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1、第 18 讲 平行四边形的判定和性质知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边形的判定和性质。平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。知识梳理讲解用时：20分钟平行四边形的定义和性质1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示方法：ABDC（按照字母的顺序）注意：ABCD A B C D2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等，即AB=CD，AC=B
2、D（2）平行四边形的对角相等，即A=D，B=C（3）平行四边形的对角线互相平分，即OA=OD，OB=OC 3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的4 个小三角形.O 课堂精讲精练【例题 1】如图，在平行四边形ABCD 中，都不一定成立的是（）AO=CO；AC BD；AD BC；CAB=CAD A和B和C和D和【答案】D【解析】由四边形 ABCD是平行四边形，即可得和正确，然后利用排除法即可求得答案解：四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO，故成立；AD BC，故成立；利用排除法可得与不一定成立，当四边形是菱形时，和成立平行四边形的判定平行四边形的判定：（1）定义法：两组对边分别
3、平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了平行四边形的性质 注意掌握平行四边形的对角线互相平分，对边平行是解此题的关键教学建议：熟练掌握平行四边形的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：肇源县期末年份：2017【练习 1.1】若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和 16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的
4、是（）A5cm B8cm C 12cm D16cm【答案】B【解析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：83边长 8+3，即 5边长11只有选项 B在此范围内，故选B讲解用时：2 分钟解题思路：本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解教学建议：熟练掌握平行四边形的性质以及三角形的三边关系.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：方城县期中年份：2017【练习 1.2】如图，?ABCD 中，
5、AB、BC长分别为 12 和 24，边 AD与 BC之间的距离为 5，则 AB与 CD间的距离为【答案】10【解析】根据平行四边形的面积=AE BC=CD AF，即可求出 AD与 BC之间的距离解：如图，过点 A作 AE BC于点 E、AF CD于点 F由题意得，S四边形 ABCD=AE BC=CD AF，245=12AF，AF=10，即 AB与 CD间的距离为 10故答案是：10讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练平行四边形的面积公式教学建议：根据等面积法求出AB与 CD之间的距离.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海珠区校级期中年份：2015【例
6、题 2】如图所示，在?ABCD 中，E，F分别为 AB，DC的中点，连接 DE，EF，FB，则图中共有个平行四边形【答案】4【解析】根据?ABCD 及 E，F 分别为 AB，DC的中点，可推出对边平行且相等的平行四边形有 3 个，加上?ABCD，共有 4 个解：在?ABCD 中，E，F 分别为 AB，DC的中点DF=CD=AE=EB，AB CD 四边形 AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上?ABCD 本身，共有 4 个平行四边形 4故答案为 4讲解用时：3 分钟解题思路：本题利用了平行四边形的性质和判定及中点的性质教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂例
7、题例题来源：江西期末年份：2014【练习 2.1】如图在四边形 ABCD 中，已知 AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于 O，若 AC=6，则 AO的长度等于【答案】3【解析】根据在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，求证四边形 ABCD 是平行四边形，然后即可求解解：在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=6，AO=AC=6=3故答案为：3讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份
8、：2018【例题 3】在?ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点 O，E，F分别是 OB，OD的中点，四边形 AECF是【答案】平行四边形【解析】证明四边形 AECF 的对角线互相平分即可解：四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO，BO=DO，E，F分别是 OB，OD的中点，EO=FO，四边形 AECF 是平行四边形故答案是：平行四边形讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：阳东县期中年份：2015【练习 3.1】
