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1、浙江省宁波市效实中学2019-2020 学年高一上学期期中考试试题数学第卷（选择题共 30 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足条件1,21,2,3M的所有集合M的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用条件1,21,2,3M,则说明M中必含有元素3，然后进行讨论即可.【详解】1,21,2,3M，3一定属于M，则满足条件的3M或1,3或2,3或1,2,3，共有 4 个，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化
2、为元素间的关系.2.已知函数()21f xx，则1()()yf xfx的定义域为（）A.1,22B.1,2)2C.2,)D.1(0,2【答案】A【解析】【分析】先求()21fxx的定义域再构造使函数1()()yf xfx的解析式有意义的x的不等式组，解不等式组，即可得到函数1()()yfxfx的定义域【详 解】()21f xx有 意 义，12102xx，则1()()yf xfx有 意 义 的x满 足11221122xxx，故1()()yfxfx的定义域为1,22故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域的求法即对应法则f中括号内整体的取值范围不变，是解答
3、本题的关键3.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.()f xx与2()()g xxB.()|f xx与33()g xxC.2()(2)xf x与()4xg xD.21()1xf xx与()1g xx【答案】C【解析】【分析】运用只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到结论【详解】A，f（x）x（xR）与g（x）（x）2x（x0），定义域不同，故不为同一函数；B，f（x）|x|与g（x）33xx，对应法则不同，故不为同一函数；C，2()(2)xf x=()4xg x（xR），故为同一函数；D，f（x）211xxx+1（x1），g（x）x+1（xR），定义域不同，故不
4、为同一函数故选：C【点睛】本题考查同一函数的判断，只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，考查运算能力，属于基础题4.函数223yxx的单调递增区间是（）A.(,3)B.(,1)C.(1,)D.(1,)【答案】D【解析】【分析】先求函数的定义域，然后f（x）可分解为yu和ux2+2x3，根据复合函数单调性的判断方法可求得f（x）的增区间【详解】由x2+2x30 可得，x 3 或x1，223yxx可看作由yu和ux2+2x3 复合而成的，ux2+2x3（x+1）24 在（，3）上递减，在（1，+）上递增，又yu递增，f（x）在（，3）上递减，在（1，+）上递增，故223yxx的单调递增区间是
5、（1，+）故选：D【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，属中档题，注意单调区间要在函数的定义域内求解5.已知函数2212(3)xxfxxf x，则13ff（）A.7B.12C.18D.27【答案】A【解析】【分析】先求出f（1）f（4）42+117，f（3）32+110，由此能求出f（1）f（3）的值【详解】函数f（x）21232xxfxx，f（1）f（4）42+117，f（3）32+110，f（1）f（3）1710 7故选：A【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用6.已知,a b cR则下列命题成立的是（）A.22abac
6、bcB.2211,0abababC.32ababD.3311,0ab abab【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质去判断和证明A，当2,1,ab判断B利用函数图像判断C；利用幂函数f（x）x3的单调性判断D【详解】当c0 时，ac2bc20，所以A错误当2,1,ab则2211,0ababab，所以B错误在同一个坐标系画出2,3xxyy的图像：易知32abab所以C错误因为函数f（x）x3在定义域上单调递增，所以由a3b3得ab，又ab0，所以a，b，同号，所以11ab成立所以D正确故选：D【点睛】本题考查不等关系以及不等式的性质，要求熟练掌握不等式的性质以及不等式成立的条件7.若函数()
