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1、 初中数学证明题常见辅助线作法规律 LELE was finally revised on the morning of December 16,2020 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现
2、。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆
3、心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。线、角、相交线、平行线 规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么
4、每两点画一条直线，一共可以画出12n(n1)条.规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成12n(n+1)+1个部分.规律 3.如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n1)条.规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B在线段 AC 上，M 是 AB的中点，N是 BC 的中点.求证：MN=12AC 证明：M 是 AB的中点，N是 BC 的中点 AM=BM=12AB,BN=CN=12BC MN=MB+BN=12AB+12BC=12(AB+BC)MN=12AC 练习：1.如图，点 C 是线段 AB上的一点，M
5、 是线段 BC 的中点.求证：AM=12(AB+BC)NMCBA MCBA 2.如图，点 B在线段 AC 上，M 是 AB的中点，N是 AC 的中点.求证：MN=12BC 3.如图，点 B在线段 AC 上，N是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.求证：MN=12AB 规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有12n(n1)个.规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n1）个.规律 7.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角.规律 8.平面上若有 n（n3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可
6、作出16n(n1)(n2）个.规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n1)个.规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.NMCBA NMCBA 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.13.已知 ABDE,如规律图,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.1 ABC+BCD+CDE=360 EDCBA+=CDEABCBCD2
7、 EDCBA-=CDEABCBCD3 EDCBA-=CDEABCBCD4 EDCBA+=CDEABCBCD5 EDCBA+=CDEABCBCD6 EDCBA HGFEDBCA HGFEDBCA HGFEDBCA 例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A=45o,C=55o,求E的度数.解：AABE=EADE CCDE=ECBE 得 AABECCDE=EADEECBE BE平分ABC、DE 平分ADC，ABE=CBE，CDE=ADE 2E=AC E=12(AC)A=45o,C=55o,E=50o 三角形部分 规律 15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两
8、点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证：ABACBDDECE.NMEDBCA 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于 M、N 在AMN 中，AM ANMDDENE 在BDM 中，MBMDBD 在CEN 中，CNNECE 得 AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDECE 证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，ABAFBDDGGF GFFCGECE DGGEDE 有 ABAFGFFCD
9、GGEBDDGGFGECEDE ABACBDDECE FGNMEDCBA 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点，求证：12(ABBCAC)PAPBPCABBCAC 规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于 D.求证：A=2D 证明：BD、CD 分别是ABC、ACE 的平分线 ACE=21,ABC=22 A=ACE
10、ABC A=2122 又D=12 A=2D 规律 17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o加上第三个内角的一半.21CEDBA 例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB，求证：BDC=90o12A 证明：BD、CD 分别平分ABC、ACB A2122=180o 2(12)=180oA BDC=180o(12)(12)=180oBDC 把式代入式得 2(180oBDC)=180oA 即：360o2BDC=180oA 2BDC=180oA BDC=90o12A 规律 18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分EBC、
11、FCB，求证：BDC=90o12A 证明：BD、CD 分别平分EBC、FCB EBC=21、FCB=22 21=AACB 22=AABC DCBA21 得 2（12）=AABCACBA 2（12）=180oA（12）=90o12A BDC=180o(12)BDC=180o(90o12A)BDC=90o12A 规律 19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，CB，ADBC 于 D，AE 平分BAC.求证：EAD=12(CB)证明：AE 平分BAC BAE=CAE=12BAC BAC=180o(BC)EAC=121
12、80o(BC)ADBC 21FEDCBA EDCBA DAC=90o C EAD=EACDAC EAD=12180o(BC)(90oC)=90o12(BC)90oC =12(CB)如果把 AD 平移可以得到如下两图，FDBC 其它条件不变，结论为EFD=12(CB).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.
