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1、第 36 讲 等差数列的概念及基本运算 1(2016福州市毕业班质量检查)已知数列an是等差数列，且 a72a46，a32，则公差 d(B)A2 2 B4 C8 D16 因为 a72a4a7(a1a7)a16，所以 a16.又 a32，所以公差 da3a1312624.2已知正项数列an中，a11，a22,2a2na2n1a2n1(n2)，则 a6等于(D)A16 B8 C2 2 D4 由 2a2na2n1a2n1可知数列a2n是等差数列，且首项为 a211，公差 da22a21413.所以a2n的通项 a2n13(n1)3n2，所以 an3n2.所以 a63624.3(2017湖南长沙高三模
2、拟一)九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246 个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3 升，下面 3 节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第 2 节、第 3 节和第 8 节竹子的容积之和为(A)A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 设自上至下各节的容积依次为 a1，a2，an.依题意有 a1a2a3a43，a7a8a94，故由得 a2a332，由得 a843.故 a2a3a832439686176(升)4(2015北京卷)设an是等差数列下列结论中正确的是(C)A若 a
3、1a20，则 a2a30 B若 a1a30，则 a1a20 C若 0a1 a1a3 D若 a10 因为an是等差数列，所以 2a2a1a3，当 a2a10 时，得公差 d0，所以 a30，所以 a1a32 a1a3，所以 2a22 a1a3，即 a2 a1a3.5(2018华大新高考联盟教学质量测评)设等差数列an的前n项和Sn满足S2016S11，则 S2017 20172015.因为 S2016S1a2a3a20162015(a2a20162)2015a10091，所以 a100912015，从而 S20172017(a1a20172)2017a100920172015.6(2015新课标
4、卷)设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn 1n.由已知得 an1Sn1SnSn1Sn，两边同除以 Sn1Sn，得1Sn11Sn1，故数列1Sn是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以1Sn1(n1)n，所以 Sn1n.7(2013新课标卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2.(1)设an的公差为 d，由题意得 a211a1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是 d(2a125d)0，又 a125，所以 d0(舍去)或 d2.故 an2n27.(2)令
5、Sna1a4a7a3n2，由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列 从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n.8(2016郑州市二模)设数列an满足：a11，a23，且 2nan(n1)an1(n1)an1，则 a20的值是(D)A415 B425 C435 D445 由 2nan(n1)an1(n1)an1，得 nan(n1)an1(n1)an1nan，又因为 1a11,2a21a15，所以数列nan为首项为 1，公差为 5 的等差数列，则 20a20119596，解得 a20245.9数列an是等差数列，且 a1a2a1010，a11a
6、12a2020，则 a41a42a50 50.因为 A1S10，A2S20S10，A3S30S20，数列An构成等差数列，其中 A1S1010，公差 d10，所以 a41a42a50A5A1(51)d 1041050.10已知数列an中，a15 且 an2an12n1(n2 且 nN*)(1)求证数列an12n为等差数列；(2)求数列an的通项公式 (1)(方法一：构造法)因为 a15 且 an2an12n1，所以当 n2 时，an12(an11)2n，所以an12nan112n11，所以an12nan112n11，所以an12n是以a1122 为首项，以 1 为公差的等差数列(方法二：代入法)因为 a15，n2 时，所以an12nan112n12an12n112nan112n11，所以an12n是以a1122 为首项，以 1 为公差的等差数列(2)由(1)知an12n2(n1)1n1，所以 an(n1)2n1.