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1、习题 3-1 1.已知随机变量X1和 X2的概率分布分别为X1-1 0 1 P 141214X20 1 P 1212而且1201P X X.求 X1和 X2的联合分布律.解由1201P X X知1200P X X.因此 X1和 X2的联合分布必形如X2 X10 1 pi-1 P110 140 P21P22121 P310 14p j12121 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和 X2的联合分布律X2 X10 1 pi-1 140 140 0 12211 140 14p j12121(2)注意到120,00P XX,而1210004P XP X,所以 X1和 X2不独立.2.一盒子
2、中有3 只黑球、2 只红球和 2 只白球,在其中任取4 只球.以 X 表示取到黑球的只数,以 Y表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.解从7只球中取4球只有3547C种取法.在4只球中,黑球有i只,红球有 j 只(余下为白球4ij只)的取法为4322ijijC C C,0,1,2,3,0,1,2,ijij4.于是有02232210,23535P XYC C C,11132261,13535P XYC C C,12132261,23535P XYC C C,20232232,03535P XYC C C,211322122,13535P XYC C C,22032232,23535P
3、 XYC C C,30132223,03535P XYC C C,31032223,13535P XYC C C,0,00,11,03,20P XYP XYP XYP XY.分布律的表格形式为0123000335235106351235235213563533503.设随机变量(X,Y)的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x ykxyxy其它求:(1)常数k;(2)1,3P XY;(3)1.5P X;(4)4P XY.X Y 解(1)由(,)d d1f x yx y,得24242220204211d(6)d(6)d(10)82ykxyxky xxykyyk,所以18k.(2)312
4、01,311,3d(6)d8(,)d dxyP XYyxyxf x yx y1322011(6)d82y xxy321113()d828yy.(3)1.51.51.5d(,)d()dXP Xxfx yyfxx41.5201d(6)d8yxyx1.5422011(6)d82y xxy421633()d882yy2732.(4)作 直 线4xy,并 记 此 直 线 下 方 区 域 与(,)0f x y的 矩 形 区 域(0,2)(0,4)的交集为G.即:02,0Gxy4x.见图 3-8.因此P XY4(,)PX YG(,)d dGf x yx y44201d(6)d8xyxyx4422011(6)
5、d82xy xxy42211(6)(4)(4)d82yyyy422112(4)(4)d82yyy423211(4)(4)86yy23.图 3-8 第 4 题积分区域4.二维随机变量(,)X Y的概率密度为2(,),1,01,0,f x ykxy xyx 其它.试确定k,并求2(,),:,01PX YGGxyxx .解由21114001(,)ddd(1)d26xkkf x yxdyxkxy yxxx,解得6k.因而21124001(,)d6d3()d4xxPX YGxxy yx xxx.5.设二维随机变量(X,Y)概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.yxxyxf x y 其它求关于 X
6、 和 Y 边缘概率密度.解(,)X Y的概率密度(,)f x y在区域:0Gx1,0yx外取零值.因而,有024.8(2)d,01,()(,)d0,2.4(2),01,0,xXyxyxfxf x yyx xx其它.其它.124.8(2)d,01,()(,)d0,2.4(34),01,0,yYyxxyfyf x yxyyyy其它.其它.6.假设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布,随机变量1,1,1,1,UXU若若1,1,1,1.UYU若若试求：(1)X 和 Y 的联合概率分布；(2)P XY1.解(1)见本章第三节三(4).(2)P XY111 P XY11,1 P XY13144.习题 3
7、-2 1.设(X,Y)的分布律为求:(1)在条件 X=2下 Y 的条件分布律;(2)22P XY.解(1)由于6.02.01.003.02XP,所以在条件X=2 下 Y的条件分布律为216.03.021,22|1XPYXPXYP,06.0022,22|2XPYXPXYP,616.01.02 3,22|3XPYXPXYP,316.02.024,22|4XPYXPXYP,或写成kY1 2 3 4 2|XkYP2106131(2)注意到YX1 2 3 4 1 0.1 0 0.1 0 2 0.3 0 0.1 0.2 3 0 0.2 0 0 P Y212P YP Y0.10.3 000.20.6.而2,