7、f x 与()g x分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x，则在区间(0,)上（）A.()f x 与()g x都是递增函数B.()f x 与()g x都是递减函数C.()f x 是递增函数，()g x是递减函数D.()f x 是递减函数，()g x是递增函数【答案】A【解析】【分析】根据题意列f（x），g（x）的方程组，求出解析式，再判断单调性即可【详解】根据题意，f（x）+g（x）2x，则f（-x）+g（-x）2x又由yf（x）与yg（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则-f（x）+g（x）2x可得：f（x）2222,22xxxxg x易知f（x）222xx增函数，
8、又任取120,xx则1212121212 212222 2xxxxxxg xg x，因为120,xx则121222,2 21xxxx，故12g xg x，即()g x是递增函数故选：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解析式，关键是构造方程组，属于基础题8.已知函数,1()(4)2,12xaxf xaxx是R上的增函数，则实数a的取值范围是A.(1,8)B.(1,)C.(4,8)D.4,8)【答案】D【解析】函数 f（x）=14212xaxaxx，是 R上的增函数，1402422aaaa，解得：a4，8），故选：D点睛：本题主要考查函数单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是
9、指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于 1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在R身上单调递增.9.已知函数()f x 是定义在R上的偶函数,且在区间0,)单调递减.若实数x满足22(1)(1)2(3)2121xxfff，则x的取值范围是（）A.1,1B.1,0)(0,1C.(0,1D.(,11,)【答案】B【解析】【分析】先判断2121xg x为偶函数，不等式化为：22(1)2(3)21xff，再由f（x）的单调性列出不等式，再解指数不等式求出x的取值范围【详 解】设2121xg x，2
10、222 2+1111021212112xxxxxg xgx故2121xg x为偶函数，所以22(1)=(1)2121xxff因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间0，+）上单调递减，则22(1)(1)2(3)2121xxfff化为22(1)2(3)21xff，则21321x解得 0 x1或-1x0，则x的取值范围是 1,0)(0,1故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题10.已知函数2()2(4)4fxxm xm，()g xmx，若对于任一实数x，()f x 与()g x的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是A.4,4B.(4,4)C.(,
11、4)D.(,4)【答案】C【解析】【详解】当2160m时，显然成立当4,(0)(0)0mfg时，显然不成立；当24,()2(2),()4mfxxg xx显然成立；当4m时12120,0 xxx x，则()0f x两根为负，结论成立故4m,故选 C.第卷（非选择题共 70 分）二、填空题：本大题共7 小题，共24 分.11.13103211()()4(0.064)32_【答案】32【解析】【分析】利用分数指数幂运算求解即可【详解】131103321153()()4(0.064)3+120.443222故答案为：32【点睛】本题考查分数指数幂的运算，准确计算是关键，是基础题12.若(1)2fxxx
12、，则(3)f_；()fx_【答案】(1).24 (2).2431xxx【解析】【分析】利用换元法求函数的解析式即可求解【详解】令2111txtxt，则()f t221+21=43tttt故()f x2431xxx，则(3)f24 故答案为：24；2431xxx【点睛】本题考查换元法求函数解析式，注意换元时新元的范围，是中档题13.已知3()2(,)f xaxbxa bR，若(2019)3f，则(2019)f_.【答案】1【解析】【分析】令g（x）ax3bx，根据奇函数的定义即可求出答案【详解】令g（x）ax3+bx，则由奇函数的定义可得函数g（x）为R上的奇函数，由f（2019）g（2019）
13、+23 得，g（2019）1，f（-2019）g（-2019）+2g（2019）+21故答案为：1【点睛】本题考查了奇函数的定义，构造奇函数是关键，是一道基础题14.已知函数1()1fxx，把()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到()yg x的图象，则()g x的解析式为 _；()yg x的递减区间为 _.【答案】(1).1()12g xx (2).(2,3)【解析】【分析】根据函数图象平移的知识，由1()1f xx得到g（x）的解析式；画出函数()yg x的图像即可求单调减区间【详解】函数1()1f xx，f（x）的图象向右平移一个单位，得到y11112xx的图象，再向
