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1、第2节 空间几何体的表面积与体积 最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.I基础摻斷丨 回归教材，夯虫基础 知识梳理 i.多面体的表（侧）面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积 是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图 J 1 i 卫九 J 侧面 积公 式 S圆柱侧=2 nl S圆锥侧=nl S圆台侧=n(+r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱）S表面积S侧+2S底 V=Sh 锥体（棱锥和圆锥）S表面积S侧+S底 1&台体（棱台和圆台）S表
2、面积=S侧+S 上+S下 v=3（s 上+s 下+寸S上S下）h 球 s=4 nR 常用结论与微点提醒 1.长方体的外接球 球心：体对角线的交点;i 2.b2,2 r=a 一 2（a,b,c 为长方体的长、宽、高）.2 正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球（1）外接球：球心是正方体中心；半径 r=fa（a 为正方体的棱长）;a（2）内切球：球心是正方体中心；半径 r=2（a 为正方体的棱长）;与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r=a（a 为正方体的棱长）.3.正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作是正方体的一部分）（1）外接球：球心是正四面体的中心；半径 r=a（a 为正四面
3、体的棱长）；内切球：球心是正四面体的中心；半径 r=i|a（a 为正四面体的棱长）.诊断自测 1.思考辨析（在括号内打“V”或“X”）（1）锥体的体积等于底面面积与高之积.（）（2）球的体积之比等于半径比的平方.（）（3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（）J3 已知球 0 的半径为 R,其内接正方体的边长为 a,则 R=2a.（）解析（1）锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案（1）x（2）X V V 2.已知圆锥的表面积等于 12 n cm,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径 为（）3 A.1 cm B.2 cm C.3
4、cm D.cm 解析 S表=n2+nl=n2+n2r=3 n2=12 n 二 r2=4,二 r=2（cm）.答案 B 半径:3.（2017 浙江卷）某几何体的三视图如图所示 仲位：cm）,则该几何体的体积 仲 位：cm3）是（）正视图 侧视图 俯视團 n n 3 n 3 n A.2+1 B.q+3 C.2+1 D.2+3 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1,高为 3 的圆锥的 一半与一个底面为直角边长是一 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，11 11 n 所以该几何体的体积 V=3X 2nX12X 3+3X 2X 2X.2X 3=2+1.答案 A 4.（2
5、016 全国U卷）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积 为（）32 A.12 n B.n C.8 n D.4n 解析 设正方体的棱长为 a，则 a3=8,解得 a=2.设球的半径为 R,则 2R=.3a，即 R=弓3.所以球的表面积 S=4 TR2=12 n.答案 A 5.（2017 江苏卷）如图，在圆柱 O1O2内有一个球 0,该球与圆柱的上、下面及母 V1 线均相切.记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为2，则乞的值是 解析 设球半径为 R，则圆柱底面圆半径为 R，母线长为 2R，2 3 又 Vi=n2 2R=2TR3,3 答案 3 6.（2016 浙江卷）某
6、几何体的三视图如图所示 仲位：cm），则该几何体的表面积 是 _ cm?，体积是 _ cm.俯观图 解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分 别为 4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下:其体积 V_ 2X 2X 2X 4_ 32（cm3），由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2的正 方形，所以表面积为 S_ 2(2X 2X 2+2X 4X 4)2X 2X 2_ 2X(8+32)8_ 2 72(cm2).答案 72 32 4 3 V2=3R3，所以 3 V1_ 2JR3 3 2.T 十”I十 正 视 圏 恻觇图 I考点突破丨 分类讲练、以他求法 考点一空间几何体
7、的表面积【例 1】（1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.8+2 2 C.14+2 2（2）（2016 全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 28 n 条互相垂直的半径.若该几何体的体积是-j5,则它的表面积是（）A.17 n B.18 n C.20 n D.28 n 解析（1）由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如 图所示.直角梯形斜腰长为12+12二 2,所以底面周长为 4+.2,侧面积为 2X（4+.2）=8+2 郴B.11+2 2 D.15 侧视團 2，两底面的面积和为 2X|X 1X（1+2）=3.所以该几何体的表
