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1、习题 2-21.设 A 为任一随机事件,且 P(A)=p(0p1).定义随机变量1,0,AXA发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解PX=1=p,PX=0=1-p.或者X 0 1 P 1-pp2.已 知 随 机 变 量 X 只 能 取-1,0,1,2 四 个 值,且 取 这 四 个 值 的 相 应 概 率 依 次 为cccc167,85,43,21.试确定常数c,并计算条件概率0|1XXP.解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816cccc所以3716c.所求概率为P X1|X0=2581678521210 1ccccXPXP.3.设随机变量X 服从参数为 2,p 的二项分
2、布,随机变量 Y服从参数为3,p 的二项分布,若P X519,求P Y1.解注意 px=k=kkn knC p q,由题设59P X21101,P Xq故213qp.从而P Y32191101().327P Y4.在三次独立的重复试验中,每次试验成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为1927,求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278.即278)1(3p,故p=31.5.若 X 服从参数为的泊松分布,且13P XP X,求参数.解由泊松分布的分布律可知6.6.一袋中装有5 只球,编号为 1,2,3,4,5.在袋中同
3、时取3 只球,以 X 表示取出的3 只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有1035C种取法.X=3 表示取出的3 个数以 3 为最大值，PX=3=2235CC=101;X=4 表示取出的3 个数以 4 为最大值，PX=4=1033523CC;X=5 表示取出的3 个数以 5 为最大值，PX=5=533524CC.X 的分布律是X 3 4 5 P 11031035习题 2-3 1.设 X 的分布律为X-1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F
4、(x),并计算概率P X0,P X2,P-2X1.解(1)F(x)=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.xxxx(2)P X0=P X=-1=0.15;(3)P X2=P X=-1+P X=0+P X=1=1;(4)P-2x1=P X=-1+P X=0=0.35.2.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx-x+.试求:(1)常数 A 与 B;(2)X 落在(-1,1内的概率.解(1)由于 F(-)=0,F(+)=1,可知()0112,.2()12ABABAB于是11()arctan,.2F xxx(2)11(1)(1)PXFF1111(arctan1)(arctan
5、(1)2211111().242423.设随机变量X 的分布函数为F(x)=0,0,01,21,1,xxxx 求 P X-1,P0.3 X0.7,P0 X2.解P X1(1)0F,P0.3 X0.7=F(0.7)-F0.3-P X=0.7=0.2,P0 X2=F(2)-F(0)=1.5.假设随机变量X 的绝对值不大于1;111,184P XP X;在事件 11X出现的条件下,X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比.(1)求X的分布函数()F xP Xx;(2)求 X 取负值的概率p.解(1)由条件可知,当1x时,()0F x;当1x时,1(1)8F;当1x时,F(1
6、)=P X1=P(S)=1.所以115 11(1)(1)11.848PXFFP X易见,在 X 的值属于(1,1)的条件下,事件1Xx的条件概率为 1PX|11(1)xXk x,取 x=1 得到 1=k(1+1),所以 k=12.因此 1PX|1112xXx.于是,对于11x,有 1PX 1xPX,11xX 11 1|11PXPXxX5155.8216xx对于x1,有()1.F x从而0,1,57(),11,161,1.xxF xxx(2)X 取负值的概率70(0)0(0)(0)(0)(0).16pP XFP XFFFF习题 2-41.选择题(1)设2,0,()0,0,.xxcf xxc如果
7、c=(),则()f x是某一随机变量的概率密度函数.(A)13.(B)12.(C)1.(D)32.解由概率密度函数的性质()d1f xx可得02 d1cx x,于是1c,故本题应选(C).(2)设(0,1),XN又常数 c 满足P XcP Xc,则 c 等于().(A)1.(B)0.(C)12.(D)-1.解因为P XcP Xc,所以1P XcP Xc,即2 1P Xc,从而0.5P Xc,即()0.5c,得 c=0.因此本题应选(B).(3)下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是().(A)cos,0,()0,xxf x其它.(B)1,2,()20,xf x其它.(C)22()21e,
