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1、初初 中中 数数 学学 证证 明明 题题 常常 见见 辅辅 助助 线线 作作 法法 记记 忆忆 歌歌 诀诀及几何规律汇编及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。初中几何常见辅助线作法歌诀初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，
2、三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦
3、端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。线、角、相交线、平行线线、角、相交线、平行线规律规律 1.1.如果平面上有如果平面上有 n(nn(n2)2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，
4、那么每两个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出点画一条直线，一共可以画出n(nn(n1)1)条条.规律规律 2.2.平面上的平面上的 n n 条直线最多可把平面分成条直线最多可把平面分成n(n+1)+1n(n+1)+1个部分个部分.规律规律 3.3.如果一条直线上有如果一条直线上有 n n 个点，个点，那么在这个图形中共有线段的条数为那么在这个图形中共有线段的条数为n(nn(n1)1)条条.规律规律 4.4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半线段长的一半.例
5、：如图，B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN=AC证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点AM=BM=AB,BN=CN=BC121212121212121212MN=MB+BN=AB+BC=(AB+BC)12MN=AC练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM=(AB+BC)2.如图，点 B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.12求证：MN=BC3.如图，点 B 在线段 AC 上，N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.求证：MN=AB121212规律规律 5.5.有公共端
6、点的有公共端点的 n n 条射线所构成的交点的个数一共有条射线所构成的交点的个数一共有n(nn(n1)1)个个.规律规律 6.6.如果平面内有如果平面内有 n n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n2n（n n1 1）个）个.规律规律 7.7.如果平面内有如果平面内有 n n 条直线都经过同一点，则可构成条直线都经过同一点，则可构成 n n（n n1 1）对对顶角）对对顶角.规律规律 8.8.平面上若有平面上若有 n n（n n3 3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共
7、可作出三角形一共可作出n(n(n1)(n1)(n2 2）个）个.规律规律 9.9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 9090o o.规律规律 10.10.平面上有平面上有 n n 条直线相交，最多交点的个数为条直线相交，最多交点的个数为n(nn(n1)1)个个.规律规律 11.11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律规律 12.12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内
8、角的角平分线互相垂直平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规规律律13.13.已知已知 ABABDE,DE,如图如图,规规律如下：律如下：规规律律14.14.成“成“8 8”字形的两个三角形的”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若C=55o,求E 的度数.A=45o,1216解：AABE=EADECCDE=ECBE得AABECCDE=EADEECBEBE 平分ABC、DE 平分ADC，ABE=CBE，CDE=ADE2E=ACE=(
9、AC)A=45o,C=55o,E=50o12三角形部分三角形部分规律规律 1515在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证：ABACBDDECE.证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、在AMN 中，AM ANMDDENE在 BDM中，MB MD BDAC
10、 于 M、N在CEN 中，CNNECE 得AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDECE证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，ABAFBDDGGFGFFCGECEDGGEDE有ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDECE注意：注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，常通过引辅助线，把求证的量把求证的量（或（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习练习：已知：如图
11、 P 为ABC 内任一点，求证：(ABBCAC)PAPBPCABBCAC规律规律 1616三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半个内角的一半.例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于 D.求证：A=2D证明：BD、CD 分别是ABC、ACE 的平ACE=21,ABC=22A=ACE ABCA=2122又D=12分线12A=2D规律规律 17.17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 9