8、面积为 8+2 2+3=11+2 2.由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球（被过球心 O 且互相垂直的 三个平面）1 7 1 切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的 和三个 4 圆面积之和，7 2 1 2 易得球的半径为 2,则得 S=4nX 2+3X严 2=17 n.答案(1)B(2)A 规律方法 空间几何体表面积的求法.(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各 元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练 1】(1)(2016 全国
9、川卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实 线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()/1 f /f /f A.18+36 5 B.54+18 5 C.90 D.81(2017 全国I卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方 形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多 面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()解析(1)由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.由题意可知该几何体底面边长为 3,高为 6，所以侧棱长为-32+62=3,5.故该 几何体的 表面积 S=32X 2+(3X 6)X 2+(3
10、X 3 5)X 2=54+18 5.一 1(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S 梯二 X(2+4)X 2=6，S 全梯=6 X 2=12.答案(1)B(2)B 考点二空间几何体的体积【例 2】(1)(一题多解)(2017 全国U卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗 实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所 得，则该几何体的体积为()2 V X 1-卜”广 1 B.12 C.14 D.16 (2016 浙江卷)如图，在 ABC 中，AB=BC=2,Z ABC=120.若平面 ABC 外 的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 P
11、D=DA,PB=BA,贝 U 四面体 PBCD 的体积 的最大值是 _.解析(1)法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上 面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体 1 的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 2，所以该几何体的体积 v 2 2 1=nX 3 X 4+nX 3 X 6 X =63 n.法二(估值法)由题意知，*V圆柱V几何体V圆柱，又 V圆柱=nX 32X 10=90 n,45 n几何体90 观察选项可知只有 63 n符合.(2)设 PD=DA=x,在厶 ABC 中，AB=BC=2，/ABC
12、=120，AC/AB2+BC2-2 AB BC cosZ ABC 的最大距离为 X.11 1 则 V 四面体 PBCD=3X 2（2 目 3 x）x=6【一（x,3）2+3,由于 Ovxv 2_3，故 ；4+4-2X2X2X cos 120=2 3，CD=2 3-x,且 Z ACB=2(180 0-120)=30。，SA BCD=|BC DC X si nZ ACB=器 2X(23 x)X|=*2 也x).要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而 P 到平面 BCD B.63 n C.42 n D.36 n 当 x=,3 1 1 时，V四面体 PBCD的最大值为 6X
13、 3=2.1 答案（1）B（2）1 规律方法 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用 公式进行求解.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然 后根据条件求解.【训练 2】（1）已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A.2 3 n B.4 3 n C.2 2 n D.4 2 n（2015 浙江卷改编）某几何体的三视图如图所示（单位：
14、cm），则该几何体的体积 是 _ cm?.解析（1）绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何 体为两个底面重合，等体积的圆锥的组合体，如图所示.每一个圆锥的底面半径 和高都为.2,故所求几何体的体积 V=2X 2nX 2=4 j 兀 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面边长为 2 cm 正方形、高为 2 cm 的正四棱锥组成.3 3 又正方体的体积 Vi=2=8（cm）,正四棱锥的体积 V2=*X 22X 2=3（cm3）.所以该几何体的体积 V=Vi+V2=32（cm3）.32 答案（1）B 33-考点三多面体与球的切、接问题（变式迁移）【例 3】（经
