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1、第 19 讲 矩形的判定和性质知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习矩形的判定和性质。矩形是初中四边形中的一节重要内容，是中考几何证明题考查的重点，涉及到后面菱形与正方形的学习，关系密切，因此本节课要重点掌握。知识梳理讲解用时：20分钟矩形的性质和判定1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的对角线相等且互相平分；（3）矩形的四个角都是90；（4）矩形是轴对称图形.性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，
2、中心对称1.矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形.课堂精讲精练【例题 1】已知 AC为矩形 ABCD 的对角线，则图中 1 与2 一定不相等的是（）A BC D【答案】D【解析】根据矩形的性质，逐一进行判断即可求解解：A、对顶角相等，A一定相等，故 A不符合题意；B、不确定，可能相等，也可能不相等，故B不符合题意；C、不确定，可能相等，也可能不相等，故C不符合题意；D、一定不相等，因为 1=ACD，2ACD，故 D符合题意故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要
3、是利用三角形的外角大于与它不相邻的任一内角求得，1直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图：OA=OB=OC=12AC 你知道为什么吗？与2 一定不相等教学建议：熟练掌握矩形的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港年份：2008【练习 1.1】如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=2，求矩形的对角线 AC的长.【答案】4【解析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度解：因为在矩形 ABCD 中，所以 AO=AC=BD=BO，又因为 AOB=60，所以 AOB 是等边三角形，所以AO=AB=2，所以 AC=2AO=4讲
4、解用时：2 分钟解题思路：本题难度中等，考查矩形的性质教学建议：熟练掌握矩形的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：长沙年份：2009【例题 2】平行四边形 ABCD 中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形，那么这个条件是（）AAB=BC BAC=BD CAC BD DAB BD【答案】B【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；D、无法判断故选：B
5、讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查的是矩形的判定定理但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定教学建议：熟练掌握矩形的判定并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：河池年份：2014【练习 2.1】如图，E，F，G，H分别是四边形 ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，则四边形 ABCD 应具备的条件是（）A一组对边平行而另一组对边不平行B对角线相等C对角线互相垂直D对角线互相平分【答案】C【解析】根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解解：要是四边形 EHGF 是矩形，应添加条件是对角线互相垂
6、直，理由是：连接 AC、BD，两线交于 O，根据三角形的中位线定理得：EFAC，EF=AC，GH AC，GH=AC，EF GH，EF=GH，四边形 EFGH 一定是平行四边形，EF AC，EH BD，BD AC，EH EF，HEF=90，故选：C讲解用时：4 分钟解题思路：能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形掌握这些结论，以便于运用教学建议：熟练掌握矩形的判定和应用三角形的中位线定理.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：青岛年份：2004【例题
7、3】如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD相交于点 0，在 BC上取 BE=BO，连结 AE，OE 若 BOE=75，求 CAE 的度数.【答案】15【解析】根据等腰三角形的性质求出OBE=30，再求出 ABO=60，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后求出 AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BO，BAO=60，再判断出 ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出BAE=45，然后根据 CAE=BAO BAE计算即可得解解：BE=BO，BOE=75，OBE=180 275=30，ABO=ABC OBE=90 30=60，四边形 ABCD 是矩形，O
8、A=OB，AOB 是等边三角形，AB=BO，BAO=60，BO=BE，AB=BE，ABE是等腰直角三角形，BAE=45，CAE=BAO BAE=60 45=15讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出等边三角形和等腰直角三角形是解题的关键教学建议：熟练应用矩形的性质和等腰三角形的性质等进行解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：萧山区校级月考年份：2014【练习 3.1】如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则 CFA=度【答案】45【解析】易得 AFE CAD，那么 AF=AC，FAE=ACD