9、如图，E、F是?ABCD 对角线 BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形 AECF 是平行四边形【答案】BE=DF【解析】连接 AC交 BD于 O，根据平行四边形性质推出OA=OC，OB=OD，求出 OE=OF，根据平行四边形的判定推出即可解：添加的条件是BE=DF，理由是：连接 AC交 BD于 O，平行四边形 ABCD，OA=OC，OB=OD，BE=DF，OE=OF，四边形 AECF 是平行四边形故答案为：BE=DF 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了对平行四边形的性质和判定的应用，此题是一个开放性的题目，关键是添加一个适合的条件，能推出平行四边形AECF，答案不唯一，题型不错
10、，难度也不大教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：商水县期末年份：2016【例题 4】如图，在四边形 ABCD 中，AD BC，B=70，C=40，DE AB交 BC于点 E若AD=5cm，BC=12cm，则 CD的长是cm【答案】7【解析】由在四边形 ABCD 中，AD BC，DE AB，可判定四边形 ABED 是平行四边形，即可求得CE的长，又由 B=70，C=40，易判定 CDE是等腰三角形，继而求得答案解：在四边形 ABCD 中，AD BC，DE AB，四边形 ABED 是平行四边形，BE=AD=5cm，CE=BC BE=12 5=7（
11、cm），DEC=B=70，C=40，CDE=180 DEC C=70，CD=CE=7cm故答案为：7讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质注意证得四边形ABED 是平行四边形，CDE 是等腰三角形是关键教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：句容市校级期中年份：2014【练习 4.1】如图，?ABCD 中，点 E在 CD的延长线上，AE BD，EC=4，则 AB的长是【答案】2【解析】可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证四边形ABDE是平行四边形，则AB=ED=DC=E
12、C=2 解：如图，在?ABCD 中，AB CD，且 AB=CD 点 E在 CD的延长线上，AB ED 又AE BD，四边形 ABDE 是平行四边形，AB=ED，AB=ED=DC=EC=2 故答案为：2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定与性质平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的教学建议：熟练运用平行四边形的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：
13、襄州区期中年份：2018【例题 5】已知在?ABCD 中，BDA=90，AC=10cm，BD=6cm，求 AD的长【答案】4cm【解析】在 RtADO 中，求出 OD、OA，再利用勾股定理即可解决问题；解：四边形 ABCD 是平行四边形OA=AC，OD=BD，AC=10cm，BD=6cm，OD=3cm，OA=5cm，BDA=90，AD=4（cm）讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题教学建议：熟练运用平行四边形的性质以及勾股定理的应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：内乡县期中年份：2018【练习 5.1】如图，
14、已知 AB DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF 是平行四边形【答案】四边形 BCEF 是平行四边形【解析】可连接 AE、DB、BE，BE交 AD于点 O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形证明：连接 AE、DB、BE，BE交 AD于点 O，AB DE，四边形 ABDE 是平行四边形，OB=OE，OA=OD，AF=DC，OF=OC，四边形 BCEF 是平行四边形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系教
15、学建议：熟练运用平行四边形的性质和判定.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：庆云县期末年份：2017【例题 6】如图，E，F是四边形 ABCD 对角线 AC上的两点，AD BC，DF BE，AE=CF 求证：（1）AFD CEB；（2）四边形 ABCD 是平行四边形【答案】（1）AFD CEB；（2）四边形 ABCD 是平行四边形【解析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得 AFD CEB；（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论证明：（1）如图，AD BC，DF BE，1=2，3=4又 AE=CF，AE+EF=C
16、F+EF，即 AF=CE 在AFD与CEB中，AFD CEB（ASA）；（2）由（1）知，AFD CEB，则 AD=CB 又AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件教学建议：熟练运用平行四边形的判定以及全等三角形的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：淮安区期末年份：2017【练习 6.1】如图，E是?ABCD 的边 CD的中点，延长 AE交 BC的延长线于点 F（1）求证：ADE FCE；（2
17、）若 AB AF，BC=12，EF=6，求 CD的长【答案】（1）ADE FCE；（2）12【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD BC，AB CD，证出 DAE=F，D=ECF，由 AAS证明 ADE FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出AED=BAF=90，由勾股定理求出DE，即可得出 CD的长解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，AB CD，DAE=F，D=ECF，E是?ABCD 的边 CD的中点，DE=CE，在ADE 和FCE中，ADE FCE（AAS）；（2）ADE FCE，AE=EF=6，AB CD，AED=BAF=90，在?