12、090 加上第三个内角的一加上第三个内角的一半半.例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB，求证：BDC=90 A证明：BD、CD 分别平分ABC、ACBA2122=180o2(12)=180 ABDC=180o(12)(12)=180oBDC把式代入式得 2(180oBDC)=180oA即：360o2BDC=180oA2BDC=180oABDC=90oA规律规律 18.18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 9090o o减去第三个内角的一减去第三个内角的一半半.例：如图，BD、CD 分别平分EBC、FCB，求证：BDC=90oA证明：BD
13、、CD 分别平分EBC、FCBEBC=21、FCB=2221=AACB 22=AABC得1212ooo o122（12）=AABCACBA2（12）=180 A（12）=90 ABDC=180(12)BDC=180o(90oA)BDC=90oA规律规律 19.19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，CB，ADBC 于 D，AE 平分BAC.求证：EAD=(CB)证明：AE 平分BACBAE=CAE=BACBAC=180o(
14、BC)EAC=180o(BC)ADBCDAC=90oCEAD=EACDACEAD=180o(BC)(90oC)121212121212ooo1212 =90o(BC)90oC =(CB)如果把如果把 ADAD 平移可以得到如下两图，平移可以得到如下两图，FDFDBCBC 其它条件不变，结论为其它条件不变，结论为EFD=EFD=1(C CB).B).212注意：注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的
15、能力.规律规律 20.20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法（二）：连结 AD，并延长
16、交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD外角，即：BDCBAC规律规律 21.21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1=2，3=4，求证：BECFEF证明：在 DA 上截取 DN=DB，连结 NE、NF，在BDE 和NDE 中，DN=DB1=2ED=EDBDENDEBE=NE同理可证：CF=NF在EFN 中，ENFNEFBECFEF规律规律 22.22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形有以线段中点为端点
17、的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1=2，3=4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM=DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD=CD1=5ED=MD则 DN=DCBDECDMCM=BE又1=2，3=4123 4=1803 2=90o即EDF=90oFDM=EDF=90EDF 和MDF 中ED=MDFDM=EDFDF=DFEDFMDFEF=MF在CMF 中，CFCM MFBECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律规律 23.23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造
18、全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD=CD在ACD 和EBD 中ooBD=CD1=2AD=EDACDEBDABE 中有 ABBEAEABAC2AD规律规律 24.24.截长补短作辅助线的方法截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段当已知或求证中涉及到线段 a a、
19、b b、c c、d d 有下列情况之一时用此种方法：有下列情况之一时用此种方法：aab babab=c=cab=cdab=cd例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD 上任一点，求证：ABACPBPC证明：截长法：截长法：在 AB 上截取 AN=AC，连结 PN在APN和APC中，AN=AC1=2AP=APAPNAPCPC=PNBPN 中有 PBPCBNPBPCABAC补短法：补短法：延长 AC 至 M，使 AM=AB，连结 PM在ABP 和AMP 中AB=AM1=2AP=APABPAMPPB=PM又在PCM 中有 CM PMPCABACPBPC练习练习：1.已知，在ABC
20、 中，B=60o,AD、CE角平分线,并且它们交于点 O求证：AC=AECD2.已知，如图，ABCD1=2,3=求证：BC=ABCD规律规律 25.25.证明两条线段相等的步骤：证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等证它们所在的三角形全等.4.是ABC 的如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形如果没有相等的线段代换，可设法作辅助
21、线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B=C，1=2，求证：DF=EF证明：ADF=B3AEF=C4又3=4B=CADF=AEF在ADF 和AEF 中ADF=AEF1=2AF=AFADFAEFDF=EF规律规律 26.26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB=AC，BAC=90o，过 A 作任一条直线 AN，作BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DE=BDCE证明：BAC=90o,BDAN12=90o13=90o2=3
22、BDAN CEANBDA=AEC=90o在ABD 和CAE 中，BDA=AEC2=3AB=ACABDCAEBD=AE 且 AD=CEAEAD=BDCEDE=BDCE规律规律 27.27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E求证：BE=CF证明：（略）规律规律 28.28.条件不足时延长已知边条件不足时延长已知边例：已知 AC=BD，ADAC 于 A，求证：AD=BC证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE=DBE=90o在DBE 和C
23、AE 中DBE=CAEBD=ACE=E构造三角形构造三角形.BCBD 于 BDBECAEED=EC，EB=EAEDEA=EC EBAD=BC规律规律 29.29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，ADBC求证：AB=CD证明：连结 AC（或 BD）ABCD，ADBC1=2在ABC 和CDA 中，1=2AC=CA3=4ABCCDAAB=CD练习练习：已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF规律规律 30.30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂
24、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”等腰归”.例：已知，如图，在 RtABC 中，AB=AC，BAC=90o，1=2，CEBD的延长线于 E求证：BD=2CE证明：分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF=BEC=90在BEF 和BEC 中1=2 BE =BEBEF=BECBEFBECCE=FE=CFBAC=90o,BECFBAC =CAF=90o1BDA=90o1BFC=90oBDA=BFC在ABD 和ACF 中BAC =CAFBDA=BFCAB=ACABDACFBD=CFBD=2CE12o练习：已知，如图，ACB=3B，1=2,CDAD 于 D，求证：
25、ABAC=2CD规律规律 31.31.当证题有困难时，当证题有困难时，可结合可结合把图形中的某两点连接把图形中的某两点连接全等三角形全等三角形.例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB=DC，求证：A=D证明：（连结 BC，过程略）规律规律 32.32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.例：已知，如图，AB=DC，A=D求证：ABC=DCB证明：分别取 AD、BC 中点 N、M，连结 NB、NM、NC（过程略）规律规律 33.33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上有角平
26、分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1=2，P 为 BNABBC=2BD，求证：BAPBCP=180o证明：过 P 作 PEBA 于 EPDBC，1=2PE=PD在 RtBPE 和 RtBPD 中上一点，且 PDBC 于 D，AC=BD，已知条件，已知条件，起起 来来 构构 造造BP=BPPE=PDRtBPERtBPDBE=BDABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAEAE=CDPEBE，PDBCPEB=PDC=90o在PEA 和PDC 中PE=PDPEB=PDCAE=CDPEAPDCPCB=EAPBA
27、PEAP=180oBAPBCP=180o练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2.已知，如图，在ABC 中，ABC=100o，ACB=20o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD=20o，求CED 的度数。规律规律 34.34.有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB=AC，BDAC 于 D，求证：BAC=2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，
28、交 BC 于 E，则1=2=BAC又AB=ACAEBC2ACB=90oBDACDBCACB=90o2=DBCBAC=2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD=CD又AB=ACAD 平分BACDEAB，DFAC12DE=DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，在
29、 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使 AE=AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN=AB,连结 CN,则 AB=AN=ACB=ACB,ACN=ANCBACBACNANC=1802BCA2ACN=180oBCAACN=90o即BCN=90oNCBCAE=AFAEF=AFE又BAC=AEF AFEBAC=ACN ANCBAC=2AEF=2ANCAEF=ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且BD=CE，连结 DE 交 BC 于
30、Fo求证：DF=EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB=ACB，NDE=E，AB=AC，B=ACBB=DNBBD=DN又BD=CEDN=EC在DNF 和ECF 中1=2NDF=EDN=ECDNFECFDF=EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB=B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，E 在上，且 AD=AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE=BAC 上，D 在 BA 延长线AEF=CAB=ACB=
31、CAFE=AEFAD=AEAED=ADE又AFEAEFAEDADE =1802AEF2AED=90o即FED=90oDEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N，（过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，BAC =80o ,P 为形内一点，若PBC=10oPCB=30o求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE=ABE=60oAE=AB=BEAB=ACAE=AC
32、ABC=ACBoAEC=ACEEAC=BACBAE =80o60o=20oACE=1(180o2 ACB=12(180o BCE=ACEACB =80o50o=30oPCB=30oPCB=BCEABC=ACB=50o,ABE=60oEBC=ABEABC=60o50o=10oPBC=10oPBC=EBC在PBC 和EBC 中PBC=EBCBC=BCPCB=BCEPBCEBCBP=BEAB=BEAB=BPEAC)=80oBAC)=50oBAP=BPAABP=ABCPBC=50 10 =40PAB=(180 ABP)=70解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边
