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1、专题 2.7 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ax(a0，且 a 1)与对数函数ylogax(a0，且 a 1)互为反函数.知识点一对数的概念如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.知识点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；
2、logaabb(a0，且 a1).(2)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnnmlogaM(m，nR，且 m 0).(3)换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于1).知识点三对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且 a 1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a1 0a1 时，y0；当 0 x1 时，y1 时，y0；当 0 x0 在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数知识
3、点四反函数指数函数yax(a0，且 a 1)与对数函数ylogax(a0，且 a 1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称.【特别提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab1logba；(2)logambnnmlogab.其中 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0，且 a 1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限.考点一对数的运算【典例 1】（2019 广东中山一中模拟）计算：lg14 lg 25 10012_.【答案】20【解析】原式(lg 2
4、2lg 52)10012 lg122 52 10lg 102 10 2 10 20.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abN?b logaN(a0，且 a 1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【变式 1】（2019 河南新乡一中模拟）已知 ab1，若 logablogba52，ab ba，则 a_，b_.【答案】42【解析】设logbat，则 t1，因为 t1
5、t52，所以 t2，则 ab2.又 abba，所以 b2b bb2，即 2b b2，又 ab1，解得 b 2，a4.考点二对数函数图象及其应用【典例 2】（2019 广西桂林十八中模拟）当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A.0，22B.22，1C(1，2)D(2，2)【答案】B【解析】易知0a1，函数 y4x与 y logax 的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga12412，解得 a22，22a1，故选 B.【方法技巧】(1)识别对数函数图象时，要注意底数a 以 1 为分界：当a 1 时，是增函数；当0a1 时，是减函数注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以
6、y 轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【变式 2】（2019 四川棠湖中学模拟）设方程10 x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20 Bx1x20 Cx1x21 D0 x1x21【答案】D【解析】作出y10 x与 y|lg(x)|的大致图象，如图显然 x10，x20.不妨令 x1 x2，则 x1 1x20，所以 10 x1 lg(x1)，10 x2 lg(x2)，此时 10 x1 10 x2，即 lg(x1)lg(x2)，由此得 lg(x1x2)0，所以 0 x1x21，故选 D.考点三比较对数值的大小【典例 3】【20
7、19 年高考天津文数】已知5log 2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,a b c的大小关系为（）AacbBabcCbcaDcab【答案】A【解析】因为551log 2log52a，0.50.5log0.2log0.252b，10.200.50.50.5c，即112c，所以acb.故选 A.【方法技巧】（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较【变式 3】【2019 年高考全国卷文数】已知0.20.32log 0.220.2abc，则（）AabcBacbCcabDbca【答案】B【
8、解析】22log 0.2log 10,a0.20221,b0.3000.20.21,c即01,c则acb故选 B考点四解简单的对数不等式【典例 4】（2019 山东枣庄八中模拟）设函数 f(x)log2x，x0，log12x，x0.若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)【答案】C【解析】由题意得a0，log2a log2a或a0，log2a log2 a，解得 a1 或 1a0.故选 C.【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数 a 的值【变式 4】（2019 广东湛江一中模拟）已知函数f(x)2x，x0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x 0，2时，t(x)的最小值为32a，当 x0，2时，f(x)恒有意义，即 x0，2时，3ax0 恒成立.32a0.a0 且 a1，a 的取值范围是(0，1)1，32.(2)t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数.f(x)在区间 1，2上为减函数，ylogat 为增函数，a1，x 1，2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，32a0，loga（3a）1，即a32，a32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间 1，2上为减函数，并且最大值为1.