18、ABCD 中，AD=BC=12，DE=6，CD=2DE=12 讲解用时：4 分钟解题思路：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键教学建议：熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图所示，在 ABC中，点 D在 BC上且 CD=CA，CF平分 ACB，AE=EB，求证：EF=BD【答案】EF=BD【解析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是 AD中点，再根据三角形的中位线定理可得 EF=BD 证明：CD=CA，CF平分 ACB，F是 AD中点
19、，AE=EB，E是 AB中点，EF是ABD的中位线，EF=BD 讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半教学建议：掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及三角形中位线定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：邵阳县期中年份：2017【练习 7.1】如图，DE是ABC的中位线，求证：DE BC，且 DE=BC【答案】DE BC且 DE=BC【解析】延长 DE到 Q，使 DE=EQ，连接 CQ，根据 SAS证ADE CQE，推出AD=CQ，A=ACQ，推出平行四边形 DQCB，得出
20、DQ=BC，DQ BC，即可推出答案证明：延长 DE到 Q，使 DE=EQ，连接 CQ，AE=EC，AED=CEQ，DE=EQ，ADE CQE，AD=CQ，A=ACQ，AB CQ，AD=BD，BD=CQ，四边形 DBCQ 是平行四边形，DQ=BC，DQ BC，DE BC，DE=BC 讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能证出四边形DQCB是平行四边形是解此题的关键教学建议：掌握证明三角形中位线的方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：武安市期末年份：2016【练习 7.2】如图，在四边形
21、ABCD 中，AD=BC，P是对角线 BD的中点，M是 DC的中点，N是AB的中点求证：PMN=PNM【答案】PMN=PNM【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM=BC，PN=AD，然后求出 PM=PN，再根据等边对等角证明即可证明：P是对角线 BD的中点，M是 DC的中点，N是 AB的中点，PM、PN分别是 BCD 和ABD 的中位线，PM=BC，PN=AD，AD=BC，PM=PN，PMN=PNM 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键教学建议：熟练地运用三角形中位线定理.
22、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：天水期末年份：2015 课后作业【作业 1】如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BC=AD，若 A=110，则 C=度【答案】110【解析】由 AB=CD，BC=AD 可以判定四边形ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求出C 解：AB=CD，BC=AD，四边形 ABCD 是平行四边形，C=A=110 故填空答案：110难度：3 适应场景：练习题例题来源：河北年份：2006【作业 2】四边形 ABCD 的两条对角线相交于点O，AB CD，且 AB=CD，SAOB=5，则四边形 ABCD的面积为【答案】20【解析】先证明四边形ABCD是平
23、行四边形，得出对角线互相平分，然后得出四个小三角形的面积相等，即可求出四边形ABCD 的面积解：AB CD，且 AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，OB=OD，SAOD=SCOD=SBOC=SAOB=5，四边形 ABCD 的面积=45=20；故答案为：20难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2017【作业 3】已知如图所示，E、F 是四边形 ABCD 对角线 AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF BE（1）求证：AFD CEB；（2）四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由【答案】（1）AFD CEB；（2）是【解析】（1）首先根据平行线的性质可得DFA=
24、BEC，再加上 AF=CE，DF=BE可利用 SAS定理证明 AFD CEB；（2）首先根据 AFD CEB可得 AD=BC，DAC=ECB，然后证明 AD CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论（1）证明：DF BE，DFA=BEC，在ADF和CBE中，AFD CEB（SAS）；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，AFD CEB，AD=BC，DAC=ECB，AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形难度：3 适应场景：练习题例题来源：李沧区一模年份：2017【作业 4】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E、F是对角线 BD上的两点，1=2（1）求证：DE=BF；（2）
25、求证：四边形 AECF 是平行四边形【答案】（1）DE=BF；（2）四边形 AECF 是平行四边形【解析】（1）通过全等三角形 CDE ABF的对应边相等证得DE=BF；（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论（1）证明：如图：四边形ABCD 是平行四边形，CD=AB，CD AB，3=4，1=3+5，2=4+6，1=2 5=6 在CDE 与ABF中，CDE ABF（ASA），DE=BF；（2）证明：1=2，CE AF又由（1）知，CDE ABF，CE AF，四边形 AECF 是平行四边形难度：3 适应场景：练习题例题来源：沈河区二模年份：2017【作业 5】如图，在 ABC中，点 D在 BC上，且 DC=AC，CE AD，垂足为 E，点 F 是 AB的中点求证：EFBC【答案】EFBC【解析】根据等腰三角形三线合一的性质求出AE=ED，然后求出 EF为ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明证明：AC=DC CEAD，AE=ED，又F为 AB中点，EF为ABD中位线，EF BD，即 EF BC 难度：3 适应场景：练习题例题来源：简阳市模拟年份：2012