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1、第1页（共 9页）2002 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）一.填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。1.若（i 为虚数单位），则。2.已知向量的夹角为，且=。3.方程的解 x=。4.若正四棱锥的底面边长为,体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是。5.在二项式和的展开式中，各项系数之和分别记为、，n 是正整数，则=。6.已知圆和圆外一点，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是。7.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9 名增至 14 名，但只任取其中7 名
2、裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有2 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是（结果用数值表示）8.抛物线的焦点坐标是。9.某工程由下列工序组成，则工程总时数为天。工序a b c d e f 紧前工序a、b c c d、e 工时数（天）2 3 2 5 4 1 10.设函数，若是偶函数，则t 的一个可能值是。11.若数列中，（n 是正整数），则数列的通项。12.已知函数（定义域为D，值域为 A）有反函数，则方程有解 x=a，且的充要条件是满足。二.选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代
3、号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。第2页（共 9页）y 0.5-1 O 1 x 13.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）A.B.C.D.14.已知直线、m，平面、，且，给出下列四个命题。（1）若;（2）;（3）若，则;（4）若其中正确命题的个数是（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个15.函数的大致图象是（）y yO x-O x（A）（B）y yO x-O x-（C）（D）16.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在
4、这年12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确是（）。第3页（共 9页）O A D B P O A B A.气温最高时，用电量最多;B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加;D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加。三.解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17.（本题满分12 分）如图，在直三棱柱中，D是线段的中点，P 是侧棱上的一点，若，求与底面所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）18.（本题满分12 分）已知点，动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为2，点
5、 C 的轨迹与直线交于 D、E 两点，求线段DE 的长。19.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分。已知函数（1）当时，求函数的最大值与最小值。（2）求实数a 的取值范围，使在区间上是单调函数。第4页（共 9页）20.（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 10 分。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200,400)400,500)500,700)700,900)获得奖券的金额（元）30 60 1
6、00 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400 元的商品，则消费金额为320 元，获得的优惠额为：（元），设购买商品得到的优惠率。试问：（1）若购买一件标价为1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？21.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分6 分。已知函数的图象过点和。（1）求函数f(x)的解析式。（2）记，n 是正整数，是数列的前 n 项和，解关于 n 的不等式；（3）对于（2）中的与，整数 96 是否
7、为数列中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。22.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分8 分。规定，其中，m 是正整数，且，这是组合数（n,m 是正整数，且）的一种推广。（1）求的值。（2）设 x0，当 x 为何值时，取得最小值？（3）组合数的两个性质：第5页（共 9页）；是否都能推广到（，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。第6页（共 9页）z O A D B P O A y B x O A E D B P O A 2002 年高考数学文史类（上海卷）答案要点说明：1.本
8、解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。一.（第 1 题至 12 题）1.2.13 3.-1 4.5.6.7.8.（0，1）9.11 10.11.12.,且的图象在直线的下方，且与y轴的交点为。二.（第 13 题至 16 题）13.D 14.B 15.C 16.C
9、 三.（第 17 题至第 22 题）17.解法一 如图,以点为原点建立空间直角坐标系由题意，有设，则,0,3,4,2,23zOPBD因为0429zOPBD因为平面 AOB 是 OP 与底面 AOB 所成的角3388tgPOBPOBarctg解法二 取中点 E，连结 DE、BE，则平面是 BD 在平面内的射影。又因为由三垂线定理的逆定理，得在矩形中，易得得（以下同解法一）18.解 设点 C（x,y），则第7页（共 9页）根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线由故点 C 的轨迹方程是由，得因为，所以直线与双曲线有两个交点。设、，则故212122()44 5xxx x19.解（1）当时时，的最小
10、值为1 时，的最大值为37。（2）函数图象的对称轴为因为在区间上是单调函数。故的取值范围是或20.解（1）（2）设商品的标价为x 元则，消费额：由已知得（I）或（II）不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为因此，当顾客购买标价在625，750元内的商品时，可得到不小于的优惠率。21.解（1）由，得故第8页（共 9页）（2）由题意由得，即故（3），当时，当时，因此，96 不是数列中的项。22.解（1）（2）因为当且仅当时，等号成立。当时，取得最小值。（3）性质（1）不能推广。例如当时，有定义，但无意义；性质(2)能推广，它的推广形式是，m 是正整数，事实上当 m=1 时，有当时，1(1)(2)(1)!mxx xxmxCm证明（3）当时，组合数第9页（共 9页）当时，当 x0 时，1(1)(1)()(1)(1)!mmmxmxmxxCZm