15、典母题）（2016 全国川卷）在封闭的直三棱柱 ABCAiBiCi内有一个 体积为 V 的球.若 AB 丄 BC,AB=6,BC=8,AAi=3,则 V 的最大值是（）A.4 n B.2 C.6n D.3 解析 由 AB 丄 BC,AB=6,BC=8,得 AC=i0.要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切,设底面 ABC 的内切圆的半径为 r.i i 则 2X 6X 8=?X（6+8+i0），所以 r=2.2r=4 3,不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大.丄 口卄 3 由 2R=3,即 R=2.4 3 9 故球的最大体积V=3 nR=2
16、n.答案 B【变式迁移 1】若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC Ai B1C1的 6 个顶点都在 球0 的球面上”，若 AB=3,AC=4,AB 丄 AC,AAi=12,求球 O 的表面积.解 将直三棱柱补形为长方体 ABECA1B1E1C1,则球 O 是长方体 ABEC A1B1E1C1的外接球.体对角线 BC1的长为球 O 的直径.因此 2R=,32+42+122=13.故 S 球=4 n2=169n.【变式迁移 2】若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,求该球的体积.解如图，设球心为 O,半径为 r,则在 RtAAOF 中，(4 r)2+(2)2
17、=r2,解得 r=9,则球 O 的体积 V球=fn3=4 nX 9=2435 规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常 是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.(2)若球面上四点 P,A,B,C 中 FA,PB,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两 两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练 3】(1)(2017 全国川卷)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径 为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.n
18、 3 n n n B.R C.2 D.4 O 的球面上”，E(2017 全国I卷)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径.若平面 SCA 丄平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S ABC 的体积 为9,则球 0 的表面积为 _.ABCD，0 为球心.球半径 R=0A=1,球心到 1 底面圆的距离为 0M _夕 如图,取 SC 的中点 0,连接 0A,0B,因为 SA_AC,SB_ BC,所以 0A 丄 SC,0B 丄 SC.因为平面 SAC 丄平面 SBC，平面 SACn平面 SBC_ SC 且 0A?平面 SAC，所以 0A丄平面 SBC.设
19、球 0 的半径为 r，贝 U 0A_ 0B_ r,SC_ 2r,1 11 1 所以 VASBC_SSBCX 0A_2 2r x rx r_r3,所以 Jr3_9?r_3,所以球 0 的表面积为 4 n2_36 n.答案(1)B 36 n I课乍业 分层训练，提升能力 基础巩固题组、选择题解析(1)如底面圆：0A2 0M 2 故圆柱体积 V_ nh_ n 3n 4-A 1.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有 委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内 墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米 堆的高为 5
20、尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3,估算出堆放的米约有（）故堆放的米约有9T6222（斛）.答案 B 2某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值 A.14 斛 B.22 斛 解析设米堆的底面半径为 D.66 斛 r 尺，则 n=8,所以 u 2 n 1 1 所以米堆的体积为 v=-x3 冗广 5=12 5-390(立方尺).A.2 B.|C.3 D.3 iF.视用 俯视图 解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且=3.V=3x3=3，解得 x=3.答案 D S 底=g(1+2)X 2 3
21、.（2017 宁波十校联考）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积 侧面 SAC 丄底面 ABC,且厶 SAC与厶ABC均为腰长是.2 的等腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=2,AC=2.设 AC 的中点为 0,连接 SO,BO,贝U SO 丄 AC，又 SO?平面 SAC，平面 SACA 平面 ABC=AC,SO 丄平面 ABC,又 BO?平面 ABC,/SO 丄 BO.又 OS=OB=1,二 SB=2,1 故厶 SAB 与厶 SBC 均是边长为.2 的正三角形，故该四面体的表面积为 X.2+2X#X（2）2=2+.3.答案 B 4.（2017 北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，
