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1、1.弗赖登塔尔教育思想综述。弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的在他看来“数学是系统化了的常识这些常识是可靠的，不像某些物理现象会把人引入歧途”2而常识并不等于数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织如此不断地螺旋上升，以至于无穷。”2这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象，亦即数学的发展过程具有层次性。在此认识的基础上，他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”的教学论原理进一步发展为：“学一个活动的最好方法是做”尽管他很谦虚地说：“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别，只是重点从教转向
2、学，从教师转向学生活动。”而这些转变正是教育应该做而没有做到的，是对教学活动最本质的认识的改变，是对传统的教学方法、教学模式的批评他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生他说“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题”他指出：“这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学”他指出，不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动，在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少。以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性那么
3、，什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指出：学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。数学学习不是一个被动接受的过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，他指出：“教数学活动不是教数学活动的结果，而是教数学学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要”他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。他针对当时一些数学教师以自己给学生做问题，而认为是让学生做数学，弗赖登塔尔指出“做数学不等于做习题”，做数学“必须通过数学化来教数学、学数学”。他说：“与其说让学生学数学不如说让学生学习数学化”
4、根据他这一思想，有研究者将数学化进一步分为水平的数学化和垂直的数学化，用弗赖登塔尔的话说“水平的数学化意味着从生活的世界到符号的世界，垂直的数学化是在水平数学化之后进行的数学化是从符号的世界到数学的世界。”通过以上综述，弗赖登塔尔数学教育思想可以综合为以下四个方面：1 数学现实 数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实，这是弗赖登塔尔“数学现实”思想的基本出发点。在此基础上形成了他的数学教育观，在作为教育任务的数学中，弗赖登塔尔曾说“数学的整体结构应该存在于现实之中。只有密切联系实际的数学才能充满着各种关系，学生才能将所学的数学与现实结合，并且能够应用。”并指出“对非数学家而言，与亲生经历的
5、现实的联系将是至关重要的”。他主张数学应该属于所有的人，为此必须将数学教给所有人。但人与人之间的差别可能很大，不同的人需要不同的数学，也就联系着不同的现实世界。其主要要点有：数学来源于现实；数学教育应该是现实数学的教育；每个人都有其自己的“数学现实”。学习数学就意味着能够做数学，熟练地运用数学的语言去解决问题，探索论据并寻求证明，而最后重要的活动则应该是从给定的具体情景中，识别或提出数学概念。比如高中函数的概念，首先我们引入了初中学习过的一次函 ykxb=+和二次函数 2yaxbxc=+的概念，通过列对应关系表，找到其规律，然后总结得到了数学概念。所以说要引入一个新概念，却缺少足够的具体事实作
6、为基础，或者反复介绍一个新概念，却没有具体的应用，这都无法使学生产生求知欲；讲授时，过早的提出概念、公理没有什么效果，会引起学生的的抵触情绪。所以数学教学时，过于抽象而脱离学生现实，就会使学生失去兴趣和动机从而达不到很好的教学效果。综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。2 数学化。弗赖登塔尔认为数学化，就是数学地组织现实世界的过程。即人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程6。在他看来，数学的产生与发展本身就是一个数学化的
7、过程。先人从手指或石块的集合形成数的概念从测量、绘画形成图形的概念都是数学化。此外当数学家们从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念时，也是一种数学化。甚至可以说整个数学体系的形成就是一个数学化的过程。而人们学习数学的过程，实际上又或多或少地遵循着历史发展的规律。通俗点讲，数学化就是把现实中的东西通过数学工具转化成数学公式、定理等。3 再创造。弗赖登塔尔指出，数学化过程产生的数学必须由通过教学过程产生的数学教学反映出来，因此，他认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”，并指出这和我们常常说的“发现学习”并不等同。这里理解的创造，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的“再”，而
8、“创造”则既包括了内容又包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织。需要我们学生在学习的时候善于独立思考，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。这样的目的就是要培养学生学生发现问题，挖掘学生的潜力，使学生具有学习的动力，这样才能达到素质教育的要求。提倡按“再创造”原则来进行数学教育，弗氏认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。(3)通过“再创造”方式，可以进一步