13、例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC ABCDEFFEDCBA 证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDCDEC 同理：DECBAC BDCBAC 证法（二）：连结 AD，并延长交 BC 于 F BDF 是ABD 的外角，BDFBAD 同理CDFCAD BDFCDFBADCAD 即：BDCBAC 规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1=2，3=4，求证：BECFEF 证明：在 DA 上截取 DN=DB，连结 NE、NF，则 DN=DC 在BDE 和NDE 中，DN=DB FAB
14、CDEDCBA 4321NFEDCBA 1=2 ED=ED BDENDE BE=NE 同理可证：CF=NF 在EFN 中，ENFNEF BECFEF 规律 22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1=2，3=4，求证：BECFEF 证明：延长 ED 到 M，使 DM=DE，连结 CM、FM BDE 和CDM 中，BD=CD 1=5 ED=MD BDECDM CM=BE 又1=2，3=4 123 4=180o 3 2=90o 即EDF=90o FDM=EDF=90o EDF 和MDF 中 ED=MD FDM=EDF DF=DF
15、EDFMDF EF=MF 在CMF 中，CFCM MF BECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律 23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 BE AD 为ABC 的中线 BD=CD 在ACD 和EBD 中 BD=CD 1=2 MABCDEF12345 12EDCBA AD=ED ACDEBD ABE 中有 ABBEAE ABAC2AD 规律 24.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法
16、统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：ab ab=c ab=cd 例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD 上任一点，求证：ABACPBPC 证明：截长法：在 AB 上截取 AN=AC，连结 PN 在APN 和APC 中，AN=AC 1=2 AP=AP APNAPC P12NDCBA PC=PN BPN 中有 PBPCBN PBPCABAC 补短法：延长 AC 至 M，使 AM=AB，连结 PM 在ABP 和AMP 中 AB=AM 1=2 AP=AP ABPAMP PB=PM 又在PCM 中有 CM PMPC ABACPBPC
17、 练习：1.已知，在ABC 中，B=60o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O 求证：AC=AECD 2.已知，如图，ABCD1=2,3=4.求证：BC=ABCD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：ABCD21PM 4321EDCBA 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B=C，1=2，求证：DF=EF 证明：ADF=B3 AEF=C4 又3=4 B=C ADF=AEF
18、在ADF 和AEF 中 ADF=AEF 1=2 AF=AF ADFAEF DF=EF 4321FEDCBA 规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB=AC，BAC=90o，过 A 作任一条直线AN，作 BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DE=BDCE 证明：BAC=90o,BDAN 12=90o 13=90o 2=3 BDAN CEAN BDA=AEC=90o 在ABD 和CAE 中，BDA=AEC 2=3 AB=AC ABDCAE BD=AE 且 AD=CE AEAD=BDCE DE=BDCE 规律
19、27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E 321NEDCBA 求证：BE=CF 证明：（略）规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC=BD，ADAC 于 A，BCBD 于 B 求证：AD=BC 证明：分别延长 DA、CB 交于点 E ADAC BCBD CAE=DBE=90o 在DBE 和CAE 中 DBE=CAE BD=AC E=E DBECAE ED=EC，EB=EA EDEA=EC EB AD=BC 21DCBAFE OEDCBA 规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化
20、成三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，ADBC 求证：AB=CD 证明：连结 AC（或 BD）ABCD，ADBC 1=2 在ABC 和CDA 中，1=2 AC=CA 3=4 ABCCDA AB=CD 练习：已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF 规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.4321DCBA EFDCBA 例：已知，如图，在 RtABC 中，AB=AC，BAC=90o，1=2，CEBD 的延长线于 E 求证：BD=2CE 证明：分别延长 BA、CE 交于 F BECF BEF=BEC=90o 在BEF 和B
21、EC 中 1=2 BE =BE BEF=BEC BEFBEC CE=FE=12CF BAC=90o,BECF BAC =CAF=90o 1BDA=90o 1BFC=90o BDA=BFC 在ABD 和ACF 中 21EFDCBA BAC =CAF BDA=BFC AB=AC ABDACF BD=CF BD=2CE 练习：已知，如图，ACB=3B，1=2,CDAD 于 D，求证：ABAC=2CD 规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB=DC，AC=BD，求证：A=D 证明：（连结 BC，过程略）规律 3
22、2.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.OABDC 21DCBA 例：已知，如图，AB=DC，A=D 求证：ABC=DCB 证明：分别取 AD、BC 中点 N、M，连结 NB、NM、NC（过程略）规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1=2，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC=2BD，求证：BAPBCP=180o 证明：过 P 作 PEBA 于 E PDBC，1=2 PE=PD 在 RtBPE 和 RtBPD 中 BP=BP PE=PD RtBPERtBPD BE=BD A