22、则该三棱锥的体积为（）A.1+3 C.1+2 2 解析四面体的直观图如图所示.正视图 删视国 解析 由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥 Ai-BCD,VAi 1 i BCD=3XqX3X5X4=10,故选 D.答案 D 5.已知 A,B 是球 O 的球面上两点，/AOB=90 C 为该球面上的动点.若三 棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为（）A.36 n B.64 n C.144 n D.256 n 解析 因为 AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 O-ABC 的体积取得最大值.由1X R2 X R=36,得 R=6.从而球
23、 O 的表面积 S=4TR2=144 n.答案 C 6.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，NB=2PN,则三棱锥 N-PAC 与三棱锥 D-PAC 的体积比为（）B.1:8 C.1:6 B.30 C.20 D.10 俯视图 A B 解析 设点 P,N 在平面 ABCD 内的投影分别为点 P,N,则 PP丄平面 ABCD,NN 2 NN丄平面 ABCD，所以 PP/NN,则在 BPP 中，由 BN=2PN 得雨=3.1,V 三棱锥 N FAC=V 三棱锥 P-ABC V 三棱锥 N ABC=SAABC PP 1 1 1 3SMBC NN=ABC（PP NN 今 3&AB
24、C 1 1 1 3PP=9 ABC PP/V 三棱锥 D PAC=V 三棱锥 P ACD=3 ACD PP/又四边形 ABCD V三棱锥 N PAC 1 是平行四边形，二SABC=SACD,/.=3.故选 D.V三棱锥 D PAC 3 答案 D 二、填空题 7.（2016 浙江卷）某几何体的三视图如图所示 仲位：cm），则该几何体的表面积 是 _ cm?，体积是 _ cm.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体 的边长为 2 cm,下面长方体是底面边长为 4 cm，高为 2 cm，其直观图如右图：其表面积 S=6X 22+2X42+4X 2X 4 2X 22=80
25、(cm2).体积 V=2X 2X 2+3 4X 4X 2=40(cm).答案 80 40 8.已知底面边长为 1，侧棱长为.2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则 该球的体积为 _.解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R,则 2R=：12+12+(,2)2=2,解得 R=1,所以 v=4R3=4f.4 答案空冗 9.（2017 湖州质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱和底面半径 11 13 为 1,高为 1 的半圆锥拼成的组合体.体积 V=nX 12X 2+2X3 冗乂 1 冬 1
26、=石冗；半圆锥母线 1=2,S 表=nX12+2 nX 1X 2+3 nX 12+1 nX 1X.2+土X 2X 1 二 10.（2018 浙东北教联一模）已知等腰直角 ABC 中，AB=AC=2,D,E 分别为 AB,AC 的中点，沿 DE 将厶 ABC 折成直二面角（如图），则四棱锥 A-DECB 的 外接球的表面积为 _.3 求此几何体的表面积；11+；2 2 n+1.答案 13 11+、；2 6 n 2 n+1 测视图 H C 解析 因为 ADE 为等腰直角三角形，所以 ADE 的外接圆的圆心在 DE 上，即平面 ADE 截四棱锥 A-DECB 的外接球所得的截面圆的圆心在 DE 上,
27、即在平 面 DECB内，所以等腰梯形 DECB 的外接圆的半径即为四棱锥 A-DECB 的外接 球的半径.以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则易得 C(-J2，0)，Ei 彳，-2，因为四 边形 DECB 为等腰梯形，所以其外接圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上，设其 坐标为 P(0，y)，则由|PC|=|PE|得 (1 4+(y)r y2 解得 y 二一亍，所以等腰梯形 DECB 的外接圆的半径 r 二|PC|二 寸(品 2+闇丫=習，所以四棱锥 A DECB 的外接球的表面积为 4 n2=10n.答案 10
28、n 三、解答题 11.已知一个几何体的三视图如图所示.俯视图 4 如果点 P，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何 体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长.解 由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积 是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.2 S 圆柱侧=(2 n)(2a)=4 na,所以 S 表=2 na+4 Ta5+ja2=(2+5)n2.沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图.5 求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.n)2a)=2 n1 2,S圆柱底 n2 S
29、圆锥侧 则 PQ=,AP2+AQ2=品2+(n)2=a 1+n,所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 aJ 1+n.12.如图，长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=16,BC=10,AAi=8,点 E,F 分 别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面a与此长方体的面相交，交 线围成一个正方形.如图，作 EM 丄 AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB12,EM=AA1=8.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH=EF=BC=10.于是 MH=EH2 EM2=6,AH=10,HB=6.1 故 S 四边形 AiEHA=2X（4+10）X