33、三角形BCE，连结 AE,则EB=EC=BC，BEC=EBC=60oEB=ECE 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的EABCAEB=BEC=30 =PCB由解法一知：ABC=50oABE=EBCABC=10o=PBCABE=PBC,BE=BC,AEB=PCBABEPBCAB=BPBAP=BPAABP=ABCPBC=50o10o=40oPAB=(180oABP)=(180o40o)=70o规律规律 35.35.有二倍角时常用的辅助线有二倍角时常用的辅助线121212oooo12oo中垂线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角构造等腰三角形使二倍
34、角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中，1=2，ABC=2C，求证：ABBD=AC证明：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连结 DE则BED=BDEABD=EBDEABC=2EABC=2CE=C在AED 和ACD 中E=C1=2AD=ADAEDACDAC=AEAE=ABBEAC=ABBE即 ABBD=AC平分二倍角平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC=2DBC求证：ABC=ACB证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则BAE=CAE=DBCBDACCBD C=90CAEC=90oAEC=180 CAEC=90AEBCABCBAE=90o
35、CAEC=90BAE=CAEABC=ACB加倍小角加倍小角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC=2DBC求证：ABC=ACB证明：作FBD=DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）规律规律 36.36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，BAC=120o，EF 为 AB 的垂直平分线，EF交 BC 于 F，交 AB 于 E求证：BF=FC证明：连结 AF，则 AF=BFB=FABAB=ACB=CBAC=120o12ooooB=CBAC=(180 BAC)FAB=3
36、0o12o=30oFAC=BACFAB=120 30 =90又C=30oAF=FC1212oooBF=FC练习：已知，如图，在ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 D，DMAB 于 M，DNAC 延长线于 N求证：BM=CN规律规律 37.37.有垂直时常构造垂有垂直时常构造垂例：已知，如图，在ABC 中，求证：CD=ABBD证明：（一）在 CD 上截取 DE=DB，连结 AE，则 AB=AEB=AEBB=2CAEB=2C又AEB=CEACC=EACAE=CE又CD=DECECD=BDAB直平分线直平分线.B=2C，ADBC 于 D（二）延长 CB 到 F，
37、使 DF=DC，连结 AF 则 AF=AC（过程略）规律规律 38.38.有中点时常构造垂直平分线有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中，BC=2AB,ABC=2C,BD=CD求证：ABC 为直角三角形证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE=CE，C=EBCABC=2CABE=EBCBC=2AB，BD=BD=AB在ABE 和DBEAB=BDABE=EBCBE=BEABEDBEBAE=BDEBDE=90oBAE=90o即ABC 为直角三角形规律规律 39.39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题当涉及到线段平方的关系式时常构造
38、直角三角形，利用勾股定理证题.例：已知，如图，在ABC 中，A=90o，DE 为 BC 的垂直平分线求证：BE2AE2=AC2中CD证明：连结 CE，则 BE=CEA=90oAE2AC2=EC2AE AC=BEBE2AE2=AC2练习：已知，如图，在ABC 中，BAC=90o，BC 上一点求证：PB2PC2=2PA2规律规律 40.40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在ABC 中，B=45o，C=30o，AB=2，求 AC 的长.解：过 A 作 ADBC 于 DBBAD=90o，B=45o，B=BAD=45o，
39、AD=BDAB2=AD2BD2，AB=2AD=1C=30o，ADBCAC=2AD=2AB=AC，P 为222四边形部分四边形部分规律规律 41.41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知,ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比BOC 的周长多 8cm，求这个四边形各边长.解：四边形 ABCD 为平行四边形AB=CD，AD=CB，AO=COABCDDACB=60AOABOB(OBBCOC)=8ABBC=30，ABBC=8AB=CD=19，BC=AD=11答：这个四边形各边长分别为 19cm
40、、11cm、19cm、11cm.规律规律 42.42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差邻边之差.（例题如上）规律规律 43.43.有平行线时常作平行线构造平行四边形有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，RtABC，ACB=90o，CDD，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FHBC 于 H求证：CE=BH证明：过 F 作 FPBC 交 AB 于 P，则四边形 FPBH 为平行四边形B=FPA，BH=FPACB=90o，CDAB5CAB=45o，BCAB=90o5=B5=F
41、PA又1=2，AF=AF AB于 AB交CAFPAFCF=FP4=15，3=2B3=4CF=CECE=BH练习：已知，如图，ABEFGH，BE=GC求证：AB=EFGH规律规律 44.44.有以平行四边形一边中点为端有以平行四边形一边中点为端此线段此线段.例：已知，如图，在ABCD 中，AB=2BC，M 为 AB 中点求证：CMDM证明：延长 DM、CB 交于 N四边形 ABCD 为平行四边形AD=BC，ADBCA=NBA又AM=BMAMDBMNAD=BNBN=BCAB=2BC，AM=BMBM=BC=BN点点的的线线段段时时常常延延长长ADN=N1=2，3=N123N=180，13=90oCM