8、0,()20,0.xxf xx(D)e,0,()0,0.xxf xx解由概率密度函数的性质()1f x dx可知本题应选(D).(4)设随机变量2(,4)XN,2(,5)YN,1XPP4,2PP Y5,则().(A)对任意的实数12,PP.(B)对任意的实数12,PP.(C)只对实数的个别值,有12PP.(D)对任意的实数12,PP.解由正态分布函数的性质可知对任意的实数,有12(1)1(1)PP.因此本题应选(A).(5)设随机变量X 的概率密度为fx,且()()f xfx,又 F(x)为分布函数,则对任意实数a,有().(A)0()1d()aFaxf x.(B)01()d2()aFaxf
9、x.(C)()()FaF a.(D)2()1FaF a.解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,且1211,P XP Y则下式中成立的是().(A)1 2.(C)1 2.解答案是(A).(7)设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的正数)10(,数u满足P Xu,若P Xx,则x等于().(A)2u.(B)21u.(C)1-2u.(D)1u.解答案是(C).2.设连续型随机变量X 服从参数为的指数分布,要使12 4P kXk成立,应当怎样选择数k?解因为随机变量X 服从参数为的指数分布,其分布函数
10、为1e,0,()0,0.xxF x x由题意可知2212(2)()(1 e)(1 e)ee4kkkkP kXkFkF k.于是ln 2k.3.设随机变量X 有概率密度34,01,()0,xxf x其它,要使P XaP Xa(其中 a0)成立,应当怎样选择数a?解由 条 件 变 形,得 到1P XaP Xa,可 知0.5P Xa,于 是304d0.5axx,因此412a.4.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,xF xxxx求:(1)X 的概率密度;(2)0.30.7PX.解(1)根据分布函数与概率密度的关系()()Fxf x,可得2,01,()0,其它.xxf x(2)
11、220.30.7(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF.5.设随机变量X 的概率密度为f(x)2,01,0,xx 其它,求 P X12与 P14X2.解P X12201112 d2240 x xx;14PX121411522 d1164x xx.6.设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,xxf xAxx其它.求:(1)常数 A；(2)X 的分布函数F(x).解(1)由概率密度的性质可得1222011201111d()d122x xAxxxAxxA,于是2A；(2)由公式()()dxF xf xx可得当 x0 时,()0F x;当0 x1 时,201()d2xF x
12、x xx;当1x2 时,2101()d(2)d212xxF xx xxxx;当 x2 时,()1F x.所以220,0,1()221,2.1,021,12xF xxxxxxx,7.设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,xxf x其它,对 X 独立观察 3 次,求至少有 2 次的结果大于1 的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式P aX()()()dbabF bF af xx,可得21151(1)d48P Xxx.所以,3 次观察中至少有2 次的结果大于1 的概率为223333535175()()()888256CC.8.设(0,5)XU,求关于 x 的方程24420 xXx有实
13、根的概率.解随机变量 X 的概率密度为105,()50,xf x其它,若方程有实根,则21632X0,于是2X2.故方程有实根的概率为P2X2=212P X122PX2011d5x215.9.设随机变量)2,3(2NX.(1)计算25PX,410PX,|2PX,3 XP；(2)确定 c 使得;P XcP Xc(3)设 d 满足0.9P Xd,问 d 至多为多少？解(1)由 P axb=P33333()()22222aXbba公式,得到P2 X5=(1)(0.5)0.5328,P-4X10=(3.5)(3.5)0.9996,|2PX=2P X+2P X=123()2+23()2=0.6977,3
