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1、例例 1 1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。思路分析思路分析：1 1题意分析题意分析：此题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2 2解题思路解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程解答过程：证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD
2、 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解题后的思考：解题后的思考：等腰三角形“三线合一性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。2 2假设遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，假设遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转。构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转。例例 2 2：如图，
3、ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析思路分析：1 1题意分析题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识。2 2解题思路解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，此题给出了AD 又是 BC 边上的中线这一条件，而且要求证 AB=AC，可倍长 AD 得全等三角形，从而问题得证。解答过程：解答过程：证明：延长证明：延长 ADAD 到到 E E，使，使 DE=ADDE=AD，连接，连接 BEBE。又因为又因为 ADAD 是是 BCBC 边上的中线，边上的中线，BD=DC
4、BD=DC又又BDE=BDE=CDACDABEDBEDCADCAD，故故 EB=ACEB=AC，E=E=2 2，ADAD 是是BACBAC 的平分线的平分线1=1=2 2，1=1=E E，AB=EBAB=EB，从而，从而 AB=ACAB=AC，即，即 ABCABC 是等腰三角形。是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，常加倍延长此线段，再将再将端点连结，便可得到全等三角形。端点连结，便可得到全等三角形。3遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折，所考知识点常常
5、是角平分线的性质定理或逆定理。例 3：，如图，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。思路分析思路分析：1 1题意分析题意分析：此题考查角平分线定理的应用。2 2解题思路解题思路：因为 AC 是BAD 的平分线，所以可过点 C 作BAD 的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程解答过程：证明：作 CEAB 于 E，CFAD 于 F。AC 平分BAD，CE=CF。在 RtCBE 和 RtCDF 中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。解题后的思考：解题后的思考：关于角平行线的问题
6、，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。4 4过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠是全等变换中的“平移或“翻转折叠例例 4 4：如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF交 BC 于 D，假设 EB=CF。求证：DE=DF。思路分析思路分析：1 1题意分析题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2 2 解题思路解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形DEB与DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等
7、线段的等量代换：过E 作 EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：解答过程：证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G，那么EGB=ACB，又 AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解题后的思考：解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例例 5 5：ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析思路分析：1 1题意分析题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识：
8、作平行线。2 2解题思路解题思路：此题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。解答过程解答过程：证明：如图1，过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=O
9、BA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：解题后的思考：1 此题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法。2此题利用“平行法的解法也较多，举例如下：如图2，过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，那么ADOABO 从而得以解决。如图5，过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，那么ABPADP 从而得以解决。小结：小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换
10、的观点可以看到，不管是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。5 5截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例例 6 6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=
11、AD+BC。思路分析：思路分析：1 1 题意分析：题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2 2解题思路：解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法中的“截长，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而到达简化问题的目的。解答过程解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCEBCESAS，2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE与ADE中，FDEADEASA，DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。试题答案1、分析：因为平角等于 18
12、0，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法来实现。证明：过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2RtADERtCDF(HL)，DAE=DCF。又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=1802、分析：与 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短进行全等三角形的构造。证明：过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 2-2RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD又BAP
13、+PAE=180。BAP+BCP=1803、分析：从结论分析，“截长或“补短都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。证明：方法一补短法延长AC到E，使DC=CE，那么CDECED，如图 3-2AFDACDSAS，DF=DC，AFDACD。又ACB2B，FDBB，FD=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、证明：方法一将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE；在BDM 中，MB+MDBD；在CEN 中，CN+NECE；由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+
14、ACBD+DE+EC方法二：图 4-2延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF、GFC 和GDE 中有：AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。5、分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去ACDEBDSASBE=CA全等三角形对应边相等
15、在ABE 中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边AB+AC2AD。6、分析：欲证AC=BF，只需证 AC、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含有 AC、BF 的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AC、BF 的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形 ADC 为根底三角形，转移线段 AC，使 AC、BF 在三角形BFH 中方法一：延长 AD 到 H，使得DH=AD，连结BH，证明ADC 和HDB 全等，得AC=BH。通过证明H=BFH，得
16、到 BF=BH。ADCHDB(SAS)AC=BH，H=HACEA=EFHAE=AFE又BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：过B 点作 BH 平行 AC，与AD 的延长线相交于点 H，证明ADC 和HDB 全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线可以得到两个全等三角形。而过一点作直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD 为根底三角形。转移线段BF，使AC、BF 在两个全等三角形中方法三：延长 FD 至 H，使得 DH=FD，连接 HC。证明CDH 和BDF 全等即可。BFDCHD(SAS)H=BFHAE=FEHAC=AFE又AFE=BFHH=HACCH=CABF=AC方法四：过 C 点作 CH 平行 BF，与 AD 的延长线相交于点 H，证明CDH 和BDF 全等即可。