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1、 1 函数的概念及表示（讲义）知识点睛 一、函数的定义域 1 函数的定义域：自变量的取值组成的集合 求函数定义域的基本要求：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；（6）在求解实际问题的过程中，除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求 2 复合函数定义域的求法：（1）已知()yf x的定义域为 D，求()yf g x的定义域，解题思路：求使()g xD有意义的 x 的集合；（2）已知()yf g x的定义域为 D，求()yf x的定义域，解题思路：求()g x在
2、 D 上的值域 二、求函数值域的方法 1.结合函数单调性判断：常在解答题中出现，需先证明函数单调性，根据单调性和定义域求值域 2.图象法(数形结合法)：画出函数图象，借助函数图象及其性质直接求解 多用于基本初等函数或由基本初等函数图象经过平移、翻折而得到的函数，且易于画出函数图象 3.分离常数法：形如(0)axbyabcdaccxd，均为常数，且，通过分离常数转化成反 比例函数经过图象平移之后的形式，结合定义域确定值域 4.反解法：当函数表达式中自变量的范围已给出或易于解出时，常反解函数，用因变量表示自变量，通过自变量范围确定函数值域 5.换元法：2 利用代数换元，将所给函数转化成易求值域的函
3、数（1）形如(0)yaxbcxd abcdac，均为常数，且的函数，令cxdt，则0t，用t表示 x，确定函数值域；（2）复合函数()yf g x，令()g xt，先确定 t 的范围，再确定函数值域 说明：分段函数的值域：计算每一段函数的值域，求出并集 三、函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法 2.换元法：已知复合函数()yf g x的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围 3.解方程组法：已知()f x满足某个等式，这个等式除()f x是未知量外，还出现其他未知量，如()fx、1()fx等，要根据已知等式再构造其他等式，与原等式组成方
4、程组，通过解方程组求出()f x 精讲精练 1.函数0(3)|xyxx的定义域为_ 2.函数221()(log)1f xx的定义域为_ 3 3.若(2)f x的定义域是-4，0，则2(1)f x 的定义域是（）A 13，B03，C33，D 4 4，4.若函数()yf x的定义域是0，2，则函数(2)()1fxg xx的定义域是（）A0 1，B0 1)，C0 1)(1 4U，D(0 1)，5.若函数2()1f xx的定义域是(1)2 5)U，则其值域是（）A(0)，B(2，C1(02，D1(0)(22U，6.函数22|3yxx的值域是（）A(3)，B 3)，C(4)，D 4)，7.函数241)1
5、xyxx，的值域是（）A3)，B(2)(2)U，C(2 3，D(3，8.函数2211xyx的值域是（）A 1 1，B(1 1，C 1 1)，D(1 1)，9.函数()12f xxx 的值域是（）A 1 1，B1)，C(1，D 1)，4 10.函数212log(613)yxx的值域是（）AR B8)，C(2，D 3)，11.函数2431()5xxy的值域是（）A(0)，B(0 5，C5)，D 1)，12.若函数3()1 logf xx 的定义域是(1 9，则函数22()()()g xf xf x的值域是_ 13.若函数22(10)1()(02)22 (2)xxf xxxx ，则()f x的值域是
6、_ 14.函数23 (1)log(1)xxyx x的值域是 _ 15.已知函数232 (1)()(1)xxf xxaxx，若(0)4f fa，则实数 a 的值为_ 16.设函数113e (1)()(1)xxf xxx，则使得()2f x成立的 x 的取值范围是_ 5 17.若函数1(0)()1 (0)xxf xxx，则不等式(1)(1)1xxf x的解集是_ 18.已知()f x是一次函数，且满足3(1)2(1)217f xf xx，则()f x _ 19.若2()46+2f g xxx，且()21g xx，则()f x的解析式 为_ 20.已知函数()f x的定义域为(0)，且1()2()1
7、f xfxx，则()f x _ 21.已知定义在 R 上的函数()f x满足22()2()233f xyf yxxyyxy，求()f x 22.已知定义在 R 上的函数()f x满足()()()2f xyf xf yxy(x，yR)，且(1)2f，求(3)f 的值 6 回顾与思考 _ _ _【参考答案】1(3)(3 0)，21(0)(2)2，3C 4B 5D 6B 7C 8B 9D 10C 11B 12(2 7，13(1 2，140，+)152 16(8，17(21，182x+7 192()f xxx 202133x 212()3f xxx 22(3)6f 函数的概念及表示（随堂测试）1 已知
8、函数25()()3xf xxAx的值域是4)，则函数()f x的定义域 A 是 7 _ 2 已知()f x是R上的函数，且满足(0)1f，并且对任意实数 x，y，都有()()(21)f xf xyyxy，求()f x的解析式 【参考答案】17(32，22()1f xxx 函数的概念及表示（作业）8 众享作业使用说明：众享完整学习过程包括四部分：课堂听讲，做随堂测试，做课后作业，做天天练。要想取得良好的学习效果，四部分缺一不可，必须严格按照标准执行。课后作业需要按时完成，边做边回顾课堂上老师的讲解，从自身角度来理解讲义中的知识点睛；同时将自己做题的过程与每讲作业中的例题进行对比，逐步完善自己做题
