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1、概率论与数理统计习题二参考答案 概率论与数理统计习题二参考答案 1、将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所得点数之和，以X2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X1和X2的分布律。解：X1可取 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 3616161)1,1()2(1=PXP 36261616161)1,22,1()3(1=+=PXP 363616161616161)1,32,23,1()4(1=+=PXP 所以X1的分布律为 X12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pk1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/
2、36 X2可取的数有 1、2、3、4、5、6 P（X2=1）=P（）=1,6 1,5 1,4 1,3 1,26,1 5,1 4,1 3,1 2,1 1,1 3611 所以X2的分布律为 X21 2 3 4 5 6 Pk 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10 只产品中有 2 只是次品，从中随机地抽取 3 只，以X表示取出次品的只数，求X的分布律。解：X可取 0、1、2 310380CCXP=157=15713102812=CCCXP 15123101822=CCCXP 3、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为)10(=kkckXPk为常数，试确定常数c 解：
3、（1）111=aNakXPNkNk，1=a（2）12321323211=bbbkXPkkk，21=b（3）1!00=eckckXPkkk，=ec 6、设随机变量X的分布律为5,4,3,2,1,15=kkkXP 其分布函数为，试求：)(xF （1）2521XP，（2）21 XP，（3）51F 解：（1）212521=+=XPXPXP51152151=+=（2）21 XP21=+=XPXP51152151=+=（3）51F051=XP 7、一大楼装有 5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为，求在同一时刻 1.0（1）恰有两个设备被使用的概率；（2）至少有 1 个设备被使
4、用的概率；（3）至多有 3 个设备被使用的概率。解：设X表示设备被使用的个数 则)1.0,5(bX（1）()()0729.09.01.023225=CXP（2）4095.09.010115=XPxp（3）=5413XPXPxp()()()99954.01.09.01.015551445=CC 8、甲、乙两种味道的酒各 4 杯,颜色相同。从中挑 4 杯便能将甲种酒全部挑出，算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？(2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验 10 次,结果成功 3 次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立)解:(1)所求概率为:701148=C(
5、2)令试验 10 次中成功次数为X，则)701,10(bX，4733101016.3)7069()701(3=CXP显然3=X是一小概率事 根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力.9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为 3 的泊松分布。问在月初进货时要 进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为 0.999?解：设 X 表示当月销售量，则要使 999.0!303=xkkke 查表得001.0999.01000292.0!3113=+=kkke 所以在月初进货时要进此种商品 10 件，才能保证此商品当月不脱销的概率为 0.999。10、每年袭击某地的台风次数近似
6、服从参数为 4 的泊松分布。求一年中该地区受台风袭击次数为 35 的概率。解：设 X 表示每年袭击某地的台风次数 2553=XPXPXP =()3161XPXP =()63XPXP =+=34!4kkke+=64!4kkke=0.76189-0.21487=0.547027 所以一年中该地区受台风袭击次数为 35 的概率为 0.547027 11、有 10 台机床，每台发生故障的概率为 0.08,而 10 台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于 5%。解：随机变量 X 示发生故障的机床的台数则 )08.0,10(BX 设
