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1、第 1页（共 9页）2000 年全国普通主等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：本试卷共有22 道试题，满分150 分一、填空题（本大题满分为48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。1已知向量OA(1，2)、OB=(3，m)，若OAOB，则 m=。2函数，xxy312log2的定义域为。3圆锥曲线tgyx31sec4的焦点坐标是。4计算：nnn)2(lim=。5 已 知bxfx2)(的 反 函 数 为)(),(11xfyxf若的 图 象 经 过 点)2,5(Q，则b=。6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年
2、上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035 亿元，2000 年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍，至少需年。（按：1999 年本市常住人口总数约1300）7命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题 A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8设函数)(xfy是最小正周期为2 的偶函数，它在区间 0，1上的图象为如图所示的线段AB，则在区间 1，2上)(xf=。9在二项式11)1
3、(x的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1、2 和 3，现任取出3 面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。11在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线BA,cos4于两点，则AB。12在等差数列na中，若010a，则有等式),19(192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，相应地：在等此数列nb中，若19b，则有等式成立。二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括
4、号内，选对得4 分，不选、第 2页（共 9页）选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13复数的三角形式是是虚数单位)(5sin5(cos3iiz).56sin56(cos3)(),54sin54(cos3)().5sin5(cos3)(),5sin()5cos(3)(iDiCiBiA答（）14设有不同的直线a、b和不同的平面a、，给出下列三个命题：（1）若aa/，ab/，则ba/。（2）若aa/，/a，则/a。（3）若a,，则/a。其中正确的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3答（）15若集合TsRxxyyTRxyySx则.,1|.3|2是：(D)(C)T.(B)
5、S.)(有限集A.答（）16下列命题中正确的命题是（A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则552sin a。（B）同时满足23cos,21sinaa的角a有且只有一个。（C）当1a时，)(arcsin atg的值恒正。（D）三角方程3)3(xtg的解集为Zkkxx,|。答（）三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17（本题满分12 分）已知椭圆C的焦点分别为)0,22()0,22(21FF和，长轴长为6，设直2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解18（本题满分12 分）如图所示四面体ABCD 中，AB、BC、BD 两两互相垂
6、直，且AB=BC=2，E 是 AC 中点，异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD 的体积。解第 3页（共 9页）19（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。已知函数,1,2)(2xxaxxxf。（1）当21a时，求函数)(xf的最小值：（2）若对任意0)(,1 xfx恒成立，试求实数a的取值范围。解（1）解（2）20（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 10 分。根据指令),(r)180180,0(r，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋
7、转，为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。解（1）解（2）21（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6分，第 3 小题满分6 分。在 XOY 平面上有一点列,),(,),(),(22
8、2111nnnbaPbaPbaP对每个自然数n，点P，位于函数)100()10(20002aay的图象上，且点nP，点)0.1()0,(nn与点构成一个以nP为顶点的等腰三角形。（1）求点nP的纵坐标nb的表达式。（2）若对每个自然数n，以nb，21,nnbb为边长能构成一个三角形，求a取值范围。（3）设.21NnbbbBnn，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列nB的最大项的项数。解（1）解（2）解（3）第 4页（共 9页）22（本小题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分 8分。已知复数yxyxiyxwyixzmmiz,),0
9、(10其中和均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数|2|,0zwzzwz 有。（1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式；（2）将(x、y)作为点P的坐标，(x、y)作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线1xy上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。解（1）解（2）解（3）第 5页（共 9页）2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1本
