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1、 常见全等辅助线 知识集结 知识元 倍长中线型 知识讲解 倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：（1）倍长中线型这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点 D为 AC 边的中点 作法：延长 BD至 E，使得 DE=BD，连结 AE.2.倍长过中点的任意线段型
2、这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点 D为 AC 边的中点 作法：延长 FD 至 E，使得 DE=DF，连结 AE.3.平行线构造“8字型”中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点 E为 DF的中点 作法：过点 D 作 DM/AF，交 AC于点 M.另外，平行线构造“8 字型”的模型还可以有以下两种类型：例题精讲 倍长中线型 例 1.已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是 例 2.如图，AD是ABC的中线，BE交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BF 例 3.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图
3、 1，ABC中，若 AB=8，AC=6，求 BC边上的中线 AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD到点 E，使 DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB 的理由是 ASSS BSAS CAAS DHL（2）求得 AD的取值范围是 A6AD8 B6AD8 C1AD7 D1AD7 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中【问题解决】（3）如图 2，AD是ABC的中线，BE 交 AC于 E，交 AD于 F，且 AE=EF 求证：AC=BF 倍长过中
4、点的任意线段型 知识讲解 当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.例题精讲 倍长过中点的任意线段型 例 1.如图，在ABC中，ABAC，E为 BC边的中点，AD为BAC的平分线，过 E 作 AD的平行线，交 AB于 F，交 CA 的延长线于 G求证：BF=AC+AF 例 2.如图，ABC 中，E，F分别在 AB，AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小 平行线构造“8 字型”知识讲解 当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8 字型”的
5、全等.例题精讲 平行线构造“8 字型”例 1.如图，ABC 中，AB=AC，D 在 AB上，F在 AC的延长线上，且 BD=CF，连接 DE交 BC 于E求证：DE=EF 例 2.如图，ACBD，E为 CD 的中点，AEBE（1）求证：AE 平分BAC，BE 平分ABD；（2）线段 AB、AC、BD 有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明 例 3.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明 已知：如图，E是 BC的中点，点 A 在 DE上，且BAE=CDE 求证：AB=CD 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一
6、个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等因此，要证 AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明 截长法添加辅助线 知识讲解 在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.举例说明：1.当三线关系出现在
7、已知条件中，如：已知 AC=AB+BD，则（1）截长法 具体操作：在线段 AC 上截取 AM=AB 条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和 CM=BD”【注】当然也可以在线段 AC 上截取 AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法 具体操作：延长 AB至 N，使得 AN=AC 条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和 BN=BD”【注】当然也可以延长 BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明 AC=AB+BD，则（1）截长法 具体操作：在线段
8、 AC 上截取 AM=AB 条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”【注】当然也可以在线段 AC 上截取 AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法 具体操作：延长 AB至 N，使得 AN=AC 条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”【注】当然也可以延长 BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.例题精讲 截长法添加辅助线 例 1.如图，已知 AD为等腰三角形 ABC 的底角的平分线，C=90，求证：AB=AC
9、+CD 例 2.如图，ABC 中，B=60，BAC，ACB的平分线 AD，CE交于点 O，说明 AE+CD=AC 的理由 例 3.如图 1，ABC中，BAC=90，ABC=45，点 P 为ABC三条平分线的交点，连 PA，PB，PC（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图 2，若将“ABC=45”变为“ABC=60”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP 补短法添加辅助线 知识讲解 当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.例题精讲 补短法添加辅助线 例 1.如图，ABC 内，BAC=60，ACB=40，P，Q分别在 B
10、C，CA 上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC 的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP 例 2.（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边 BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边 BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 当堂
11、练习 填空题 练习 1.已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是 解答题 练习 1.如图，ABC 中，E，F分别在 AB，AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小 练习 2.如图：在ABC中，点 D在 AB边上，点 E 在 AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE求证：AB=AC 练习 3.如图，AD为ABC的角平分线，M为 BC的中点，MEAD交 BA的延长线于 E，交 AC于F求证：BE=CF 练习 4.如图，ABC 内，BAC=60，ACB=40，P，Q分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC 的平分线，求证：BQ+
12、AQ=AB+BP 练习 5.如图，AD是ABC的中线，BE交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BF 练习 6.如图，在ABC中，ABAC，E为 BC边的中点，AD为BAC的平分线，过 E 作 AD的平行线，交 AB于 F，交 CA 的延长线于 G求证：BF=AC+AF 练习 7.如图，ABC 中，AB=AC，D 在 AB上，F在 AC的延长线上，且 BD=CF，连接 DE交 BC 于E求证：DE=EF 练习 8.如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD 练习 9.如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：DA平分CDE 练习 10.ABCD是正方形，P 为 BC上任意一点，PAD的平分线交 CD于 Q，求证：DQ=AP-BP 练习 11.如图，已知 AD为等腰三角形 ABC 的底角的平分线，C=90，求证：AB=AC+CD 练习 12.已知，如图：AD是ABC的中线，AEAB，AE=AB，AFAC，AF=AC，连结 EF试猜想线段 AD与 EF的关系，并证明