42、DM规律规律 45.45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE=OF规律规律 46.46.平行平行任任 意意四边形一边四边形一边（或这边所在的直线）（或这边所在的直线）上的上的一点与对边的两个端点的连线所构成一点与对边的两个端点的连线所构成o的三角形的面积等于平行四边形面积的一半的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SBEC=SABCD12规律规律 47.47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连平行四边形内任意一点与四个顶点的连构成的四个三角形中，构成的四个三角形中，不相邻的两个三不相邻的两个三的面积之和等于平行四边形面积的一的面
43、积之和等于平行四边形面积的一如图：SAOB SDOC=SBOCSAOD=SABCD规律规律 48.48.任意一点与同一平面内的矩形各任意一点与同一平面内的矩形各中，中，不相邻的两条线段的平方和相不相邻的两条线段的平方和相如图：AO2OC2=BO2DO2规律规律 49.49.平行四边形四个内角平分线所围平行四边形四个内角平分线所围形为矩形形为矩形.如图：四边形 GHMN 是矩形12线所线所角形角形半半.点的连线点的连线等等.成的四边成的四边（规律（规律 4545规律规律 4949 请同学们自己证明）请同学们自己证明）规律规律 50.50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线有垂直时可作垂线构造矩形或
44、平行线.例：已知，如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE=ED，P 为对角线 BD 上一点，PFBE 于 F，PGAD 于 G求证：PFPG=AB证明：证法一：过 P 作 PHAB 于 H，则四边形 AHPG 为矩形AH=GP PHADADB=HPBBE=DEEBD=ADBHPB=EBD又PFB=BHP=90oPFBBHPHB=FPAHHB=PGPF即 AB=PGPF证法二：延长 GP 交 BC 于 N，则四边形 ABNG 为矩形，（证明略）规律规律 51.51.直角三角形常用辅助线方法：直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高作斜边上的高例：已知，如图,若从矩形 ABCD 的
45、顶点 C 作对角线 BD 的垂线与BAD 的平分线交于点 E求证：AC=CE证明：过 A 作 AFBD，垂足为 F，则 AFEGFAE=AEG四边形 ABCD 为矩形BAD=90 OA=ODBDA=CADAFBDABDADB=ABDBAF=90BAF=ADB=CADAE 为BAD 的平分线BAE=DAEBAEBAF=DAEDAC即FAE=CAECAE=AEGAC=EC作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时有斜边中点时例：已知，如图，AD、BE 是ABC 的高，F 是 DE 的中点，G 是 AB 的中点求证：GFDE证明：连结 GE、GDAD
46、、BE 是ABC 的高，G 是 ABGE=AB，GD=ABGE=GD1212oo的中点F 是 DE 的中点GFDE有和斜边倍分关系的线段时有和斜边倍分关系的线段时例：已知，如图，在ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 DABA 于 A，AC=BD求证：ACB=2B证明：取 BD 中点 E，连结 AE，则 AE=BE=BD1=BAC=BDAC=AEACB=22=1B2=2BACB=2B规律规律 52.52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：已知，如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于
47、E，作 PFCD于 F求证：AP=EF证明:连结 AC、PC四边形 ABCD 为正方形BD 垂直平分 AC，BCD=90oAP=CP121212PEBC，PFCD，BCD=90o四边形 PECF 为矩形PC=EFAP=EF规律规律 53.53.有正方形一边中点时常取另一边中点有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知,如图，正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，MNMD，BN 平分CBE 并交 MN于 N求证：MD=MN证明：取 AD 的中点 P，连结 PM，则 DP=PA=AD四边形 ABCD 为正方形AD=AB,A=ABC=90o1AMD=90o，又 DMMN2AMD=90o1=2M
48、 为 AB 中点AM=MB=ABDP=MB AP=AMAPM=AMP=45oDPM=135oBN 平分CBECBN=45o1212MBN=MBCCBN=90o45o=135o即DPM=MBNDPMMBNDM=MN注意：注意：把 M 改为 AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习：已知，Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CQ 上一点，且 AP=PCBC求证：BAP=2QAD规律规律 54.54.利用正方形进行旋转变换利用正方形进行旋转变换旋转变换就是当图形具有邻旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到
49、另一位置的引辅助线方法图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要从而为证题创造必要的条件的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：已知，如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90o，D 为 BC 边上任一点求证：2AD2=BD2CD2证明：把ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o得ACEBD=CEB=ACEBAC=90oDAE=90oDE2=AD2AE2=2AD2BACB=90oDCE=90oCD
50、CE =DE2AD2=BD2CD2注意：把ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 也可，方法同上。练习：已知，如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，BF 平分CBE 交 CD 于 F求证：BE=CF AE规律规律 55.55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形角形.例：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、DA 的中点，BE 与 CF 交于 P 点求证：AP=AB证明：延长 CF 交 BA 的延长线于 K四边形 ABCD 为正方形BC=AB=CD=DABCD=D=BAD=90o