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1、第 3 讲 全等三角形的判定知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的判定，这是一节非常重要的内容，是中考大题考查的重点，所占分值也是非常高的，因此通过本节课的学习我们要掌握全等三角形的几种判定方法，学会处理这一类的几何题目。知识梳理讲解用时：20分钟全等三角形同位角、内错角、同旁内角（简称“三线八角”）1、同位角：两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角（构成“F”形）2、内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线两旁，这样的一对角叫做内错角（构成“Z”形）3、同旁内角：两个角
2、都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角（构成“U”形）1、全等形：在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形，或者可以表述为直线对称的两个图形是全等形2、全等三角形：能够 完全重合 的两个三角形称为全等三角形形状大小两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称 等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。3、对应顶点：A与 D B与 E C与 F 对应边：AB对应 DE BC对应 EF AC对应 DF 对应角：A对应 D B对应 E C对应 F 4、符号：ABC DEF “”读
3、作“全等于”（注意：对应的顶点的字母写在对应的位置上）全等三角形的判定三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL)（1）AB=DE （2）A=D B=E AB=DE BC=EF B=E 则ABC DEF（SAS）则ABC DEF（ASA）（3）AB=DE （4）A=D BC=EF B=E AC=DF BC=EF 则ABC DEF（SSS）则ABC DEF（AAS）A D B C E F（5）AC=DF AB=DE 则 RtABC RtDEF（HL
4、）注意：AAA和 SSA都不成立课堂精讲精练【例题 1】选择题下列条件，不能使两个三角形全等的是（）A两边一角对应相等B两角一边对应相等C直角边和一个锐角对应相等 D三边对应相等【答案】A【解析】全等三角形的判定定理有“边角边”，“角边角”，“边边边”“角角边”，“HL”，根据此可判断正误找出答案解：A、“边边角”不能证明两个三角形全等，故本选项错误B、两角一边对应相等能证明三角形全等故本选项正确C、直角边和一个锐角对应相等能证明三角形全等故本选项正确D、三边对应相等能证明三角形全等故本选项正确故选：A讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定定理，关键是熟记这些“边角边”，“角边角
5、”，“边边边”“角角边”，“HL”，判定定理教学建议：熟练掌握全等三角形的几种判定，有效区分.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】如图，E，B，F，C 四点在一条直线上，EB=CF，A=D，再添一个条件仍不能证明 ABC DEF的是（）AAB=DE BDF AC CE=ABC DAB DE【答案】A【解析】由 EB=CF，可得出 EF=BC，又有 A=D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明ABC DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成 SSA，就不能证明 ABC DEF了解：A、添加 DE=AB 与原条件满足 SSA，不能证明 AB
6、C DEF，故 A选项正确B、添加 DF AC，可得 DFE=ACB，根据 AAS能证明 ABC DEF，故 B选项错误C、添加 E=ABC，根据 AAS能证明 ABC DEF，故 C选项错误D、添加 AB DE，可得 E=ABC，根据 AAS能证明 ABC DEF，故 D选项错误故选：A讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL教学建议：注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：20
7、18【例题 2】如图，AB=DE，B=E，使得 ABC DEC，请你添加一个适当的条件（填一个即可）【答案】BC=EC【解析】本题要判定 ABC DEC，已知 AB=DE，B=E，具备了一边一角对应相等，利用 SAS即可判定两三角形全等了解：添加条件是：BC=EC，在ABC 与DEC 中，ABC DEC 故答案为：BC=EC 讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，关键是用 SAS即可判定两三角形全等教学建议：掌握两边及其夹角相等，可以证明两个三角形全等.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】如图，C、D点在 BE上
8、，1=2，BD=EC 请补充一个条件：，使ABC FED【答案】AC=DF【解析】条件是 AC=DF，求出 BC=DE，根据 SAS推出即可解：条件是 AC=DF，理由是：BD=CE，BD CD=CE CD，BC=DE，在ABC 和FED中，ABC FED（SAS），故答案为：AC=DF 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS 此题是一道开放型的题目，答案不唯一教学建议：可以引导学生往每一种判定上出发，看能否找出条件证明全等.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 2.2】如图，已知