10、解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。2评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。3第 17 至第 22 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1 分为单位。解答一、（第 1 题至第 12 题）每一题正确的给4 分，否则一律得零分。1 4 2)3,21(3 (4，0)
11、，(6，0)。4 2e。51697侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/8X9462。10141113212),17(172121Nnnbbbbbbnn二、（第 13 题至第 16 题）第一题正确的给4 分。题号13141516代号CAAD三、（第 17 题至第 22 题）17解设椭圆 C 的方程为)(212222分byax由题意1,22,3bca于是)(41922分的方程为椭圆yxC,0273610192222xxyxxy得由因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有两个不同交点，（8 分）设)(12)51,59(,518),(),(212211分的中点坐标为故线段则设ABxxyxByxA18解法
12、一 如图建立空间直角坐标系（2 分）由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设 D 点的坐标为(0，0，z)0(z，第 6页（共 9页）则)10(,4,4,10142cos,1010arccos,2cos42,BE)(6,2,0,0,1,1222分的长度是故得所成的角的大小为与且则所成的角为与设分BDzzBEADzBEADADzADBE又)(4,38,61分的体积是因此四面体 ABCDBDBCABVABCD解法二 过 A 引 BE 的平行线，交与 CB 的延长线于F，DAF 是异面直线BE 与 AD 所成的角，DAF=1010arccos（4 分）E 是 AC 的中点，
13、B 是 CF 的中点，AF=2BE=22。（6 分）又 BF，BA 分别是 DF，DA 的射影，且BF=BC=BA。DF=DA。（8 分）三角形 ADF 是等腰三角形，20cos12DAFAFAD，故422ABADBD，（10 分）又BDBCABVABCD61，因此四面体ABCD 的体积是38，（12 分）19解（1）当221)(,21xxxfa时，)(xf在区间),1(上为增函数，（3 分）)(xf地区间),1(上最小值为27)1(f，（6 分）（2）解法一 在区让),1(上，0202)(22axxxaxxxf恒成立恒成立，（8 分）设),1(,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增
14、，当1x时，ay3min，（12 分）于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，第 7页（共 9页）故3a。（14分）（2）解法二,1,2)(xxaxxf，当0a时，函数)(xf的值恒为正，（8分）当0a时，函数)(xf递增，故当axfx3)(,1min时，（12分）于是当且仅当03)(minaxf时，函数0)(xf恒成立，故3a。（14 分）20解（1）45,24r，得指令为45),24(，（4 分）（2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球（6 分）则 因 为 小 球 速 度 是 机 器 人 速 度 的 2 倍，所 以 在 相 同 时 间 内 有22)40()4(|17|xxx
15、，（8 分）。即01611232xx，得323x或7x，要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7x，故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，（10 分）所给的指令为)13.98,5(，（14 分）21解（1）由题意，21nan，21)10(2000nnab，（4 分）解（2）函数)100()10(2000aayn递减，对每个自然数n，有21nnnbbb，则以21,nnnbbb为边长能构成一个三角形的充要条件是nnnbbb12，即01)10()10(2aa（7 分）解得)51(5a或)15(5a10)15(5a，（10分）解（3）10)15(5a7a21)107(2000nnb（12
16、分）数列nb是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2nnnBbBn，于是当1nb时，1nnBB，当1nb时，1nnBB，因此，数列nB的最大项的项数n满足不等式1nb且11nb。第 8页（共 9页）)16(20,8.20,1)107(200021分得由nnbnn22解（1）由题设，2,2000zzzzzzw，于是由3,0,412mmm得且，（3 分）因此由iyxyxyixiiyx)3(3)()31(，得关系式yxyyxx33（5 分）解（2）设点),(yxP在直线1xy上，则其经变换后的点),(yxQ满足1)13(3)31(xxyxx，（7 分）消去x，得232)32(xy，故点Q的轨迹方程为
17、232)32(xy（10 分）解（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为)0(kbkxy，（12 分）解法一 该直线上的任一点),(yxP，其经变换后得到的点)3,3(yxyxQ仍在该直线上，byxkyx)3(3，即bxkyk)3()13(，当0b时，方程组kkk31)13(无解，故这样的直线不存在。（16 分）当0b时，由,31)13(kkk得03232kk，解得33k或3k，第 9页（共 9页）故这样的直线存在，其方程为xy33或xy3，（18 分）解法二 取直线上一点)0,(kbP，其经变换后的点)3,(kbkbQ仍在该直线上，bkbkkb)(3，得0b，（14 分）故所求直线为kxy，取直线上一点),0(kP，其经变换后得到的点)3,31(kkQ仍在该直线上。)31(3kkk，（16 分）即03232kk，得33k或3k，故这样的直线存在，其方程为xy33或xy3，（18 分）