7、配备n个维修工人()100+=1011010)92.0()08.0(nkkkkCnXP)8.0(!1=+=nkkke查表 2,31=+nn时 05.00474.02XP 时 1=n05.0551.01=XP所以至少要配备 2 个维修工人 12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001。在某天的该时间内有 3000 辆汽车，问出事故的次数不小于 2 的概率为多少？解：设出事故的次数为 X，所求为3XP 3.00001.03000=np 3XP=0036.0!3.033.0=+=kkke 所以出事故的次数不小于 2 的概率为 0.0036(1
8、)设 X 服从二项分布，其分布律为()knkknppCkXP=1 K=0，1，2，n，问 K 取何值时kXP=最大？（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为!kekXpk=，k=0，1，2 问 K 取何值时最大？kXP=（1）解：=1kXPkXPM()()11111+knkknknkknPPCpPC()=+=kqPkn1()kqkqPknkq+1()()kqkqpPn+=11 1,)1(+Mpnk时 1,)1(=+=Mpnk时，此时1=kXPkXP 1,)1(Mpnk时 所以当()+=为非整数），若（）（为整数若pnpnpnpnpnk11)1(,)1(,11（2）对于泊松分布)(P，由 kkPk
9、P=);1();(,.3,2=k 可知 当k时，);();1(kPkPk时，),();1(kPkP 当=k时，PP=),();1(故可得：泊松分布的通项);(kP当由 0 变到k 时，单调上升，并且在=k时，达到最大值);(P；当超过k继续变动时，);(kP单调下降，即 =为非整数若为整数若,1,k15、写出泊松分布和二项分布的分布函数 16、设连续型随机变量X的分布函数为 求 (1)常数=111000)(2xxAxxxFA (2)概率密度函数 (3)2/1XP；。20 XP 解法一：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的 AAxxFFxx=211lim)(lim11）（=1010200)
10、()(xxxxXFxf4/12)(2/12/102/1=xdxdxxfXP或()4/12/12/1=dxdxxfXP 或011)2/3(12/312/3=FXPXP=+=102120102)(20dxxdxdxxfXP或101)0()2(20=FFXP 解法二：=1010200)()(xxAxxXFxf12)(110=+AAAxdxdxxf由其它同解法一 17、已知随机变量 X 的概率密度为:=其它021210)(xxxxxf求 (1)分布函数)(XF (2)2.12.0,3.1,5.0=+=+=210)1(2112/2)2(1000102121210022xdxdxxxdxxxxdxxxdx
11、xxdxxxxxx(2)解法一 8/1)5.0(5.0=123.13.121)3.1(13.12FXP=0。245 66.0)2.0()2.1(2.12.0=FFXP :分别求积分=+2.12.03.15.0,)(1.2XP0.2,)(0.5PX,)()3.1(dxxfdxxfdxxfXP 18、设随机变量X服从参数为的指数分布,确定常数 c,使 PXC=21 解：指数分布的密度函数为=0,00,)(xxexfx =cdxxf)(1cXPcXP=1=cdxxfdxxf00)()(1=cxdxedx000121=ce 2ln=c 19、某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下概率密度=其他,01
12、000,1000)(2xxxf 现有一大批此种电子元件(是否损坏相互独立),从中任取5只,求至少取得2只其寿命大于 1500 小时的概率.解；此相当于五重贝努利试验，用表示寿命大于 1500 小时的只数 x =1500)(1150011500dxxfXPxP =150010001000)()(1dxxfdxxf =1500100021000100001dxxdx 32=则1012=XPXPXP 41155005313231321=CC=243232 20、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 =其它0051)(5/xexfx 某顾客的习惯是,等待时间超过10
