，讨论了高斯白噪声中随机参量信号的检测。 首先讨论了高斯白噪声中随机相位信号的检测方法及检测性能分析方法，这是 随机参量信号检测中最基本的一种，其关键点是：平均似然函数、正交双通道 处理、检测统计量及雅可比的应用。在随机相位信号检测的基础上，分别讨论 了随机振幅和
27、相位信号的检测，随机频率和相位信号的检测，随机振幅、频率 和相位信号的检测，随机相位、频率和到达时间信号的检测，其关键点是：似 然比对随机参量求统计平均的先后顺序，频率和到达时间概率密度函数等效为 抽样值的离散函数，增加虚拟假设的方法，将一元随机信号检测转换位多元随 机信号检测的方法。通过仿真软件，演示了高斯白噪声中二元随机信号的检测 性能，增强了教学的直观效果。第2局部教学内容4.4高斯白噪声中二元随机参量信号的检测随机相位信号的检测1 .简单二元随机相位信号的检测70(1)简单二元随机相位信号检测的假设简单二元随机相位信号检测的假设为(4.4.3)(4.4.3)J H。: x) = s0
28、+ n(t) = n(t) 0 t T: x(/) = SQ,9) + Q) = Asin3/ + 9) + (/) 0 t T式中：是均值为0,功率谱密度为N0/2的高斯白噪声。A为振幅；为频率；。为相 位，是随机变量，其先验概率密度p(9)在区间(0,2兀)上为均匀分布，即1p(e)= 2k0V.1p(e)= 2k0V.0 ToMOcosMck = MsinJ = AfQ式中:wox(t)smcotdt +J = arctan4 JX(0cOS69Zdf 7rx(r)sin6y?d?J 0=arctaMq正交双通道处理后，有 Ax(t)sm(cot +- AMcos(0-)(4.4.(5)
29、(4.4.(6)(4.4.(12)(4.4.(13)(4.4.(14)(4.4.(15)(4.4.(16)(4)似然函数比71p(xo)(It”兀=exp2N 乙 Jo exPd/9Ax(t)sm(cot +2兀=exp=exp0 expexp(E exp I、I N02NV 乙1，2AMeos(6Y)d)的能量；/0(x)为修正的零阶第一类贝塞 尔函数，其表示式为M兀de(4.4.18)/Q) = J。expxcos(Q五(5)检测算法一般情况下，代价与。无关，平均似然比检测判决式为&x) = exp旦/, I n4)(4.4.19)式中：4为判决门限，它取决于所采用的判决准那么。 检测判决
30、式等效为2AM2AM%I 4)exp(4.4.20)由于修正的零阶第一类贝塞尔函数是其变量的单调增函数，故以统计量M进行判决的 检测判决式为乩(4.4.21)M港(3H。式中：乃是用M作为检测统计量时的判决门限。(6)检测系统结构高斯白噪声中简单二元随机相位信号检测系统的框图，如图441所示，它是由正交的两 个支路构成的，故称为正交双路检测系统，通常称为正交接收机。72xQ),图正交双路检测系统检测统计量是接收信号xQ)通过一个与信号sinG，匹配的滤波器的包络。高斯白噪 声中简单二元随机相位信号检测系统又可以由如图442所示的框图实现。匹配滤波器和包络 检波器的组合常称为非相干匹配滤波器。图
31、非相干匹配滤波器(7)检测性能在假设下，检测统计量M的条件概率密度为H2兀I rMATyI rMATy(4.4.37)式(4437)为莱斯分布。式中：b；=N0774。在假设H下，由于A = 0, /。(0) = 1,故检测统计量M的条件概率密度为M (p(M|H0) = -ex-JM (p(M|H0) = -ex-J(4.4.38)/00勺=p(M|o)dM =J PK = Cp(M | H, wJ p令2 =加/。/，信噪比d = 2区/N0 ,式(4.4.40)可化为(4.4.40)73式(4.4.38)为瑞利分布。 虚警概率为(4.4.39)检测概率为0000KjZexp-Z2 +dy
32、/0(zVJ)dZ(4.4.41)式中：仇=因0区=427/2是信号能量。式对于给定的虚警概率相应的检测门限为7(4.4.41)称为马库姆(Marcum)函数。(4.4.42)(3 - J- 2b. In 4 = aT J_21n .2 . 一般二元随机相位信号的检测(1) 一般二元随机相位信号检测的假设一般二元随机相位信号检测的假设为“0 : x(t) = So。,) + n(t) = Asin(4% + %) + n(t) 0t T 4的) H : x(t) = S亿 q) + n(t) = Asin(助 I + 4)+ n(t) 0t 4,4、4.6、4.7。教学 后记通过多媒体、板书和仿真软件演示相结合的教学方法，介绍了高斯白噪声 的统计特性和随机信号的采样定理，讨论了带限和理想高斯白噪声中二元确知 信号检测方法，并分析它们的差异；以理想高斯白噪声为例，讨论了高斯白噪 声中二元确知信号检测性能分析方法。针对高斯白噪声中多元确知信号的检 测，讨论了一般检测方法和正交检测方法。通过仿真软件，演示了高斯白噪声 中二元确知信号的检测性能，增强了教学的直观效果。第2局部教学内容4.1 高斯白噪声