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1、一、弗赖登塔尔的数学教育理论二、波利亚的解题理论三、我国“双基”数学教学的成功与不足四、建构主义的数学教育理论 一、一、弗赖登塔尔的数学教育理论弗赖登塔尔的数学教育理论( (一一) ) 弗赖登塔尔的生平弗赖登塔尔的生平 Hans Freudenthal, 生于1905年,卒于1990年,荷兰数学家和数学教育家,生于德国；1930年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰Utrecht 大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；1971-1976年任数学教育研究所所长；1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。（二）弗赖登塔尔数学教育贡献（二）弗赖登塔尔数学教育贡献 20世纪两个在数学教育
2、界的领军人物：克莱因、弗赖登塔尔。 弗赖登塔尔: 1963-1974年间任“国际数学教育委员会”（ICMI）主席。 主要工作:(1)在他的倡议下，召开ICME-1; （2)Educational Studies in Mathematics (3)拓朴学、李群主要数学教育论著：作为教育任务的数学； 除草与播种； 数学结构的教学现象学； 数学教育再探-在中国的讲学。作为教育任务的数学作为教育任务的数学介绍介绍: :共19章:(1)数学的传统；(2)今日数学；(3)传统和教育；(4)数学教育的用处和目的；(5)苏格拉底法；(6)再创造；(7)用数学化的方法组织一个域；(8)数学的严谨性；(9)教学
3、；(10)数学教师；(11)数的概念；(12)数的概念发展1；(13)数的概念的发展2；(14)数的概念发展3；(15)集合与函数；(16)几何的情况；(17)分析学；(18)概率与统计；(19)逻辑。（三）弗赖登塔尔的数学教育思想 1.“数学现实数学现实”现实的数学教育现实的数学教育 数学教育改革必须“源于现实，寓于现实，用于现实” 每个人都有自己的“数学现实”，即每个人所接触到的客观世界中的数学规律 ，以及有关这些规律的数学知识结构大多数人的“数学现实”可能仅限于简单的几何形状以及数的运算，而一个数学家的数学现实则会包括希尔伯特空间和纤维丛教师的任务在于了解学生的数学现实并由此出发组织教学
4、。 从学生经验上看来，真实的数学活动是可以促进学生有意义的学习的。通过“现实的数学教学”，学生可以通过自己的认知活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化。2.“再创造再创造”原则原则学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来只有通过自己的再创造而获得的知识才能真被掌握和可以灵活应用，而且能保持较长久的记忆。强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，认为“做数学”是学生理解数学的重要条件，其核心是数学过程再现。这个“再创造”原则应该贯穿于数学教育整个体系之中，要把数学教育作为一个活动的过程来分析，要使学生在学习过程的不同层次中，始终处于积极、创造的
5、状态。学生学习数学的过程实际上是一个学生学习数学的过程实际上是一个“做数学做数学”的的过程过程3.“数学化数学化”原则原则 简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。每个人有不同的“数学现实”世界，不一定限于客观世界的具体事物，也可以包括各种层次抽象的数学概念及规律。因而相应地有不同层次的数学化。“毫无疑问，学生应当学习数学化；自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化使之合乎数学精确性要求以保证数学的应用。接着还应进到下一层次，至少能对数学事物进行局部组织。 应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系。没有形式化也就没有形式体系。 因此数学教学必须通过数学化来进行”。 水平数学
6、化与垂直数学化水平数学化。水平数学化。学生能利用数学工具帮助他们去组织和解决真实生活的问题。例如：将数学概念用在一般的情境脉络中或将真实世界的问题转化成数学问题来讨论。垂直数学化。垂直数学化。在数学系统本身，知识重新组织的过程。例如：利用公式去描述关系、证明规则、调整模式使其精致化、利用公式表示一个数学模式，并使其一般化等等。 任何数学都是数学化的结果，不存在没有数学化的数学，不存在没有公理化的公理，也不存在没有形式化的形式。水平数学化与垂直数学化包含水平数学化水平数学化的活动有在一般情境脉络中辨识出特定的数学组织化以不同的方法有系统表示或可视化一个问题发现关系发现规则在不同的问题中看到具有相
7、同结构的观点将现实世界的问题转换为数学问题将现实世界的问题转换为已知的数学模型包含垂直数学化垂直数学化的活动有以公式表达一种关系证明规则改善和修正模型使用不同的模型结合和统整模型形成一个新的数学概念一般化4.“严谨性严谨性”原则原则 “只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，从而不仅可以确定结果是否正确，还可以确定是否已经正确地建立起来。这就是所谓数学的严谨性，也是数学的测量标准。而教数学也必须遵循这个标准”。严谨性是相对的，必须根据具体的时代、具体的问题来作出判断。“严谨性有不同的层次，每个题材都有相应的严谨性层次。学生必须通过不同层次的学习来理解并获得自己的严谨性”。现成的数学与做出来的数学，两者的严谨性是有区别的，同时我们还应该从数学与现实的关系来理解，我们不可能将数学禁闭在一个与现实完全隔离的“严谨”的防水舱内。 v1987年，已经80多高龄的弗赖登塔尔到我国访问，他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就说：“在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中间活动如果有一个学校的教室象今天这样摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中学的校长大概要被撤职了!”