13、分钟便离开,现知他一个月要到银行5次,求他受到服务的次数不少于 1 的概率.分析:顾客一个月到银行 5 次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服务，所以相当于 5 重贝努利试验 等待 10 分钟受到服务的事件记为10=XA=1005/10151)(10)(dxedxxfXPAPx2e 设顾客一个月内受到服务的次数为Y 要求的是1YP)1,5(2ebY998.0)(10115)2(=eYPYP 21、设，求)2,3(2NX(1).P2x5;P-42,Px3(2)确定 c 使 Pxc=Pxc.解：（1）=52XP232235()=211 5328.06915.018413.0=+=XXPXP2
14、2+3XP31XP5.05.012331=（2）cXPcXP=QcXPcXP=1 cXP=21 cXP=21 即2123=c 3023=cc 22、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数=10.05,=0.06 的正态分布。规定长度在 10.050.12 内为合格品。任取一螺栓，求其不合格的概率.解：设螺栓的长度为X 所求概率为12.005.1012.005.101+zzzzXPzXP同理得查表得即 25、28、31、盒子里装有 3 只黑球,2 只红球,2 只白球.在其中任取 4 只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.(1)求X、Y的联合分布律(2)求(X、Y)的边缘分布律(
15、3)X、Y是否相互独立 解：（1）(3)35/182,35/122,1=XPYXP，7/41=YP 2=XP1=YP=24584351224572=所以X与Y不相互独立.26、设随机变量（X，Y）的概率密度为=),(yxf其他,00,043yxkeyx 求（1）常数；（2）P0 x1,0y2;(3)分布函数。设随机变量（kX，Y）的概率密度为=),(yxf+其他,020,10,3/2yxxyx，求 px+y1。设二维随机变量（X，Y）的概率密度为=),(yxf=，求边缘概率密度。其他,00yxey30、33、如右图，设二维随机变量(X、Y)的概率 密度为=其它0,1023),(xyxxxyxf
16、(1)求边缘概率密度 X 0 1 2 3 p 1/35 12/35 18/35 4/35 (2)X、Y是否相互独立.+=dyyxfxfX),()(当10 x时2323),()(xxdydyyxfxfxxxxX=+=其它0103)(2xxxfX 同理 当+=dxyxfyfY),()(11y时)1(4323)(21|yxdxyfyY=其它010)1(43)(2xyyfY (2)=其它且01110)1(49)()(22yxyxyfxfYX 显然 ),()()(YXfYfXfYXX与Y不是相互独立的.32、设（X、Y）分布规律为 X Y 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 3 1/18 问、取何值
17、时，X，Y 相互独立？解：先求边缘分布律即得：92=，91=时X与Y相互独立 34、设X、Y是相互独立的随机变量，且都服从（0,1）上的均匀分布。试求方程有实根的概率.分析:有实根 02=Y+Xxx02=+YXxx0422 YX 所以,所求为 这样,该题可看作二维随机变量 0422 YXP (X、Y)的概率计算,先求(X、Y)的联合概率密度.由已知 =其它其它0101)(0101)(xxfyyfXYX与相 互 独 立 Y=其它且010101)()(),(yxyfxfyxfYX=GdxdyyxfYXP),(042=104/021121xGdydxdxdy 35、设是两个相互 独立的随机变量，YX
18、、X在（0，1）上的均匀分布，Y的概率密度为 =)(yfY00022/yyye (1)求的联合概率密度；YX和（2）求关于的二次方程2+2X+Y=0 有实根的概率。解：（1）()1,0 UX =其它，,00,10212yxey（2）当()042=YX时，方程有实根()YXPYXP=2204 dYedXYX2010221=0.1445 38、设是相互独立的随机变量，其概率密度为 YX和 =)(xfX000 xxxe =)(yfY000yyye其中0,0,为常数。引入随机变量 Z=YXYX,0,1（1）条件概率密度 （2）求 Z 的分布规律。解：（1）解法一 相互独立 YX、Q=0,00,)()(
19、xxexfyxfxXYX 解法二 =0,00,)()()()()(),()(xxexfyfyfxfyfyxfyxfxXYYXYYX独立（2），YXPZP=0YXPZP=1 ()=+,00,0,),(yxeyxfyxQ()dyedxYXPyxx+=00()+=+dxeexx10 又+=YXPYXP1 分布律为 Z 0 1 P +39、某类电子管的寿命X（以小时计）的概率密度为 =)(xf10001001002xxx求一架无线电在最初使用的 150 个小时中，所装的 3 个这样的电子管都不需要替换的概率是多少？3 个管子全需替换的概率是多少？（设 3 个电子管的寿命相互独立）解：321001501