14、上平移一个单位，得到再向上平移一个单位，得到()yg x=112x的图象；函数()yg x=112x,画出函数()yg x的图像如图：则()yg x的递减区间为(2,3)【点睛】本题考查了函数图象平移的知识以及函数图像，考查利用图像求单调区间，是基础题15.已知函数1,01()41,02xxxxxfxx，则()f x 的值域为 _【答案】1,1)(2,)【解析】【分析】分段求值域，然后再综合即可得出f（x）的值域；【详解】12111xyxx则0 x时，1,1)y4112222xxxxy，故()f x 的值域为 1,1)(2,)故答案为：1,1)(2,)【点睛】本题考查分段函数的值域，熟记分式函
15、数与对勾函数性质是关键，同时也考查推理以及分析问题、解决问题的能力，16.已知函数()11f xxxx，且2(32)(1)f aaf a，则()f x 的最小值为 _；满足条件的所有a的值为 _【答案】(1).2 (2).1或 3【解析】【分析】去绝对值得分段函数则最小值可求；利用函数()11f xxxx为偶函数解方程即可【详解】3,12,01()112,103,1x xxxf xxxxxxx x，则()f x最小值为02f函数()11()fxxxxf x即函数()f x 为偶函数若232(1)faaf a,则2321aaa,或232(1)aaa即2430aa,或2210aa解得1a,或3a故
16、答案为：2；1 或 3【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数奇偶性的应用，准确判断函数为偶函数是关键，是中档题17.已知函数()22fxxx，2()252g xxmxm()mR，对于任意的1 2,2x，总存在2 2,2x，使得12()()f xg x成立，则实数m的取值范围是_.【答案】119m【解析】【分析】先求出函数f（x）的值域A，设函数g（x）的值域为B，讨论m的取值，求出g（x）的值域，根据题意，有A?B，由数集的概念，求出m的取值范围【详解】函数f（x）22xx22x（x+2）+23221x，当x 2，2 时，2f（x）3，f（x）的值域是 2，3；又当x 2，2 时，若m 2，
17、则g（x）x22mx+5m2 在 2，2 上是增函数，最小值g（2）9m+2，最大值g（2）m+2；g（x）的值域是 9m+2，m+2，2，3?9m+2，m+2，即92223mm，解得 1m0，此时无解；若m2，则g（x）x22mx+5m2 在 2，2 上是减函数，最小值g（2）m+2，最大值g（2）9m+2；g（x）的值域是 m+2，9m+2，2，3?m+2，9m+2，即22923mm，解得19m 0，此时无解；若 2m2，则g（x）x22mx+5m2 在 2，2 上是先减后增的函数，最小值是g（m）m2+5m2，最大值是maxg（2），g（2）max9m+2，3m+2；当m0时，g（x）的
18、值域是 m2+5m2，9m+2，2，3?m2+5m2，9m+2，即2522923mmm，解得19m 1，或m 4（不符合条件，舍去）；则取19m 1；当m0 时，g（x）的值域是 m2+5m2，m+2，2，3?m2+5m2，m+2，即252223mmm；解得m1，或m4，不符合条件，舍去；综上知，实数m的取值范围是：19，1 故答案为：19，1【点睛】本题考查了函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查了运算求解的能力以及化归与转化思想，是难题三、解答题：本大题共5 小题，共46 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知,x y为正数.（1）当1xy时，求xy的最大值；（2）当
19、0 xyxy时，求2xy的最小值.【答案】（1）最大值14（2）最小值32 2.【解析】【分析】（1）利用基本不等式求得xy的最大值（2）变形0 xyxy为111xy利用“1”的代换求得最小值【详解】（1）1124xyxyxy当且仅当xy12时，等号成立xy最大值为14（2）0 xyxy故111xy，则1122332 2yxxyxyxy当且仅当2xyyx，即221,12xy时取等号，最小值为32 2【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题19.已知集合2230,26Ax xxBxxx.（1）求,()RABC AB；（
20、2）已知集合13aCxx，若BCC，求实数a的取值范围.【答案】（1）3,6),(1,6)RABC AB；（2）13a.【解析】【分析】（1）化简集合A、B，求出,()RABC AB（2）化简集合C，BCC知C?B，由此列不等式求出a的取值范围【详解】（1）因为A3,)(,1Bx|x2x6xx|2 x6，所以3,6),(1,6)RABC AB（2）31=0=33033aaxCxxxxxaxx若BCC，则CB当0,aC，满足题意当0a，3+,3Ca，则321aa，即10a当0a，3 3+Ca，则363aa，即 03a综上：实数a的取值范围是13a【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，考查集合的