9、ABC=DCB，要证 ABC DCB，还需添加的条件是【答案】AB=DC【解析】要使 ABC DCB，由于 BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SAS判定其全等，此题是一道开放型题目，答案不唯一解：添加条件是 AB=DC，理由是：在 ABC 和DCB中ABC DCB（SAS），故答案为：AB=DC 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键教学建议：可以引导学生往每一种判定上出发，看能否找
10、出条件证明全等.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】下列说法中，正确的个数是（）斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【答案】C【解析】根据 HL 可得正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形不全等；由 AAS或 ASA可得正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等解：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；一锐角和斜边
11、对应相等的两个直角三角形全等，正确；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系教学建议：掌握一般三角形全等的判定和直角三角形特殊的判定方法.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】如图，若要用“HL”证明 RtABC RtABD，则需要添加的一个条件是【答案】AC=AD 或 BC=BD【解析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD 解：添加 AC=AD 或 BC=BD；理由如下：C=D=90，在 RtABC和 RtABD
12、中，RtABC RtABD（HL），故答案为：AC=AD 或 BC=BD 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL教学建议：掌握直角三角形全等的判定.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】如图，A=B，AE=BE，点 D在 AC边上，1=2，AE和 BD相交于点 O 求证：AEC BED；【答案】AEC BED【解析】根据全等三角形的判定即可判断AEC BED 证明：AE和 BD相交于点 O，AOD=BOE 在AOD 和BOE 中，A=B，BEO=
13、2又 1=2，1=BEO，AEC=BED 在AEC 和BED中，AEC BED（ASA）讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定教学建议：熟练掌握全等三角形的几种判定方法.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】如图，已知 AB=AC，ABE=ACD，BE与 CD相交于 O，求证：ABE ACD【答案】ABE ACD【解析】由条件 AB=AC，ABE=ACD，再加上公共角 A=A，直接利用ASA定理判定 ABE ACD 即可证明：在 ABE与ACD 中，ABE ACD（ASA）讲解用时：3 分钟解题思路：此题
14、主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 教学建议：熟练掌握全等三角形的几种判定方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】已知：如图，1=2，C=D，求证：OAC OBD【答案】OAC OBD【解析】由1=2，根据等角对等边得出OA=OB再利用 AAS即可证明 OACOBD 证明：1=2，OA=OB在OAC 与OBD 中，OAC OBD（AAS）讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三
15、角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角也考查了等腰三角形的判定教学建议：熟练掌握全等三角形AAS的判定方法.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征如图，把一张长方形纸片 ABCD 折叠，使点 C与点 A重合，折痕为 EF（1）如果 DEF=110，求 BAF的度数；（2）判断 ABF和AGE是否全等吗？请说明理由【答案】（1）50；（2）是【解析】（1）在 RtABF中，求出 AFB即可解决问题（2）结论：ABF AGE 只要证明，BAF=EAG，B=G，A
16、B=AG，根据AAS即可判定解：（1）ABCD 是长方形，AD BC，AB=CD，CFE=180 DEF=70，由折叠知：AFE=CFE=70，AFB=180 AFE CFE=40，B=90，BAF=90 AFB=50（2）结论：ABF AGE 则折叠知：AG=CD，G=D=90，DEF=GEF=130 B=G，AB=CD，AB=AG，AEF=180 DEF=50，AEG=GEF AEF=80，AFB=AEG 在ABF和AGE 中，ABF AGE（AAS）讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题教学建议：掌握全等三角形 A
17、AS的判定方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图，A=D=90，AB=DE，BF=EC 求证：RtABC RtDEF【答案】RtABC RtDEF【解析】先由 BF=EC 得到 BC=EF，再根据“HL”判定 RtABC RtDEF 证明：BF=EC，BF+FC=FC+EC，即 BC=EF，A=D=90，ABC 和DEF都是直角三角形，在 RtABC和 RtDEF中，RtABC RtDEF（HL）讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）教学建议：掌握直角