9、促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。有指导的再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，达到一种微妙的平衡。4 反思。弗赖登塔尔指出反思是一种重要的数学活动，是数学活动的核心和动力。8数学的发现来自直觉，而分析直觉理解的原因是通向证明的道路，为此必须教育学生对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便使他们学会反思，能有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样教育才能真正培养学生的数学能力。这就是要求学生为什么每次考试之后要总结，做完作业要检查，教师每年都要写教学总结的原因。这反思不仅仅指学生还有包括我们老师在内的所有教育工作者
10、，只有在反思中我们才能不段进步，不断得到提高。反思是在学习强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式。在反思过程中，不但可以得到锻炼和提高，而且通过反思可以使数学知识得到补充、丰富和完善。他认为：“从别人那里反射自己，就像白天和黑夜，自己反射自己，也就是反省或反思。它反思自己曾做过的、想象过的、思考过的，以及正在做的，正在感受的、正在想象的、正在思考的。反思一旦开始，就是一种每时每刻我们总在进行的活动。经反思可以使数学现实与数学化相互反馈，协调发展，这就是数学理论的动力。5 反思可以使学生思维敏捷，发现问题，它是再创造的前提，有了反思，在这种情况下我们对再创造才会有更深入的发现，我认为反思
11、是再创造的源泉，是再创造思维进一步的深化。3 弗赖登塔尔教育思想对而我国的启示：.1 数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实。中学数学教学中的一个突出问题是学生的数学兴趣缺失。究其原因主要是新课标内容对于刚升入学的学生来说显得过于抽象，没有太多现实意义，因此学生往往没有热情去理解知识。按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实的弗赖登塔尔“数学现实”思想，数学教学必须紧密联系实际。对于新入学的学生的数学教学就要立足于数学现实，培养数学能力，使数学成为生活中的工具。数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达到这个目的，教师可以从这几个方面努力：破除思维定势，主动树立联系实际的意识，并且
12、要落实到实处；作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和现实结合的历史，从这出发能更好的把握数学的逻辑；引入生活中的新鲜例子。这就要求老师要关心周围的事物，了解时事政治，并从中抽象数学知识。数学要联系实际，这个实际要立足于学生现有的水平，并超越学生现有水平，使学生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中运用“数学现实”的关键点。随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，
13、同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。2 注重学生的数学化过程，提倡探究数。数学教学往往讲解、练习加奖惩措施，这样的三部曲主要针对数学的形式训练。而对于新概念新知识来说，这样的教学方法根本不能适用。虽然在教学过程中偶尔与实际相联系，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。但这些知识又往往流于琐碎、零星、不成体系，忽视了数学本身的内在联系，尤其是忽略了数学的逻辑演绎结构，较少注意数学化的纵深发展。学生“数学化”的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、
14、抽象阶段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是根据儿童思维发展与学习过程提出的，故而不是要求每个学生都要一次完成所有阶段。不能过分强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符合学生的年龄特征。7 根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识的观点。那么数学课堂应以探究为主要任务，最终达到自主发现。3,强调反思，提升学生思维能力。在新课标的数学教学中，老师往往忽略反思这个环节。作为老师，最根本的任务是教会学生如何学习，也就是说教是为了不教。而对于新知识的引入，他们充满想象，更愿意表现。弗赖登塔尔认为反思是一种重要的数学活动，是数学活动的核心
15、和动力。作为新课改下的数学教师更应该鼓励学生反思，发挥他们的聪明才智。而学生从探究学习过渡到自主发现学习，反思是不可缺少的一个环节。具体的，在教学中教师可通过以下途径培养学生的反思能力:a、创设一个氛围，激发学生的反思意识。教学中首先要创造一个宽松、和谐、民主的教学氛围，使学生乐于反思、敢于反思，激发学生的反思意识。b、教学中必须留一些余地，给学生创设反思的空间和时间，并引导学生多想一点、多问一点、多写一点。因为只有这样学生的反思才能有一定的成效。c、教一些方法，提高学生的反思能力。学会反思无疑等于给他们每人配备了位尽职的老师，可以随时随地对他们的发展、成长进行有效的指导，提高学生的自主意识，
16、促进学生的反思发展。d、定时交流反思成果。对于成绩差的学生，心理都有失落感，所以要及时总结他们的成果，这会激发学生的反思积极性，提升他们的自信心。及时的总结为他们今后的反思提供了方向。4 适当引导学生，激发学生的再创造。弗赖登塔尔说“学一个活动的最好方法是实践”将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。主张“再创造”应该是数学教育的一个教学法原则，它应该贯串于数学教育整个体系之中。实现这个方式的前提，就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预置的“圈套”。这对教师提出了更高的要求，不仅对有关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度的应变能力，随机应变，及时处理学生可能提出的各种问题，以保证将学生引上“再创造”的道路上去。让受教育者学生的活动更为主动、有效，以便真正积极地投入到教育这个活动中去。