30、 8=56,1 S 四边形 EBiBH=p（12+6）X 8=72.因为长方体被平面a分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 79 也正确.能力提升题组 13.（2017 衢州质量检测）如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器（无盖），底 面棱长为 1 dm（dm 为分米），高为 5 dm,两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到 下底面距离分别为 3 dm 和 4 dm,则（水不外漏情况下）此容器可装的水最多为（）/0 1/A.2 dm3 B.4 dm3 C#dm3 D.3 dm3 解析 由题意得当容器内的水的上表面过两孔连线所在的平面时，容器内装的水 最多，又因为容器的底面为正方形，则由
31、长方体的对称性易得当容器内的水的上 表面平分以两孔连线所得的线段为体对角线的长方体时，容器内装的水最多，此 1 7 时容器内装的水的体积为 3X 1X 1+2X 1X 1X 1=q，故选 C.答案 C 14.（2018 丽水月考）一个空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝 M 则视图的 面积为 _ cm?，该几何体的体积为 _ cm.解析 根据几何体的三视图，得：该几何体的左边是半圆锥，右边是直三棱锥的 组合体，如图所示；且该几何体侧视图是底边长为 2,高为 1 的等腰三角形，面 1 2 11 2 1 积为 2X2X1=1 cm2，该几何体的体积为 V半圆锥+V三棱锥=3X 2X nX
32、12X1+1 n 1 3 X2X 2X1X 1=6+3 cm.n 1 答案 1 6+6 15.（2017 全国I卷）如图，圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等 边三角形 ABC的中心为 O.D,E，F 为圆 O 上的点，DBC,A ECA,A FAB分 别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 重合，得到三棱锥.当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积 仲位：cm3）的最大值为 _.解析 由题意，连接 OD，交 BC 于点 G,由题意，OD 丄 BC,设 OG=x,则 OB=2x,B
33、C=2 3x,DG=5 x,三棱锥的高 6 求四面体 ABCD 的体积；T Trill KM)h=；DG1 7-OG2=25 10 x+x2 x2 25 10X,SMBC=1(2,3x)2 sin 60=3.3x2,则 V=|SABC h=3x2 25 10 x=3:25x8 10 x9,令 f(x)=25x4 10 xx 0,5,fx)=100 x10 50 x4,令 fx0,即 x4 2x30,x2，则 f(x)wf(2)=80,则 VW 3X 80=4.乖，二体积最大值为 4.15 cm3.答案 4 15 16四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面
34、FG/EH.同理，EF/AD,HG/AD,EF/HG,四边形 EFGH 是平行四边形.7 证明：四边形 EFGH 是矩形.BD 丄 DC,BD 丄 AD,AD 丄 DC,BD=DC=2,AD=1,又 BD A DC=D,AD丄平面 BDC,1 1 2 四面体 ABCD 的体积 V=3X2X2X2X 1=3.(2)证明 T BC/平面 EFGH，平面 EFGH A平面 BDC=FG,平面 EFGH A平面 ABC=EH,BC/FG,BC/EH,(1)解由该四面体的三视图可知,体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,又 AD 丄平面 BDC,BC?平面 BDC,AD 丄 BC,EF 丄 FG
35、,四边形 EFGH 是矩形.17.如图所示，AiA 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异 于 A,B的任意一点，AAi=AB=2.c(1)求证：BC 丄平面 AiAC;(2)(题多解)求三棱锥 Ai ABC 的体积的最大值.(1)证明 因为 C 是底面圆周上异于 A,B 的一点，且 AB 为底面圆的直径，所以 BC 丄 AC.因为 AAi丄平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 AAi丄 BC.因为 AAiA AC=A,AAi?平面 AiAC,AC?平面 AiAC,所以 BC 丄平面 AiAC.解法一设 AC=x,在 RtAABC 中，BC=AB2 AC2=4 x2(0
36、x2),故 VAi ABC=3SBCX AAi=ACX BCX AAi=|,4 x2(0 x2),即卩 VAi ABC=x2=；,x2(4 x2)=3 X(x2 2)2+4.因为 0 x2，所以 0X24.所以当 x2=2,即 x=.2 时，三棱锥 Ai ABC 的体积取得最大值为|.法二 在 RtAABC 中，AC2+BC2=AB2=4,VAi ABC=3&ABCX AAi=3X 2X ACX BCX AAi=3X ACX BC3X 2 1 AB2 二 X 3 2 当且仅当 AC_ BC 时等号成立，此时 AC_ BC_ 2.2 所以三棱锥 Ai ABC 的体积的最大值为 3.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);2 2 AC+BC _ 2 _ 2 3.