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1、专题 2.6 指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。知识点一根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na)na(a 使na有意义)；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于0
2、；0 的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)s ars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ.知识点三指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0 且 a 1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a1 0a0 时，y1；当 x0 时，0y1 当 x1；当 x0 时，0y0，且 a 1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，1a.2.在第一象限内，指数函数yax(a0 且 a 1)的图象越高，底数越大.考点一指数幂的运算【典例 1】（2019 河北邯郸一中模拟）化简235022
3、21412(0.01)0.5【解析】23502221412(0.01)0.5114491211001211423110 1161101615【答案】1615【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式 1】（2019 湖南岳阳一中模拟）化简(0.06415)2.52333380；【解析】(0.06415)2.52333380641 000155223278131
4、 410315522332313 1523210.【答案】0 考点二指数函数的图像及其应用【典例 2】（2019 辽宁葫芦岛高级中学模拟）函数 yaxa1(a0，且 a 1)的图象可能是()【答案】D【解析】函数 y ax1a是由函数yax的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 项显然错误；当a1 时，01a1，平移距离小于1，所以 B 项错误；当0a 1 时，1a1，平移距离大于1，所以 C 项错误故选D.【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指
5、数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a 与 1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1 与图象的交点进行判断【变式 2】（2019 山西平遥中学模拟）已知f(x)|2x1|，当 a bc 时，有 f(a)f(c)f(b)，则必有()Aa 0，b0，c0Ba0，b0，c0 C2a2cD12a2c2【答案】D【解析】作出函数f(x)|2x1|的图象如图所示，因为a bc，且有 f(a)f(c)f(b)，所以必有 a0,0c1，且|2a1|2c
6、1|，所以 12a2c1，则 2a2c2，且 2a2c1.故选 D.考点三比较指数式的大小【典例 3】【2019 年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3abc，则 a，b，c 的大小关系为（）AcbaBabcCbcaDcab【答案】A【解析】0.200.30.31c，22log 7log 42a，331log 8log 92b，cba.故选 A.【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式 3】（2019 江苏扬州中学模拟）已知f(x)2x
7、 2x，a7914，b9715，clog279，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b)Df(b)f(c)f(a)【答案】B【解析】易知 f(x)2x 2x在 R 上为增函数，又 a791497149715b0，clog2790，则 abc，所以 f(c)f(b)f(a)考点四解简单的指数方程或不等式【典例 4】（2019 河北唐山一中模拟）已知实数a1，函数 f(x)4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为 _【解析】当a 1 时，41a21，解得 a12；当 a1 时，代入不成立故
8、a 的值为12.【答案】12【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式 4】（2019 安徽马鞍山二中模拟）设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数a 的取值范围是_【解析】若a 0，则 f(a)1?12a71?12a8，解得 a 3，故 3a0；若 a0，则 f(a)1?a1，解得 a1，故 0 a1.综合可得 3a1.【答案】(3,1)考点五指数函数性质的综合应用【典例 5】（2019 江西鹰潭一中模拟）已知函数f(x)13243axx.(1)若 a 1，求 f(x)的单调区间
9、；(2)若 f(x)有最大值3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值【解析】(1)当 a 1 时，f(x)13243xx，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y13t在 R 上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令 g(x)ax24x 3，则 f(x)13g(x)，由于 f(x)有最大值3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有a0，3a4a 1，解得 a1，即当 f(x)有最大值3 时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质
10、知，要使f(x)的值域为(0，)，应使 yax24x3 的值域为R，因此只能a0(因为若 a0，则 yax24x3 为二次函数，其值域不可能为R)故 a 的值为 0.【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。【变式 5】（2019 山东牟平一中模拟）已知函数f(x)1ax112x3(a0，且 a 1)(1)讨论 f(x)的奇偶性；(2)求 a 的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立【解析】(1)由于 ax10，则 ax1，得 x0，函数 f(x)的定义域为 x|x0 对于定义域内任意x，有f(x)1ax112(x)3ax1ax12(x)311ax112(x)31ax 112x3f(x)，函数 f(x)是偶函数(2)由(1)知 f(x)为偶函数，只需讨论x0 时的情况，当x0 时，要使f(x)0，则1ax 112x30，即1ax112 0，即ax 12ax10，则 ax1.又 x0，a1.当 a(1，)时，f(x)0.