20、502=+dxxXP 三个电子管的寿命相互独立，此实验相当于三重贝努利实验，以表示使用 150 小时不需要换的电子管的个数 n278313230333=CnP 271313203003=CnP 40、设随机变量X分布规律为 X 1 0 1 Pk0.3 0.4 0.3 求122+=XY的分布律。解：X 1 0 1 Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3 所以 Y 的分布律为 Y 1 3 P 0.4 0.6 41、设随机变量X的分布规律为 X 2 1 0 1 3 Pk1/5 1/6 1/3 1/15 11/30 求Y=2X2的分布律。解:Y 的分布律为 Y 0 1 4 9 P 51 307 5
21、1 3011 42、设，求(1)(2)10，（XXeY=122+=XY，（3）XY=的概率密度.解:(1)yYPyFY=)(yePX=当 时，0y0)(=yFY 当时 0y)(yFY)(lnlnyFyxP=02100)(2/)(ln2yeyyyfyY(2)yYPyFY=)(yXP+=122 =21212121yFyFyxyPXX21212121yyfyyfXX yYPyFY=)(yxyP=()()yFyFXX=()()yfyfXX+=0,00,222yyey 43、设电流 I 是一个随机变量，均匀分布在 9A11A 之间，此电流通过 2电阻，在其上消耗的功率。求W的概率密度 22IW=解：=其
22、,0119,21)(iif tIPtWPtFW=22)(2/2/tItP=()02IIFtF=，由于电流大于0 0t ()=tfW242162,2412221=tttftI 其他为0 ()=tfW其他,00,xex求Y=X2的概率密度。解：当时，0y=)(yFYyXyPyXPyYP=2 )(yFY()()=0,00,yyyFyFXX()()0,0 为常数，求X+Y的概率密度。=000)(xxexfxX=000)(yyeyfyY =+00)()(2zzeeezfzzzYX=zxzzxzxzdxeedxezf0)(0)()(解:(X,Y)的联合分布为 =0000,0),(yxyxeyxfyx或 +
23、=dxxzxfzfz),()(Z=X+Y 的概率密度为 f(x,z-x)的非零区域为 积分得：YX、独立同分布，概率密度函数为=0,00,)(xxexfx 00 xzxxzx0或求YX+及YX的概率密度。48、相互独立，证明：若YX、)(),(21YX，则)(21+YX)()(2Y P P Y Y=j j=2!2ejj 1!1ekkX 1P P X X=k k=P P X X+Y Y=i i=而而X X与与Y Y相相互互独独立立 =ikikkiYkXPkiYkXP00,U 所所以以P P X X+Y Y=i i=ikkiYPkXP021)!(!201=ekiekkiikk !)!(!)(201
24、21iekikikiikk+=!)(02121ieCikkikki+=)(2121!)(+=eii i i=0 0,1 1,2 2,故故 )(21+YX 50、分别表示两个不同的电子元件的寿命（以小时计），并设相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 YX、YX和 =其他,01000,1000)(2xxxf 求YXZ=的概率密度解：解：设X表示电子管的寿命，Y表示寿命小于 180 的电子管数 ()8413.0120160=180180=XP 则)08413,4(BY ()8413.01004=CYP4=0.00063 所以 0.00063 51、设X、Y为相互独立的随机变量,它们都服从分布.证明
25、),0(2N22Y+XZ=的概率密度为.=其它00)(222/2zezzfzZ 解:(X、Y)的联合概率密度函数2222/)(221)()(),(yxYeyfxyxf+=Xf)(22zYXPzFZ+=0)(0=0,00,)(xxexfx 求YX+及YX的概率密度。解：（1）令YXZ+=代公式（因独立）=)z(fZ+dx)xz,x(f +=dx)xz(f)x(fYX当时，即时00 xzxxzx0)xz(f)x(fYX不为 0 所以当0 x时，=0)z(fZ当时，=0 x=)z(fZ()dxeexzzx0zze00zxxzxx0)zx(f)x(fYX不为 0 所以当时，0z=)z(fZzzxzxedxee+=21 当时，0z=)z(fZzzxxedxee210=+=)z(fZzzzez,ez,e=21021021 49、解：代公式=)z(fZdy)y,yz(fy+非零域为 100010000yzyx当时，0 0z=)z(fZ当时 10z=)z(fZ+1000dy)y(f)yz(yf210002222110001000zdyyzyy=+