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1、8.28.2空间几何体的表面积、体积空间几何体的表面积、体积考纲展示1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积，了解计算公式2会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题考点 1几何体的表面积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱圆锥圆台直棱柱正棱锥正棱台球12答案：2rhrlChCh4R22几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_面积S侧_S侧_S侧(r1r2)lS侧_S侧_S侧(cc)hS球面_12(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_、_、_；它们的表面积等于_与底面面积之和答案：(1)各面面积之和(2)矩形扇形扇环侧面积侧面展开图：关注展开图的形状(1)若圆锥的
2、底面半径为1，高为 3，则圆锥的侧面积等于_答案：2解析：圆锥的母线长为32121 2，故所求侧面积S 222.2(2)圆台的上下底面圆的半径分别为1,2，高为 1，则圆台的侧面积等于_答案：3 2解析：圆台的母线长为2121 2，所以所求侧面积S(12)23 2.2典题 1(1)2017湖北七校联考如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA12，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥PABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为()A11C.2答案B解析由题意知，三棱锥PABC的正视图是一个底为 1，高为 2 的三角形，其面积为1，而当P在底面ABCD内的投影在ABC的
3、内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为1，此时，三棱锥PABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2.故选 B.2(2)2015新课标全国卷圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则B21D.4r()A1C4答案BB2D8解析如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，12222高为 2r，则表面积S 4rr4rr2r(54)r.又S1620，(524)r1620，r4，r2，故选 B.点石成金求解几何体面积的常见策略(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先
4、根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.221.2017安徽江南十校联考某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A4164 3C4162 3答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个1侧面面积之和为 24216，两个底面面积之和为2 2 32 3；半圆柱的侧面积为21244，两
5、个底面面积之和为 2 1，所以几何体的表面积为5162 3，2故选 D.2一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为_B5164 3D5162 311答案：3 32解析：这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知，圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆11122台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S 1 2 222111(12)2(24)33 3.22考点 2几何体的体积圆柱圆锥体积V_r2hV_ r2h r2l2r2V(S上S下S上S下)h131313圆台122(r1r2r1r
6、2)h3直棱柱正棱锥正棱台球11答案：ShShShSh3313V_V_V(S上S下S上S下)hV R343空间几何体表面积和体积的求解：公式法(1)圆柱的底面半径为 1，高为 2 2，若该圆柱内接于球O，则球O的表面积是_答案：12解析：过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面，在该截面图中，易求得球O的半径R1 222 3，所以球O的表面积S4R12.2(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的底面是正方形，其所有棱长之和为 12，表面积为 6，则其体积为_答案：18a4b12，解析：设该直四棱柱的底面边长为a，高为b，则有22a4ab6，2ab3，即2a2ab3，a1，解得b1.角度一以
7、三视图为背景的几何体的体积典题 2(1)2017河北石家庄一模某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为 1，则该几何体的体积是()A4C.20316B.3D12答案B解析由三视图可得，该几何体是一个五面体ABHGEF(如图)，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，CC12，D1EFC1DGHC1，连接AF，AH，121116则该几何体的体积是VAEFHGVFABH 2 2 422.3323(2)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A.20340B.3D40C20答案B解析由几何体的三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示1140其体积为 (14)44.
8、323角度二求几何体的体积典题 3如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A.23B.334C.3答案A3D.2解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，1容易求得EGHF，2AGGDBHHC3，2122SAGDSBHC 1，22412122VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC 21.故选 A.34243点石成金空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给
9、定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解考点 3与球有关的切、接问题几个与球有关的切、接常用结论a正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R 3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R 2a.b 若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 2Rabc.c正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.222典题 4(1)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的
10、直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.C.2623B.D.3622答案A解析设ABC外接圆的圆心为O1，则|OO1|OCO1C2 6三棱锥SABC的高为 2|OO1|.3132 62所以三棱锥SABC的体积V.故选 A.3436(2)2017辽宁抚顺模拟已知直三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.C.3 172132B2 10D3 1022161.33答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.151又AMBC，OMAA16，222所以球O的半径ROA526213.22 题点发散 1本例(
11、2)若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3，4433从而V外接球 R(2 3)32 3，33V内切球 r3 23434332.3题点发散 2本例(2)若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14322a 3a，其内切球半径r4221166aS13a2为正四面体高的，即r aa，因此内
12、切球表面积为S24r，则 443126S2a266 3.题点发散 3本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3 2 26，高为3，3 221262因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.点石成金1.正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线的长此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥12直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由球2的半径构成的三角形，
13、解三角形即可求球的半径133若正四面体的高为h，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，则rh，Rh.444球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题5球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2017江西师大附中模拟已知边长为 2 3的菱形ABCD中，BAD60，沿对角线BD折成二面角ABDC的大小为 120的四面体，则四面体的外接球的表面积为_答案：28解析：如图，取BD的中点E，连接AE，CE.由已知条件可知，平面ACE平面BCD.易知外接球球心在平面ACE内，如图，在CE上取点G.使CG2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l
14、2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OAOC，易知O即为球心分别解OCG，EGO，可得ROC 7，外接球的表面积为 28.真题演练集训1 2016新课标全国卷在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球 若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4C6答案：B解析：由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上3442793下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，Vmax R.2338222015安徽卷一个四面体的三视图如图所示，则该四面
15、体的表面积是()9B.232D.3A1 3C12 2答案：BB2 3D2 2解析：根据三视图还原几何体如图所示，1其中侧面ABD底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积2 212232(2)2 3.故选 B.432014新课标全国卷如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.C.172710275B.91D.3答案：C解析：原毛坯的体积V(3)654，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积VV1V2(2)4(
16、3)234，故所求比值为1222V10.V2742014湖南卷一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1C3答案：B解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10 的直角三角形，侧棱长为12，故12 682能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r2，故6810选 B.课外拓展阅读空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题典例如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，CC15，则沿着长方体表面从A到
17、C1的最短路线长为_B2D4审题视角将此长方体沿某一条侧棱剪开，得到展开图，求展开图中AC1的平面距离即可，注意对不同情况的讨论解析在长方体的表面上从A到C1有三种不同的展开图(1)将平面ADD1A1绕着A1D1折起，得到的平面图形如图所示则AB1538，B1C14，连接AC1，在 RtAB1C1中，AC1AB1B1C1 8 4 4 5.2222(2)将平面ABB1A1绕着A1B1折起，得到的平面图形如图所示则BC1549，AB3，连接AC1，在 RtABC1中，AC1ABBC1 3 9 3 10.2222(3)将平面ADD1A1绕着DD1折起，得到的平面图形如图所示则AC437，CC15，连接AC1，在 RtACC1中，AC1ACCC1 7 5 74.显然 744 53 10，故沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为 74.答案反思提升将空间几何体表面进行展开是化解最值问题的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行742222侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可