18、三角形 HL的判定方法.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】如图，点 C、E、B、F在一条直线上，AB CF于 B，DE CF于 E，AC=DF，AB=DE 求证：ABDBCE【答案】ABD BCE【解析】此题根据直角梯形的性质和CE BD可以得到全等条件，证明ABD BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论证明：AD BC，ADB=DBC CE BD，BEC=90 A=90，A=BEC BD=BC，ABD BCE 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了直角三角形全等的判定；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的判定解决题目问题教学建议：掌
19、握直角三角形 HL的判定方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为 AB边上一点求证：ACE BCD【答案】ACE BCD【解析】要证 AE=BD，经过观察分析我们可以将这两条线段放在三角形ACE和三角形 BCD 中，证其全等即可首先我们根据ACB和ECD 都是等腰直角三角形，得出两对对应边的相等，然后又根据 ACB=ECD，都减去中间的公共角ACD再得一对对应角的相等，根据 SAS证三角形 ACE和三角形 BCD 的全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证证明：ACB 和ECD 都是等腰直角三
20、角形，ACB=ECD=90，EC=CD，AC=CB，ACB ACD=ECD ACD ACE=BCD ACE BCD 讲解用时：3 分钟解题思路：解此题时要充分利用等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的证明教学建议：掌握全等三角形 ASA的判定方法.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】如图，ACB和ECD都是等边三角形，点 A、D、E在同一直线上，连接BE 求证：ACD BCE；【答案】ACD BCE【解析】根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，求出ACD=BCE，根据全等三角形的判定得出即可；证明：ACB 和ECD 都是等边
21、三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=ACB DCB，BCE=DCE DCB，ACD=BCE，在ACD 和BCE中，ACD BCE（SAS）；讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定的应用，能推出ACD BCE是解此题的关键教学建议：跟学生概述总结此类题型，即“手拉手”模型.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，AB=AC，点 D，E 分别在 AB，AC上，CD，BE交于点 F，只添加一个条件使ABE ACD，添加的条件是：【答案】B=C【解析】添加条件是 B=C，根据全等三角形的判定定理ASA
22、推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一解：B=C，理由是：在 ABE和ACD中ABE ACD（ASA），故答案为：B=C 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】如图，若要用“HL”证明 RtABC RtABD，则需要添加的一个条件是【答案】AC=AD 或 BC=BD【解析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD 解：添加 AC=AD 或 BC=BD；理由如下：C=D=90，在 RtABC和 RtABD中，RtABC RtABD（HL），故答案为：AC=AD 或 BC=BD 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无
23、年份：2018【作业 3】已知：如图，A、C、F、D 在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：ABCDEF【答案】ABC DEF【解析】先根据 AF=DC，可推得 AFCF=DC CF，即 AC=DF；再根据已知 AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS，即可证明 ABC DEF 证明：AF=DC，AF CF=DC CF，即 AC=DF，在ABC和DEF中，ABC DEF（SSS）讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，AB=AD，C=E，1=2，求证：ABC ADE【答案】ABC ADE【解析】先证出 BAC=DAE，再由 AAS证明 ABC ADE 即可证明：1=2，1+EAC=2+EAC，即BAC=DAE，在ABC 和ADE中，ABC ADE（AAS）讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】如图，A=B=90，E是 AB上的一点，且 AE=BC，1=2RtADE与 RtBEC全等吗？并说明理由；【答案】是【解析】根据 1=2，得 DE=CE，利用“HL”可证明 RtADE RtBEC；全等，理由是：1=2，DE=CE，A=B=90，AE=BC，RtADE RtBEC；讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018