21、包含关系求，考查含参二次不等式解法，准确分类是关键，是中档题20.已知二次函数()f x 满足(0)(2)1ff且(1)4f.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(0 xyf aa且1)a在 1,1x上的最大值为8，求实数a的值.【答案】（1）2()361f xxx；（2）3a或13a.【解析】【分析】（1）利用二次函数列方程即可求解（2）换元法转化为22361314g tttt，利用定义域与对称轴的位置关系求最大值即可求解【详解】（1）二次函数f（x）ax2+bx+c（a0），(0)(2)1ff对称轴x112bca，f（1）-4，a+b-3，a3，b-6c 1，2()361f xx
22、x，（2）x1，1，txa，则22361314g tttt当11,ataa，故22361314g tttt在1,aa先减后增，又112aa故最大值为2361g aaa=8，解得3a同理当101,aata，故22361314g tttt在1,aa上最大值为21361gaaa=8，解得13a综上：3a或13a【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，考查分类讨论求最值，注意换元后新元范围与对称轴远近的比较，属于综合题目，理解题意最关键21.已知定义在R上的奇函数()f x，当0 x时，()1xf xx.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 在R上的图象；（3）解关于x的不等式2(
23、)(1)f axxf ax（其中aR）.【答案】（1）,01()0,0,01xxxf xxxxx；（2）图象见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在 R上的解析式；（2）由（1）画出函数f（x）的图象；（3）根据函数单调性，得x的一元二次不等式，分解因式，讨论两根大小解不等式即可；【详解】（1）设x0，x0，则f（x）=11xxxx又f（x）为奇函数，所以f（x）f（x），于是x0 时f（x）1xx，所以,01()0,0,01xxxf xxxxx（2）（3）由（2）知f（x）在 R上单调递减，故2()(1)f axxf ax等价为21110axxa
24、xaxx当0a时，1x；当01a时，11xa；当1a时，x；当1a时，11xa；当0a时，1x或1xa.综上：当0a时，不等式解集为1+，；当01a时，不等式解集为11a，；当1a时，不等式解集；当1a时，不等式解集为11a，；当0a时，不等式解集为1+,a1，.【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键22.已知函数()()f xx xaa aR.（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当4a时，求()f x 在1,5x的值域；（3）若对任意3,5x，()0f x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）当0a时，()f x 为奇函数，当0a时，()f
25、 x 为非奇非偶函数；（2）4,1；（3）94a或254a.【解析】【分析】（1）当a 0 时，利用定义判断f（x）为奇函数；当a0时，利用特值判断f（x）为非奇非偶函数；（2）将a 4 代入，分类讨论f（x）的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；（3）去绝对值，分离参数，转化为基本不等式求最值即可【详解】（1）当a0 时，f（x）为奇函数；当a0 时，f（x）为非奇非偶函数，理由如下：当a0 时，函数f（x）x|x|f（x），此时，f（x）为奇函数当a0 时，f（a）a，f（a）2a|a|a，f（a）f（a），f（a）f（a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）当a 4 时，函数
26、()44f xx x当 1x4 时，f（x）4xx24 4，0，当 5x 4时，f（x）x2-4x-4 4，1，综上，当a4 时，求f（x）的值域为 4，1，（3）对任意的x3,5,f(x)0 恒成立转化为|x-a|ax在x3,5 上恒成立.当a0 时,显然不等式恒成立.当a0 时,|x-a|ax可化为x-aax或x-a-ax,由x-aax得a22(1)2(1)111xxxxx=x+1+11x-2,令g(x)=x+1+11x-2,则g(x)在x3,5 上单调递增,所以g(x)4+14-2=94,故a94;由x-a-ax得a22(1)2(1)111xxxxx=x-1+11x+2,令h(x)=x-1+11x+2,则h(x)在x3,5 上单调递增,所以h(x)4+14+2=254,故a254.综上,实数a的取值范围为94a或254a.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档