9、，由ACD+DAC=90，可得 FAE+DAC=90 则 AFC是等腰直角三角形，那么CFA=45度解：矩形 ABCD 和矩形 AGFE 是两个相同的矩形，AFE CAD，ADC=90，AF=AC，FAE=ACD，ACD+DAC=90，FAE+DAC=90，AFC是等腰直角三角形，CFA=45 故答案为 45讲解用时：3 分钟解题思路：解决本题的关键是利用全等三角形的性质得到所求角所在的三角形的形状教学建议：熟练应用矩形的性质和全等三角形的性质进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：永嘉县期末年份：2010【例题 4】矩形 ABCD 中，AB=8，对角线长为 10，则矩形的面积为【答案
10、】48【解析】根据矩形各内角为直角的性质可得直角ABC，已知 AC=10，AB=8，根据勾股定理即可求得BC的长，根据 AB，BC的值即可求得矩形ABCD 的面积解：矩形各内角为直角，ABC 为直角 ABC，AC=10，AB=8，BC=6，故矩形 ABCD 的面积为 68=48故答案为 48讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，矩形面积的计算，本题中根据勾股定理求BC的长是解题的关键教学建议：熟练掌握矩形的性质以及用勾股定理进行解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是 5，则另一直角
11、边长等于多少？【答案】12【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，然后根据勾股定理即可求出另一直角边的长解：直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是 5，其斜边长为 26.5=13，另一条直角边长=12讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题教学建议：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】如图，O是矩形 ABCD 的对角线 AC的中点，M是 AD的中点若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为
12、【答案】20【解析】根据题意可知 OM 是ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出 AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形 ABOM 的周长解：O是矩形 ABCD 的对角线 AC的中点，M是 AD的中点，OM=CD=AB=2.5，AB=5，AD=12，AC=13，O是矩形 ABCD 的对角线 AC的中点，BO=AC=6.5，四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案为：20讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质
13、，题目的综合性很好，难度不大教学建议：熟练掌握矩形的性质、三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】已知：如图所示，在矩形ABCD 中，AF=BE 求证：DE=CF【答案】DE=CF【解析】要证明 DE=CF，只要证明 ADE BCF即可根据全等三角形的判定定理，可以得出结论证明：矩形 ABCD，A=B、AD=BC，AF=BE，AE=BF，ADE BCF（SAS）DE=CF 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了矩形的性质，各内角为90，对边相等根据三角形全等的判定定理求出全等三角形，是证明线段相等的常用方法教学建议
14、：熟练掌握矩形的性质及全等三角形的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：蒙山县二模年份：2013【例题 6】已知：如图，在 ABC中，AD是 BC边上的高，B=30，ACB=45，CE是 AB边上的中线（1）CD=AB；（2）若 CG=EG，求证：DG CE【答案】（1）CD=AB；（2）DG CE【解析】（1）含 30角的直角三角形的性质得出AD=AB，证得 ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出结论；（2）连接 DE，证得 DE是 RtABD斜边 AB上的中线，得出 DE=AB，证得 DE=CD，即可得出结论证明：（1）AD是 BC边上的高，AD BC，B=30，AD
15、=AB，ACB=45，ACD 是等腰直角三角形，CD=AD，CD=AB；（2）连接 DE，如图所示：CE是 AB边上的中线，AD BC，DE是 RtABD 斜边 AB上的中线，DE=AB，CD=AB，DE=CD，CG=EG，DG CE 讲解用时：4 分钟解题思路：本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键教学建议：本题综合性较强，熟练掌握直角三角形、等腰三角形等的各种性质并灵活运用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：江干区期末年份：2016【练
16、习 6.1】如图，在 ABC 中，AB=AC，AD是底边 BC上的中线，BC=12cm，AD=8cm，E为 AC中点，则求 DE的长度等于多少 cm？【答案】5【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC，CD=BC，再利用勾股定理列式求出 AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到DE=AC 解：AB=AC，AD是底边 BC上的中线，AD BC，CD=BC=12=6cm，由勾股定理得，AC=10cm，E为 AC中点，DE=AC=10=5cm 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键教学