23、BBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE BADC NPED CBA21 AE=CD PEBE，PDBC PEB=PDC=90o 在PEA 和PDC 中 PE=PD PEB=PDC AE=CD PEAPDC PCB=EAP BAPEAP=180o BAPBCP=180o 练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线 FMNPBADC 2.已知，如图，在ABC 中，ABC=100o，ACB=20o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD=20o，求CED 的
24、度数。规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB=AC，BDAC 于 D，求证：BAC=2DBC 证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1=2=12BAC 又AB=AC AEBC 2ACB=90o BDAC DBCACB=90o 2=DBC EDCBA 21EDCBA BAC=2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC于 F，求证：DE=DF
25、 证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD=CD 又AB=AC AD 平分BAC DEAB，DFAC DE=DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点E、F，使 AE=AF，求证：EFBC 证明：延长 BE 到 N，使 AN=AB,连结 CN,则 AB=AN=AC FEDCBA B=ACB,ACN=ANC BACBACNANC=180o 2BCA2ACN=180o BCAACN=90o 即BCN=90o NCBC AE=AF AEF=AFE 又BAC=AEF AFE BAC=ACN ANC BAC=2AEF=2ANC
26、AEF=ANC EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD=CE，连结 DE 交 BC 于 F 求证：DF=EF NFECBA 证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB=ACB，NDE=E，AB=AC，B=ACB B=DNB BD=DN 又BD=CE DN=EC 在DNF 和ECF 中 1=2 NDF=E DN=EC DNFECF DF=EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB=B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知
27、，如图，ABC 中，AB=AC，E 在 AC上，D 在BA 延长线上，且 AD=AE，连结 DE 21NFEDCBA 21MFEDCBA NMFEDCBA 求证：DEBC 证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则 AFE=B AEF=C AB=AC B=C AFE=AEF AD=AE AED=ADE 又AFEAEFAEDADE =180o 2AEF2AED=90o 即FED=90o DEFE 又EFBC DEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N，（过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三
28、角形-等边三角形 例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，BAC =80o ,P 为形内一点，若PBC=10o PCB=30o 求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE 则BAE=ABE=60o AE=AB=BE AB=AC AE=AC ABC=ACB AEC=ACE EAC=BACBAE =80o 60o=20o ACE=12(180oEAC)=80o ACB=12(180oBAC)=50o BCE=ACEACB =80o50o=30o PCB=30o PCB=BCE ABC=ACB=50o,ABE=60o PECBA EBC=ABEABC=60o50o=10o P
29、BC=10o PBC=EBC 在PBC 和EBC 中 PBC=EBC BC=BC PCB=BCE PBCEBC BP=BE AB=BE AB=BP BAP=BPA ABP=ABCPBC=50o10o=40o PAB=12(180oABP)=70o 解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则 EB=EC=BC，BEC=EBC=60o EB=EC E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上 EA 所在的直线是 BC 的中垂线 EABC AEB=12BEC=30o=PCB 由解法一知：ABC=50o ABE=EBCABC=
30、10o=PBC ABE=PBC,BE=BC,AEB=PCB ABEPBC AB=BP BAP=BPA ABP=ABCPBC=50o10o=40o PAB=12(180oABP)=12(180o40o)=70o 规律 35.有二倍角时常用的辅助线 构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在ABC 中，1=2，ABC=2C，求证：ABBD=AC PECBA 证明：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连结 DE 则BED=BDE ABD=EBDE ABC=2E ABC=2C E=C 在AED 和ACD 中 E=C 1=2 AD=AD AEDACD AC=AE AE=ABBE
31、AC=ABBE 即 ABBD=AC 平分二倍角 例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC=2DBC 求证：ABC=ACB 证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则BAE=CAE=DBC 21EDCBA BDAC CBD C=90o CAEC=90o AEC=180oCAEC=90o AEBC ABCBAE=90o CAEC=90o BAE=CAE ABC=ACB 加倍小角 例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC=2DBC 求证：ABC=ACB 证明：作FBD=DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）规律 36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两