8、22,12,23,1 3,2P XYP XYP XYP XYP XY0.3 000.20.5.因此2,2222P XYP XYP Y0.550.66.2.设平面区域 D 由曲线1yx及直线20,1,eyxx所围成,二维随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,求(X,Y)关于 X 的边缘概率密度在x=2 处的值.解由题设知 D 的面积为22ee111dln2DSxxx.因此,(X,Y)的密度为1,(,),(,)20 x yDf x y，其它.由此可得关于X 的边缘概率密度()(,)dXfxf x yy.显然,当 x1 或 xe2时,()0Xfx;当21ex时,1011()d22xXfxyx
9、.故(2)14Xf.3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(,)1,01,02,0,.fx yxyx其它求：(1)(X,Y)的边缘概率密度(),()XYfxfy；(2)11.22P YX解(1)当01x时,20()(,)dd2xXfxf x yyyx;当 x0 时或 x1 时,()0Xfx.故2,01,()0,其它.Xxxfx当 0y2 时,12()(,)dd12yYyfyf x yxx;当y0时或y2时,()0Yfy.故1,02,()20,.Yyyfy其它(2)当 z0 时,()0ZFz;当 z2 时,1)(zFZ;当 0z0),试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解已知 X 和 Y 的概
10、率密度分别为22()21()e2xXfx,),(x;).,(,0),(,21)(aayaayayfY.由于 X 和 Y 相互独立,所以22()211()()()ded22zyaZXYafzfzy fyyya=1()()2z az aa.10.设随机变量X和 Y的联合分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3 上的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度 f(u).解由题设知,X 和 Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.xyf x y 其它记()F u为 U 的分布函数,参见图 3-7,则有当 u0 时,()|F uPXYu=0;当 u2 时,()1F u;当 0 u2Y;(
11、2)求 Z=X+Y 的概率密度fZ(z).解(1)11202272(,)d dd(2)d24yxyP XYf x yx yyxyx.(2)方法一:先求 Z 的分布函数:()()(,)d dZxyzFzP XYZf x yx y.当 z0 时,FZ(z)0;当 0z1 时,100()(,)d dd(2)dzzyZDFzf x yx yyxyx=z2-13z3;当 1z2 时,2111()1(,)d d1d(2)dZzzyDFzf x yx yyxyx=1-13(2-z)3;当 z2 时,FZ(z)=1.故 Z=X+Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,ZZzzzfzFzzz其它
12、.方法二:利用公式()(,)d:Zfzfx zxx2(),01,01,(,)0,xzxxzxf x zx其它2,01,1,0,.zxxzx其它当 z0 或 z2 时,fZ(z)=0;当 0z1 时,0()(2)d(2);zZfzzxzz当 1z1,P YX及 PY12|X12.解(1)当 x0 或 y0 时,(x,y)=0,所以 F(x,y)=0.当 0 x1,0y2 时,(x,y)=x2+13xy,所以2001(,)(,)d d()d d3xyxyF x yu vu vuuvvu32211312x yx y.当 02 时,20000(,)(,)d d(,)d d(,)d dxyxyxF x
13、yu vu vu vvuu vvu22001()d d3xuuvvu21(21)3xx.当 x1,01,y2 时,122001(,)()d d13F x yuuvvu.综上所述,分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1,2.或xyyx y xxyF x yxxxyyyxyxy(2)当 0 x1 时,22202()(,)d()d2,33Xxyxx yyxyxx故222,01,()30,.其它 Xxxxx当 0y2 时,12011()(,)d()d,336Yxyyx yxxxy故11,02,()360,.其它 Yyyy(3)当 0
14、y2 时,X 关于 Y=y的条件概率密度为2(,)62(|).()2Yx yxxyx yyy当 0 x1 时,Y 关于 X=x 的条件概率密度为(,)3(|).()62Xx yxyy xyx(4)参见图 3-10.图 3-10 第 9 题积分区域图 3-11 第 9 题积分区域11(,)d dxyP XYx yx y12201165d()d.372xxxxyy同理,参见图 3-11.(,)d dyxP YXx yx y1220117d()d.324xxxxyy111 1,(,)11222 2|1122()22XP XYFP YXP XF21 1(,)2 21201()534.32()d|Xyx y xxx