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1、两个重要的数学教育观两个重要的数学教育观l弗赖登塔尔的数学教育理论l波利亚的解题理论第一页，编辑于星期一：十三点 四十七分。弗赖登塔尔简介弗赖登塔尔简介l弗赖登塔尔是世界著名数学家和数学教育家。他曾经是荷兰皇家科学院弗赖登塔尔是世界著名数学家和数学教育家。他曾经是荷兰皇家科学院的院士和数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学。的院士和数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学。1960年以后，年以后，研究重心转向数学教育。在研究重心转向数学教育。在1967年至年至1970年期间任年期间任“国际数学教育国际数学教育委员会委员会 ICME 主席主席”。在他的倡议下，召开了第一届。在他的倡议下，召开了第一
2、届“国际数学教育大会国际数学教育大会”简称简称ICME。在。在ICME上，他倡导数学教育研究要像研究数学一样，上，他倡导数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文的形式交流研究心得，即前人做了什么，我发现了什么，证以科学论文的形式交流研究心得，即前人做了什么，我发现了什么，证据是什么，并有详细的文献支持，因而使数学教育研究不再只停留在经据是什么，并有详细的文献支持，因而使数学教育研究不再只停留在经验交流的水平上。他一生为国际数学教育事业做出了巨大贡献。尤其令验交流的水平上。他一生为国际数学教育事业做出了巨大贡献。尤其令人敬佩的是，即使在人敬佩的是，即使在80岁高龄时，他依然在不断地思考着数学教育
3、岁高龄时，他依然在不断地思考着数学教育中的问题，关心着孩子们的成长和发展。中的问题，关心着孩子们的成长和发展。第二页，编辑于星期一：十三点 四十七分。弗赖登塔尔的数学教育理论著作弗赖登塔尔的数学教育理论著作l作为教育任务的数学l除草与播种l数学教育再探第三页，编辑于星期一：十三点 四十七分。弗赖登塔尔认为数学教育有五个主要特征弗赖登塔尔认为数学教育有五个主要特征l情景问题情景问题是教学的平台l数学化数学化是数学教育的目标l学生通过自己努力自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分l“互动互动”是主要的学习方式l学科交织学科交织是数学教育内容的呈现方式第四页，编辑于星期一：十三点 四十七分。现实
4、现实 数学化数学化 再创造再创造第五页，编辑于星期一：十三点 四十七分。现实现实l弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。l数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。l数学教育即是现实的数学教育。第六页，编辑于星期一：十三点 四十七分。什么是数学化呢？什么是数学化呢？l弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。说简单点，数学地组织现实世界的过程就是数学化。第七页，编辑于星期一：十三点 四十七分。现实数学教育
5、的数学化有两种形式：现实数学教育的数学化有两种形式：l一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理；l二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。第八页，编辑于星期一：十三点 四十七分。对于前者，基本流程是：对于前者，基本流程是：l确定一个具体问题中包含的数学成分；l建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；l通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；l找出蕴含其中的关系和规则；l考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；l作出形式化表述。第九页，编辑于星期一：十三点 四十七分。对于后者，基本流
6、程是：对于后者，基本流程是：l用数学公式表示关系；l对有关规则作出证明；l尝试建立和使用不同的数学模型；l对得出的数学模型进行调整和加工；l综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；l用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概念和新方法；l作一般化的处理、推广。第十页，编辑于星期一：十三点 四十七分。再创造再创造l弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心是数学过程再现。l学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程。l教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。第十一页，编辑于星期一：十三点 四十七分。数学学习者大多有过这样的经历数学学习者大多有过这样的经历：l一道题，自己
7、百思不得其解，而老师却给出了一个绝妙的解法。这时候，我们最想知道“老师是怎样想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”这就需要研究“解决数学问题”的规律。第十二页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚简介波利亚简介l美籍匈牙利数学家乔治波利亚在该领域作出了许多奠基性的工作。波利亚是法国科学院、美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学，物理学和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表两