32、端点连结起来.DECBA FDCBA 例：已知，如图，ABC 中，AB=AC，BAC=120o，EF 为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC 于 F，交 AB 于 E 求证：BF=12FC 证明：连结 AF，则 AF=BF B=FAB AB=AC B=C BAC=120o B=CBAC=12(180oBAC)=30o FAB=30o FAC=BACFAB=120o30o=90o 又C=30o AF=12FC BF=12FC 练习：已知，如图，在ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线DE 交于点 D，DMAB 于 M，DNAC 延长线于 N FECBA 求证：BM=CN 规律
33、 37.有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于 D 求证：CD=ABBD 证明：（一）在 CD 上截取 DE=DB，连结 AE，则 AB=AE B=AEB B=2C AEB=2C 又AEB=CEAC C=EAC AE=CE 又CD=DECE CD=BDAB （二）延长 CB 到 F，使 DF=DC，连结 AF 则 AF=AC（过程略）规律 38.有中点时常构造垂直平分线.NMEDCBA EDCBA FDCBA 例：已知，如图，在ABC 中，BC=2AB,ABC=2C,BD=CD 求证：ABC 为直角三角形 证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连
34、结 BE，则 BE=CE，C=EBC ABC=2C ABE=EBC BC=2AB，BD=CD BD=AB 在ABE 和DBE 中 AB=BD ABE=EBC BE=BE ABEDBE BAE=BDE BDE=90o BAE=90o 即ABC 为直角三角形 规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.EDCBA 例：已知，如图，在ABC 中，A=90o，DE 为 BC 的垂直平分线 求证：BE2AE2=AC2 证明：连结 CE，则 BE=CE A=90o AE2AC2=EC2 AE2AC2=BE2 BE2AE2=AC2 练习：已知，如图，在ABC 中，BAC=90o
35、，AB=AC，P 为 BC 上一点 求证：PB2PC2=2PA2 规律 40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在ABC 中，B=45o，C=30o，AB=2，求 AC 的长.解：过 A 作 ADBC 于 D BBAD=90o，B=45o，B=BAD=45o，EDCBA PCBA AD=BD AB2=AD2BD2，AB=2 AD=1 C=30o，ADBC AC=2AD=2 四边形部分 规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知,ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比BOC 的周长多 8cm，求这
36、个四边形各边长.解：四边形 ABCD 为平行四边形 AB=CD，AD=CB，AO=CO ABCDDACB=60 AOABOB(OBBCOC)=8 ABBC=30，ABBC=8 AB=CD=19，BC=AD=11 答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm、19cm、11cm.规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.DCBA（例题如上）规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，RtABC，ACB=90o，CDAB 于 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作FHAB 交 BC 于 H 求证：CE=BH 证明：过 F
37、作 FPBC 交 AB 于 P，则四边形 FPBH 为平行四边形 B=FPA，BH=FP ACB=90o，CDAB 5CAB=45o，BCAB=90o 5=B 5=FPA 又1=2，AF=AF CAFPAF CF=FP 4=15，3=2B 3=4 CF=CE 54321PHFEDCBA CE=BH 练习：已知，如图，ABEFGH，BE=GC 求证：AB=EFGH 规律 44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例：已知，如图，在ABCD 中，AB=2BC，M 为 AB 中点 求证：CMDM 证明：延长 DM、CB 交于 N 四边形 ABCD 为平行四边形 AD=BC，ADBC A
38、=NBA ADN=N 又AM=BM AMDBMN AD=BN BN=BC AB=2BC，AM=BM BM=BC=BN GHFEBAC 321NMBADC 1=2，3=N 123N=180o，13=90o CMDM 规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE=OF 规律 46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SBEC =12SABCD 规律 47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：SAOB SDOC=SB
39、OCSAOD=12SABCD FEODCBA EDCBA ODCBA 规律 48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.如图：AO2OC2=BO2 DO2 规律 49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.如图：四边形 GHMN 是矩形 （规律 45规律 49 请同学们自己证明）规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：已知，如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE=ED，P 为对角线BD 上一点，PFBE 于 F，PGAD 于 G 求证：PFPG=AB 证明：证法一：过 P 作 PHAB 于 H，则四边形 AHPG 为矩形 AH
40、=GP PHAD ADB=HPB NPHGFEDCBA NMHGDCBA ADCBOOBCDA BE=DE EBD=ADB HPB=EBD 又PFB=BHP=90o PFBBHP HB=FP AHHB=PGPF 即 AB=PGPF 证法二：延长 GP 交 BC 于 N，则四边形 ABNG 为矩形，（证明略）规律 51.直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高 例：已知，如图,若从矩形 ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与BAD 的平分线交于点 E 求证：AC=CE 证明：过 A 作 AFBD，垂足为 F，则 AFEG FAE=AEG 四边形 ABCD 为矩形 GOFEDCBA BAD=