9、的每个环节。如：写作业过程中注重特征分析和总结；演草在作业中留白处进行，保留做题痕迹。天天练是众享“作业”最重要的组成部分，是训练学生持续思考的载体，做天天练时也要严格按照课堂示范以及作业示范的标准动作进行，动作一致，逐步形成本能，考试中自然有条不紊、水到渠成。例 1：若函数2()4xyf的定义域为 2 2 2，则1()2xyf的定义域为（）A 1 1，B102，C1 2，D0 3，【思路分析】明确函数的定义域指的是自变量 x 的取值组成的集合；利用函数的概念理解对应关系 f 作用的对象：A，B 是非空的数集，按照确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数，在集合 B 中都有唯一确定的
10、数与之对应 BA f 对应关系 f 作用的只能是集合 A 中的元素，需确定集合 A 中元素的特征，即2(2 2 2)4xx，的取值集合，24x的取值集合与12x的取值集合相等 根据以上对应求出12x中 x 的取值集合，即为函数 1()2xyf的定义域【过程示范】函数2()4xyf的定义域为 2 2 2，21224x 由11222x得，03x，9 函数1()2xyf的定义域为0 3，例 2：函数11()()()142xxf x 在区间-3，2上的值域为 _ 【思路分析】函数的定义域和对应关系(解析式)已明确，结合这两个要素求值域；函数并非基本初等函数，要求值域需要进一步转化；关注函数中给出的1(
11、)4x和1()2x，即对于同时含有xa与2xa的函数、方程、不等式问题，通常令xta进行代换，把问题转化成求二次函数在闭区间上的值域问题【过程示范】22111111()()()1()()1()()1422222xxxxxxf x ，可令1()2xt，x-3，2，184t，原函数可化为221311()8244ytttt ，当12t 时，min34y，当8t 时，max57y，函数11()()()142xxf x 在区间-3，2上的值域为3574，23.函数0.51log(43)yx的定义域为（）A3(1)4，B3()4，C(1)，D3(1)(1)4U，24.已知2|1|2(|1)()1 (|1)
12、1xxf xxx，则1()2f f=（）10 A12 B413 C95 D2541 25.若函数22()21xax af x的定义域为R，则实数 a 的取值范围是（）A10aa或 B10aa或 C01a D01a 26.已知函数2(0)()()2(0)xxaxf xaxR，若(1)1f f，则 a=（）A14 B12 C1 D2 27.若1()1xfxx，则()f x（）A1x B11x C11x D11x 28.已知函数1221(0)()(0)xxf xxx，若0()1f x，则0 x的取值范围是（）A(-1，1)B(-1，+)C(-，-2)(0，+)D(-，-1)(1，+)11 29.若函
13、数2()2g xx，()4()()()()g xxxg xf xg xxxg x，则 f(x)的值域是（）A9 0(1 )4U，B0，+）C9 04，D9 0(2 )4U，30.（1）函数26()1xxf xx的定义域是_ （2）若函数(3)f x的定义域为 52，则()(1)(1)F xf xf x的定义域为_ 31.求下列函数的值域：（1）()|42(2 7|f xxx，：_（2）()23f xxx：_（3）1()32xf xx：_（4）3()82(0)xf xx：_（5）2()24f xxx：_（6）2()log(31)xf x：_ 32.（1）若()f x是一次函数，且2(1)3(2)
14、3ff，2(1)(0)1ff，则()f x=_ 12 （2）若()f x是二次函数且(0)2f，(1)()1f xf xx，则()f x=_ （3）已知(1)2fxxx，则()f x=_ 33.设2 ()()xxaf xxxa，若 f(2)=4，则 a 的取值范围为_ 34.若2()1f xx，1(0)()2(0)xxg xxx，则()f g x_；()_g f x 35.已知函数2(1)(1)()41 (1)xxf xxx，则使得 f(x)1 的自变量 x 的取值范围为_ 36.若函数1(10)()1(01)xxf xxx ，则()()1f xfx 的解集为_ 13 37.已知1 (0)()
15、1(0)xf xx，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是_ 38.已知3 (10)()(7)(10)xxf xf f xx，则(5)f=_ 39.若1()(1)1()f xf xf x，(1)2 015f，则(103)f=_ 40.已知函数224(0)()4(0)xxxf xxxx，若2(2)()faf a，则实数 a 的取值范围是_ 41.已知函数22(0)()(0)xx xf xxx，若()2f f a，则实数 a 的取值范围是_ 42.已知函数 f(x)，g(x)同时满足：g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)；f(-1)=-1，f(0)=0，f(1)=1，求 g(0)，g(1)，g(2)的值 14 【参考答案】1A 2B 3D 4A 5B 6D 7D 8（1）2 1)(1 3U，（2）1 0，9（1）2 1，（2）3)2，（3）11()()22 U，（4）0 8)，（5）0 2，（6）(0)，10（1）4199x （2）213222xx （3）21x 11(2，12222(0)()43(0)xx xf g xxxx 222(11)()3(11)xxxg f xxx或 13(20 10 U，141 1)(0 12U，153(2，1610 1712 015 18(2 1)，19(2，20(0)1(1)0(2)1ggg，