17、建议：熟练应用等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边上的中线性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A作 AE BC交 BC边于点 E，点 F 在边 AD上，且 DF=BE（1）求证：四边形 AECF 是矩形（2）若 BF平分 ABC，且 DF=1，AF=3，求线段 BF的长【答案】（1）四边形 AECF 是矩形；（2）26【解析】（1）首先证明 AF=EC，AF EC，推出四边形 AECF 是平行四边形，再证明 AEC=90 即可解决问题；（2）分别在 RtABE，RtBCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；（1）
18、证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC，AD BC，BE=DF，AF=EC，四边形 AECF 是平行四边形，AE BC，AEC=90，四边形 AECF 是矩形（2）解：BF平分 ABC，AD BC，ABF=CBF=AFB，AB=AF=3，AD=BC=4，在 RtABE中，AE=CF=2，在 RtBFC中，BF=2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型教学建议：熟练掌握矩形的判定和性质灵活解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：拱墅区期末年份：2017【练习
19、 7.1】如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点 P从点 A出发以每秒 1cm的速度沿射线 AC移动，点 Q从点 C出发以每秒 1cm的速度沿射线 CA移动（1）经过几秒，以 P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？（2）若 BC AC垂足为 C，求（1）中矩形边 BQ的长【答案】（1）7;（2）214【解析】（1）由四边形 ABCD 是平行四边形，AC=6，得到 CP=AQ=1，PQ=BD=8，由 OB=DO，OQ=OP，证得四边形 BPDQ 为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形 BPDQ 为矩形；（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论解：（1）当时间 t=7 秒时，四边
20、形 BPDQ 为矩形理由如下：当 t=7 秒时，PA=QC=7，AC=6，CP=AQ=1 PQ=BD=8 四边形 ABCD 为平行四边形，BD=8 AO=CO=3 BO=DO=4 OQ=OP=4 四边形 BPDQ 为平形四边形，PQ=BD=8 四边形 BPDQ 为矩形，（2）由（1）得 BO=4，CQ=7，BC AC BCA=90 BC2+CQ2=BQ2BQ=讲解用时：4 分钟解题思路：此题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得应用，动点问题等知识点教学建议：熟练掌握矩形的判定和性质难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，ABC 中
21、，ACB=90，AD=BD，且 CD=4，则 AB=（）A4 B8 C 10 D16【答案】B【解析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可解：ABC 中，ACB=90，AD=BD，CD=4，AB=2CD=8，故选：B难度：3 适应场景：练习题例题来源：泸县期末年份：2017【作业 2】矩形 ABCD 中，AB=8，对角线长为 10，则矩形的面积为【答案】48【解析】根据矩形各内角为直角的性质可得直角ABC，已知 AC=10，AB=8，根据勾股定理即可求得BC的长，根据 AB，BC的值即可求得矩形ABCD 的面积解：矩形各内角为直角，ABC 为直角 ABC，AC=10，AB
22、=8，BC=6，故矩形 ABCD 的面积为 68=48故答案为 48讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】如图，在平行四边形ABCD 中，E，F为 BC上两点，且 BE=CF，AF=DE 求证：（1）ABF DCE；（2）四边形 ABCD 是矩形【答案】（1）ABF DCE；（2）四边形 ABCD 是矩形【解析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为 BE=CF，那么两边都加上 EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件（2）由于四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可证明
23、：（1）BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，BF=CE 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DC 在ABF和DCE 中，ABF DCE（SSS）（2）ABF DCE，B=C 四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD B+C=180 B=C=90 四边形 ABCD 是矩形讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且 BAD=CAE 求证：四边形 BCDE 是矩形【答案】四边形 BCDE 是矩形【解析】求出 BAE=CAD，证 BAE CAD，推出 BEA=CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出BED+CDE=180，求出 BED，根据矩形的判定求出即可证明：BAD=CAE，BAD BAC=CAE BAC，BAE=CAD，在 BAE和CAD 中BAE CAD（SAS），BEA=CDA，BE=CD，DE=CB，四边形 BCDE 是平行四边形，AE=AD，AED=ADE，BEA=CDA，BED=CDE，BE CD，CDE+BED=180，BED=CDE=90，四边形 BCDE 是矩形讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：南通年份：2013