41、90o OA=OD BDA=CAD AFBD ABDADB=ABDBAF=90o BAF=ADB=CAD AE 为BAD 的平分线 BAE=DAE BAEBAF=DAEDAC 即FAE=CAE CAE=AEG AC=EC 作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时 例：已知，如图，AD、BE 是ABC 的高，F 是 DE 的中点，G 是 AB 的中点 求证：GFDE 证明：连结 GE、GD AD、BE 是ABC 的高，G 是 AB 的中点 GFEDCBA GE=12AB，GD=12AB GE=GD F 是 DE 的中点 GFDE 有和斜边倍分关系的线段时 例：已知，如图，在ABC 中
42、，D 是 BC 延长线上一点，且 DABA 于 A，AC=12BD 求证：ACB=2B 证明：取 BD 中点 E，连结 AE，则 AE=BE=12BD 1=B AC=12BD AC=AE ACB=2 2=1B 2=2B ACB=2B 21EDCBA 规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：已知，如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于 E，作PFCD 于 F 求证：AP=EF 证明:连结 AC、PC 四边形 ABCD 为正方形 BD 垂直平分 AC，BCD=90o AP=CP PEBC，PFCD，BCD=90o 四边形 PECF 为矩形
43、 PC=EF AP=EF 规律 53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知,如图，正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，MNMD，BN 平分CBE并交 MN 于 N 求证：MD=MN 证明：取 AD 的中点 P，连结 PM，则 DP=PA=12AD 四边形 ABCD 为正方形 PFEDCBA AD=AB,A=ABC=90o 1AMD=90o，又 DMMN 2AMD=90o 1=2 M 为 AB 中点 AM=MB=12AB DP=MB AP=AM APM=AMP=45o DPM=135o BN 平分CBE CBN=45o MBN=MBCCBN=90o45o=135o 即DPM=MBN
44、 DPMMBN DM=MN 注意：把 M 改为 AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习：已知，Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CQ 上一点，且 AP=PCBC 21PNMEDCBA 求证：BAP=2QAD 规律 54.利用正方形进行旋转变换 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：已知，如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90o，D 为 BC边上任一点 求证：2AD2
45、=BD2CD2 证明：把ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o得ACE BD=CE B=ACE BAC=90o DAE=90o DE2=AD2AE2=2AD2 BACB=90o QPDCBA EDCBA DCE=90o CD2CE2=DE2 2AD2=BD2CD2 注意：把ADC 绕点 A 顺时针旋转 90o 也可，方法同上。练习：已知，如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，BF 平分CBE 交CD 于 F 求证：BE=CF AE 规律 55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.例：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、DA 的中点，B
46、E 与 CF 交于P 点 求证：AP=AB 证明：延长 CF交 BA 的延长线于 K 四边形 ABCD 为正方形 BC=AB=CD=DA BCD=D=BAD=90o FEDCBA E、F 分别是 CD、DA 的中点 CE=12CD DF=AF=12AD CE=DF BCECDF CBE=DCF BCFDCF=90o BCFCBE=90o BECF 又D=DAK=90o DF=AF 1=2 CDFKAF CD=KA BA=KA 又BECF AP=AB 练习：如图，在正方形 ABCD 中，Q 在 CD 上，且 DQ=QC，P 在 BC 上，且 AP=CDCP 求证：AQ 平分DAP 21KPFED
47、CBA QPDCBA 规律 56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，ADBC，AD=3，AB=4，BC=7 求B 的度数 解：过 A 作 AECD 交 BC 于 E，则四边形 AECD 为平行四边形 AD=EC，CD=AE AB=CD=4,AD=3,BC=7 BE=AE=AB=4 ABE 为等边三角形 B=60o 规律 57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.例：已知，如图，在梯形ABCD 中，ADBC，AB=AC，BAC=90o，BD=BC，BD 交 AC 于 O 求证：CO=
48、CD DCBAE 证明：过 A、D 分别作 AEBC，DFBC，垂足分别为 E、F 则四边形AEFD 为矩形 AE=DF AB=AC，AEBC，BAC=90o，AE=BE=CE=12BC，ACB=45o BC=BD AE=DF=12BD 又DFBC DBC=30o BD=BC BDC=BCD =12(180oDBC)=75o DOC=DBCACB=30o45o=75o BDC=DOC CO=CD ODCBAFE 规律 58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形.例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC=10，DEBC 于 E 求 DE
49、的长.解：过 D 作 DFAC，交 BC 的延长线于 F，则四边形 ACFD 为平行四边形 AC=DF，AD=CF 四边形 ABCD 为等腰梯形 AC=DB BD=FD DEBC BE=EF=12BF=12(BCCF)=12(BCAD)=1210=5 ACDF，BDAC BDDF FEDCBA BE=FE DE=BE=EF=12BF=5 答：DE 的长为 5.规律 59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.例：已知，如图，在四边形 ABCD 中，有 AB=DC，B=C，ADBC 求证：四边形 ABCD 等腰梯形 证明：延长 BA、CD，它们交于点 E B=C EB=EC 又AB=D
50、C AE=DE EAD=EDA EEADEDA=180o BCE=180o EAD=B ADBC ADBC，B=C 四边形 ABCD 等腰梯形 EDCBA（此题还可以过一顶点作 AB 或 CD 的平行线；也可以过 A、D 作 BC 的垂线）规律 60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形.例：已知,如图，梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 中点，EFAB 于 F 求证：S梯形 ABCD=EFAB 证明：过 E 作 MNAB，交 AD 的延长线于 M，交 BC于 N，则四边形 ABNM 为平行四边形 EFAB SABNM=ABEF ADBC M=MNC 又