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1、第1页（共 6页）1 2002 年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一、填空题：(每小题 4 分，满分48 分)1、已知函数f(x)=log)log(22xxaa的定义域是)21,0(,则实数a 的取值范围是.2、设 M(p,0)是一定点，0p 1，点 A(a,b)是椭圆1422yx上距离 M 最近的点，则 a=f(p)=.3、若全集 I=R，f(x)、g(x)均为 x 的二次函数，P=,0)(|,0)(|xgxQxfx则不等式组0)(0)(xgxf的解集可用P、Q 表示为.4、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 x0 时，f(x)=log3(1+x),则 f(2)=.5、若在nx
2、x15的展开式中，第4 项是常数项，则n=.6、已知 f(x)=,2.11若xx则 f(cos)+f(cos)可化简为.7、如图，A、B、C、D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有种.8、设曲线 C1和 C2的方程分别为F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0，则点 P(a,b)21CC的一个充分条件为.9、若 f(x)=2sinx(00，a 1，函数 y=xyxaa1loglog的反函数和的反函数的图象关于（）(A)x 轴对称(B)y 轴对称(C)y=x对称(D)原点对称16、设)(Nnan是等差数列，Sn是其前n 项的和，且S5S8，则下列结论错误的是（
3、）(A)dS5(D)S6和 S7均为 Sn的最大值.三、解答题：(本大题满分86 分)17、(本小题满分12 分)已知 z、为复数，（1+3i）z 为虚数，=.,25|,2求且iz18、(本小题满分12 分)已知 F1、F2为双曲线)0,0(12222babyax的焦点.过 F2作垂直 x 轴的直线交双曲线于点P，且 PF1F2=30，求双曲线的渐近方程.19、(本小题满分14 分)如图，三棱柱OAB O1A1B1，平面OBB1O1平面 OAB，O1OB=60，AOB=90，P F1O F2xy第4页（共 6页）4 B1O1A1O B A 且 OB=OO1=2，OA=.3求：（1）二面角O1
4、AB O 的大小；（2）异面直线A1B 与 AO1所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）20、(本小题满分14 分)已知函数f(x)=).1(12axxax（1）证明：函数f(x)在(1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根.21、(本小题满分16 分)从 1999 年开始，上海市政府实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”计划将平顶房屋改为尖顶，并铺上彩色瓦片，现对某幢房屋有如下两种改造方案：方案 1：坡顶如图1 所示为顶面是等腰三角形的直三棱柱，尖顶屋脊AA1与房屋长度BB1等长，有两个坡面需铺上瓦片.方案 2：坡顶如图2 所示，为由图1 消
5、去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊DD1比房屋长度BB1短，有四个坡面需铺上瓦片.若房屋长度BB1=2a，宽 BC=2 b，屋脊高为h，试问哪种尖顶铺设的瓦片比较省？说明理由。A1A B C D D1B1C1图 1 B C D D1B1C1图 2 第5页（共 6页）5 22、(本小题满分18 分)对于函数f(x),若存在x0 R,使 f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b 1)(a0).(1)当 a=1,b=2 时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下
6、，若y=f(x)图上 A、B 两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B 两点关于直线y=kx+1212a对称，求b 的最小值.第6页（共 6页）6 2002 年上海市春季高考数学试题答案一、(1)1/32 a 1/2(2)4p/3(3)PQ(4)-1(5)18(6)2csc(7)16(8)点 P(a,b)C1(9)3/4(10)6(11)40.8(12)36cm 二、C C B C 三、(17)1+7i,-17i(18)y=2x(19)1)arc tan 7；2)arc cos 71；(20)略(21)当 0 x b 时，第一种方案省；当 x=b 时，两种方案一样；当 bx a 时，第二种方案省.(22)1)3 或 1；2)0a1；3)当 a=22时,bmin=42.