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1、第 1页（共 9页）2002年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）一.填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。1.若1)3(,izCz且（i 为虚数单位），则z。2.已知向量ba和的夹角为120，且ababa)2(,5|,2|则=。3.方程12)321(log3xx的解 x=。4.若正四棱锥的底面边长为cm32,体积为34cm，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是。5.在二项式nx)31(和nx)52(的展开式中，各项系数之和分别记为na、nb，n 是正整数，则nnnnnbaba432lim=。6.已知圆1)
2、1(22yx和圆外一点)0,2(P，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是。7.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9 名增至 14 名，但只任取其中7 名裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有2 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是（结果用数值表示）8.抛物线)1(4)1(2xy的焦点坐标是。9.某工程由下列工序组成，则工程总时数为天。工序abcdef紧前工序a、bccd、e工时数（天）23254110.设函数xxf2sin)(，若)(txf是偶函数，则t 的一个可能值是。11.若数列na中，211,3nnaaa且（n 是正整数），则数列的
3、通项na。12.已知函数)(xfy（定义域为D，值域为 A）有反函数)(1xfy，则方程0)(xf有解 x=a，且xxf)()(Dx的充要条件是)(1xfy满足。二.选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。第 2页（共 9页）y 0.5-1 O 1 x 13.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）A.Czzzz,21Re,1|B.C.Czzzz,21Im,1|D.Czzz
4、z,21Im,1|14.已知直线l、m，平面、，且ml,，给出下列四个命题。（1）若ml则,/;（2）/,则若ml;（3）若，则ml/;（4）若则,/ml其中正确命题的个数是（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4个15.函数,|,|sinxxxy的大致图象是（）y yO x-O x（A）（B）y yO x-O x-（C）（D）16.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（C）有一定的关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确是（）。第 3页（共 9页）O A D B P O A B
5、 A.气温最高时，用电量最多;B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加;D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加。3025201510501 2 37 8 9 10 111265412 37 8 9 10 111265402040600800100120140月份月份图（1）图（2）气温用电量三.解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17.（本题满分12 分）如图，在直三棱柱OBAABO中，4OO，90,3,4AOBOBOA，D是线段BA的中点，P 是侧棱BB上的一点，若BDOP，求OP与底面AOB所成角的大小。（结
6、果用反三角函数值表示）18.（本题满分12 分）已知点)0,3()0,3(BA和，动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为2，点 C 的轨迹与直线2xy交于 D、E 两点，求线段DE 的长。19.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分。已知函数5,5,22)(2xaxxxf（1）当1a时，求函数)(xf的最大值与最小值。（2）求实数a 的取值范围，使)(xfy在区间 5,5上是单调函数。第 4页（共 9页）20.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 10 分。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价
7、的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200,400)400,500)500,700)700,900)获得奖券的金额（元）3060100130根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400 元的商品，则消费金额为320 元，获得的优惠额为：110302.0400（元），设购买商品得到的优惠率商品的标价购买商品获得的优惠额。试问：（1）若购买一件标价为1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在800,500（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率？21.（本
8、题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分 6 分。已知函数xbaxf)(的图象过点)41,4(A和)1,5(B。（1）求函数f(x)的解析式。（2）记)(log2nfan，n 是正整数，nS是数列na的前 n 项和，解关于n 的不等式0nnSa；（3）对于（2）中的na与nS，整数 96 是否为数列nnSa中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。22.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分 8 分。规定!)1()1(mmxxxCmx，其中Rx，m 是正整数，且10
9、xC，这是组合数mnC（n,m 是正整数，且nm）的一种推广。（1）求315C的值。（2）设 x0，当 x 为何值时，213)(xxCC取得最小值？（3）组合数的两个性质：第 5页（共 9页）mnnmnCC；mnmnmnCCC11是否都能推广到mxC（Rx，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。第 6页（共 9页）z O A D B P O A y B x O A E D B P O A 2002 年高考数学文史类（上海卷）答案要点说明：1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。2.评阅试卷，
10、应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。一.（第 1 题至 12 题）1.i32.133.-14.305.216.347.1338.（0，1）9.1110.)(12(4/43/4Zkk11.123n12.af)0(1,且)(/)()(11xfyAxxxf的图象在直线xy的下方，且与y轴的交点为/),0(a。二.（第 13 题至 16 题）13.D14.B15.C16.C三
11、.（第 17 题至第 22 题）17.解法一 如图,以O点为原点建立空间直角坐标系由题意，有)4,2,23(),0,0,3(DB设),0,3(zP，则,0,3,4,2,23zOPBD因为OPBD0429zOPBD89z因为BB平面 AOBPOB是 OP 与底面 AOB 所成的角3388tgPOBPOBarctg解法二 取BO中点 E，连结 DE、BE，则DE平面OOBBBE是 BD 在平面OOBB内的射影。又因为BDOP由三垂线定理的逆定理，得BEOP在矩形OOBB中，易得EBBRtOBPRt,BBOBEBBP得89BP（以下同解法一）18.解 设点 C（x,y），则2|CBCA第 7页（共
12、9页）根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线12222byax由2,1,32|2,2222baABca得故点 C 的轨迹方程是1222yx由21222xyyx，得0642xx因为0，所以直线与双曲线有两个交点。设),(11yxD、),(22yxE，则6,42121xxxx故221221)()(|yyxxDE212122()44 5xxx x19.解（1）当1a时5,5,1)1(22)(22xxxxxf1x时，)(xf的最小值为15x时，)(xf的最大值为37。（2）函数222)()(aaxxf图象的对称轴为ax因为)(xf在区间 5,5上是单调函数。55aa或故a的取值范围是5a或5a20
13、.解（1）%3310001302.01000（2）设商品的标价为x 元则800500 x，消费额：6408.0400 x由已知得（I）5008.040031602.0 xxx或（II）6408.0500311002.0 xxx不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为750625x因此，当顾客购买标价在625，750元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。21.解（1）由541,41baba，得10241,4 ab故xxf410241)(第 8页（共 9页）（2）由题意102)410241(log2nann)9)(5(2)9()(21nnnSannaanSnnnn由0nnSa得0)9)(5(n
14、n，即95n故9,8,7,6,5n（3）6411Sa，8422Sa，7233Sa，4044Sa当95n时，0nnSa当10n时，1001010SaSann因此，96 不是数列nnSa中的项。22.解（1）680!3)17)(16)(15(315C（2）22136)2)(1()(xxxxCCxx)32(61xx因为222,0 xxx当且仅当2x时，等号成立。当2x时，213)(xxCC取得最小值。（3）性质（1）不能推广。例如当2x时，12C有定义，但122C无意义；性质(2)能推广，它的推广形式是RxCCCmxmxmx,11，m 是正整数，事实上当 m=1 时，有11011xxxCxCC当2m时，)!1()2()1(!)1()1(1mmxxxmmxxxCCmxmx 11)!1()2()1(mmxmmxxx1(1)(2)(1)!mxx xxmxCm证明（3）当mx时，组合数ZCmx第 9页（共 9页）当mx0时，ZCmx0当 x0 时，01mx!)1()1(mmxxxCmx1(1)(1)()(1)(1)!mmmx mxmxxCZm