8、百多篇论文和许多专著。他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、几何等若干分支领域都作出了开拓性的贡献，一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME聘为名誉主席。第十三页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚的著作波利亚的著作l怎样解题l数学的发现l数学与猜想第十四页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚的数学教育观波利亚的数学教育观l中学数学教育理论的根本目的是“教会学生思考”。“教会学生思考”意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应该强调技能、技巧
9、、有益的思考方式和思想的思维习惯。第十五页，编辑于星期一：十三点 四十七分。教学过程的三个原则教学过程的三个原则l主动学习l最佳动机l循序渐进第十六页，编辑于星期一：十三点 四十七分。主动学习主动学习l“学东西的最好方式是发现它”，“亲自发现能够在你脑海里留下一条小路；今后一旦需要，你便可以利用它”。因而，教师应该“尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西”。思想应在学生头脑里产生，教师则只起助产士的作用。第十七页，编辑于星期一：十三点 四十七分。最佳动机最佳动机l为了使学习富有成效，学生应该对学习倍感兴趣并且在学习活动中寻求欢乐。最佳的刺激应该是对所学知识的兴趣。另外，还可以在学生做题之
10、前，让他们猜测学习的结果。在科学家的工作中，猜想几乎是证明的先导。第十八页，编辑于星期一：十三点 四十七分。循序渐进循序渐进l学习过程是从行动和感知开始的，进而发展到词语和概念，以培养合理的思维习惯而结束。学习的第一个过程是探索，它联系着行动和感知，并且是在知觉和启发的水平上发展的。第二个阶段是阐明，包括引进技术语、定义、证明等，提高到概念的水平上。第三个阶段是吸收，即把所学知识都在头脑里消化了，然后吸收到自己的知识系统中来，扩大智力的范围。第十九页，编辑于星期一：十三点 四十七分。一名好的数学教师具备两方面的知识一名好的数学教师具备两方面的知识l一是数学内容的知识。l二是数学教学法的知识。第
11、二十页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚给数学教师提出了波利亚给数学教师提出了“十条建议十条建议”u1.要对所讲的课题有兴趣要对所讲的课题有兴趣u2.要懂得所讲的课题要懂得所讲的课题;u3.要懂得学习的途径要懂得学习的途径发现发现;u4.要观察学生的脸色要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难弄清他们的期望和困难,置身于他们之中置身于他们之中;u5.不仅要传授知识不仅要传授知识,而且要教给学生才智而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯思维的方式和工作习惯;u6.要让他们学习猜测要让他们学习猜测;u7.要让他们学习证明要让他们学习证明;u8.要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征要找出手
12、边题目中那些对后来题目有用的特征;u9.不要立即吐露你的全部秘密不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜让学生在你说出来之前先去猜,尽量让他尽量让他们自己找出来们自己找出来;u10.要建议要建议,不要强迫别人去接受不要强迫别人去接受.第二十一页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚的“怎样解题表”（分为四（分为四步）步）第一步，必须了解问题了解问题u未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？u可能满足什么条件？u画一个图，引入适当符号。第二十二页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚的“怎样解题表”（分为四（分为四步）步）第二步，找出已知数和未知数间的关系。假使你不能找出关系，就得
13、考虑辅助问题，最后应想出一个计划拟定计划u你以前曾见过它吗？你以前曾见过它吗？u你知道什么与此有关的问题？你知道什么与此有关的问题？u注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。的问题。u这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？吗？u你可以概述这个问题吗？你可以概述这个问题吗？u你若不能解这个问题，试先解一个有关的问题。你能想你若不能解这个问题，试先解一个有关的问题。你能想出一个更容易的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更出一个更容易的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊
14、的问题？一个类似的问题？你能解问题的一部分吗？特殊的问题？一个类似的问题？你能解问题的一部分吗？u你用了全部的条件吗？你用了全部的条件吗？第二十三页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚的“怎样解题表”（分为四（分为四步）步）第三步，实行你的计划实行计划u实行你的解决计划，校核每一步骤。第四步，校核所得的解答回顾u你能校核结果吗？你能校核论证吗？u你能用不同的方法得出结果吗？u你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？第二十四页，编辑于星期一：十三点 四十七分。波利亚的波利亚的“怎样解题怎样解题”表表l精华是启发你去联想。联想什么？怎样联想？这可以通过一连串建议性或启发性问题加以回答。第二十五页，编辑于星期一：十三点 四十七分。再见再见谢谢第二十六页，编辑于星期一：十三点 四十七分。