14、XP=13331()1(0)2P X=0.5.(2)若P XcP Xc,得 1P XcP xc,所以0.5P Xc由(0)=0 推得30,2c于是 c=3.(3)0.9P Xd即 13()0.92d,也就是3()0.9(1.282)2d,因分布函数是一个不减函数,故(3)1.282,2d解得32(1.282)0.436d.10.设随机变量2(2,)XN,若040.3PX,求0P X.解因为2,XN所以(0,1)XZN.由条件040.3PX可知02242220.304()()XPXP,于是22()10.3,从而2()0.65.所以2020PPXX22()1()0.35.习题 2-5 1.选择题(
15、1)设 X的分布函数为F(x),则31YX的分布函数G y为().(A)11()33Fy.(B)(31)Fy.(C)3()1F y.(D)1133()Fy.解由随机变量函数的分布可得,本题应选(A).(2)设0 1,XN令2YX,则Y().(A)(2,1)N.(B)(0,1)N.(C)(2,1)N.(D)(2,1)N.解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2.设(1,2),23XNZX,求 Z 所服从的分布及概率密度.解若随机变量2(,)XN,则 X 的线性函数YaXb也服从正态分布,即2(,().YaXbN aba这里1,2,所以 Z(5,8)N.概率密度为()f z2(5)161e,4
16、xx.3.已知随机变量X 的分布律为X-1 0 1 3 7 P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25(1)求 Y2X 的分布律；(2)求 Y3X2分布律.解(1)2X-5-1 1 2 3 P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37(2)3X23 412 52 P 0.05 0.57 0.13 0.25 4.已知随机变量X 的概率密度为()Xfx1142 ln 20 xx，其它，且 Y2X,试求 Y的概率密度.解先求 Y 的分布函数)(yFY:)(yFY=P Y2yPXyP X2 y12P Xy=1-2()dyXfxx.于是可得 Y 的概率密度为()(2)(2)YXfyfyy=
17、12(2)ln 20,.,124,其它yy即121,2(2)ln 20,()其它.Yyyfy5.设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布,求随机变量2YX的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它Xfxx因为对于 0y4,()YFyP Y2yP XyPyXy()()XXFyFy.于是随机变量2YX的概率密度函数为()Yfy11()()22XXfyfyyy104.4,yy即()1,04,40,.其它fyyy总习题二1.一批产品中有20%的次品,现进行有放回抽样,共抽取 5 件样品.分别计算这 5 件样品中恰好有3 件次品及至多有3 件次品的概率.解以 X 表
18、示抽取的5 件样品中含有的次品数.依题意知(5,0.2)XB.(1)恰好有 3 件次品的概率是P X=3=23358.02.0C.(2)至多有 3 件次品的概率是kkkkC53058.02.0.2.一办公楼装有5 个同类型的供水设备.调查表明,在任一时刻t 每个设备被使用的概率为 0.1.问在同一时刻(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？(2)至少有 1 个设备被使用的概率是多少？(3)至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4)至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则XB(5,0.1),P X=k=kkkC559.01.0,k=0,1,5.(1)所求
19、的概率是P X=2=0729.09.01.03225C;(2)所求的概率是P X1=140951.0)1.01(5;(3)所求的概率是P X3=1-PX=4-P X=5=0.99954;(4)所求的概率是P X3=PX=3+P X=4+PX=5=0.00856.3.设随机变量X 的概率密度为e,0,()00,，xkxf xx且已知112P X,求常数 k,.解由概率密度的性质可知0ed1xkx得到 k=1.由已知条件111ed2xx,得1ln 2.4.某产品的某一质量指标2(160,)XN,若要求120PX2000.8,问允许最大是多少?解由120PX200120160160200160XP=
20、404040()(1()2()10.8,得到40()0.9,查表得401.29,由此可得允许最大值为 31.20.5.设随机变量X 的概率密度为(x)=Ae-|x|,-x+.试求:(1)常数 A;(2)P0 X1;(3)X 的分布函数.解(1)由于|()ded1,xxxAx即02e d1xAx故 2A=1,得到 A=12.所以(x)=12e-|x|.(2)P0 X1=1101111ee d(e)0.316.0222xxx(3)因为|1()ed,2xxF xx得到当 x0 时,11()e de,22xxxF xx当 x0 时,00111()e de d1e,222xxxxF xxx所以 X 的分布函数为1,0,2()11,0.2xxxF xxee