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1、专题 2.7 对数与对数函数1（2019湖南湘潭一中月考）已知函数f(x)2x，x4，f（x1），x4，则 f(2 log23)的值为()A24 B16 C12 D8【答案】A【解析】因为32log230，3x1，x0，则 f(f(1)f log312的值是()A.5 B.3 C.1 D.72【答案】A【解析】由题意可知f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，f log3123 log31213log321 213，所以 f(f(1)flog3125.3（2019福建漳州一中月考）在同一直角坐标系中，函数f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且 a1)的图象大致为()【答
2、案】A【解析】若0a2，选项 C、D 不满足当 a1 时，由 2ax0，得 x2a0，a 1)的定义域和值域都是0，1，则 loga56loga485()A1 B 2 C3 D4【答案】C【解析】由题意可得aax0，ax a，定义域为 0，1，所以 a1，yaax在定义域为 0，1上单调递减，值域是0，1，所以 f(0)a11，f(1)0，所以 a2，所以 loga56loga485log256log2485log283.5（2019广东佛山一中月考）已知f(x)lg(10 x)lg(10 x)，则()Af(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数Bf(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数
3、Cf(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数Df(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数【答案】D【解析】由10 x0，10 x0，得 x(10，10)，且 f(x)lg(100 x2)所以 f(x)是偶函数又 t100 x2在(0，10)上递减，ylg t 在(0，)上递增，故函数f(x)在(0，10)上递减6（2019江西无锡一中期中）已知f(x)lg(10 x)lg(10 x)，则()Af(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数Bf(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数Cf(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数Df(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数【答案】D【解析】
4、由10 x0，10 x0，得 x(10,10)，故函数 f(x)的定义域为(10,10)，关于原点对称 由于 f(x)lg(10 x)lg(10 x)f(x)，故函数f(x)为偶函数而f(x)lg(10 x)lg(10 x)lg(100 x2)，y100 x2在(0,10)上递减，ylg x 在(0,10)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减7（2019河北承德一中月考）已知2x72yA，且1x1y2，则 A 的值是 _【答案】72【解析】由 2x72yA 得 xlog2A，y12log7A，则1x1y1log2A2log7A logA22logA7logA982，A298.又 A0，故
5、 A9872.8（2019浙江嘉兴一中期中）已知函数f(x)|log 3x|，实数 m，n 满足 0mn，且 f(m)f(n)，若 f(x)在m2，n上的最大值为2，则nm_.【答案】9【解析】因为f(x)|log3x|log3x，0 x1，log3x，x1，所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn 且 f(m)f(n)，可得0m1，n1，log3n log3m，则0m1，n1，mn1，所以 0m2 m1，则 f(x)在m2,1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m)f(n)，则 f(x)在m2，n上的最大值为 f(m2)log3m22，解得 m1
6、3，则 n3，所以nm9.9（2019安徽巢湖一中期末）已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x0 时，f(x)loga(x1)(a0，且 a 1)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 1f(1)1，求实数a 的取值范围【解析】(1)当 x0 时，x0，由题意知f(x)loga(x1)，又 f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)f(x)当 x0 时，f(x)loga(x1)，函数 f(x)的解析式为f(x)loga（x1），x0，loga（x1），x0.(2)1f(1)1，1loga21，loga1a loga2logaa.当 a1 时，原不等式等价于1a2，a2，解得 a2；当 0a
7、1 时，原不等式等价于1a2，a2，解得 0a12.综上，实数a 的取值范围为0，12(2，)10（2019 海南三亚一中期末）已知函数f(x)loga(3ax)(a0，且 a 1)(1)当 x0,2 时，函数 f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间 1,2 上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由【解析】(1)a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，当x0,2时，t(x)的最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0 恒成立32a0，a32.又 a
8、0 且 a1，0a1 或 1a32，实数 a 的取值范围为(0,1)1，32.(2)由(1)知函数 t(x)3ax 为减函数f(x)在区间 1,2上为减函数，ylogat 在1,2上为增函数，a1，当 x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，32a 0，loga3a1，即a32，a32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间 1,2 上为减函数，并且最大值为1.11（2019湖南长郡中学模拟）f(x)x满足 f(2)4，那么函数g(x)|log(x1)|的图象大致为()【答案】C【解析】由 f(2)24，得 2.所以 g(x)|log2(x1)|
9、，则 g(x)的图象由y|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C 满足12（2019 山西平遥中学模拟）已知函数f(x)|ln x|，若 f(m)f(n)(mn0)，则2m12n1()A.12B1 C2 D4【答案】C【解析】函数f(x)|ln x|的图象如图所示：由 f(m)f(n)，mn0，可知 m1n0，所以 ln m ln n，则 mn 1.所以2m12n 12（mn）4mnmn12（mn2）mn22.13（2019 浙江杭州高级中学模拟）已知函数f(x)log2（3x），x2，2x21，x2，若 f(2a)1，则f(a)_【答案】2【解析】若2 a0 时，f(2a)log2(1a
10、)1.解得 a12，不合题意当 2a2，即 a0 时，f(2a)2a11，即 2a 2?a 1，所以 f(a)f(1)log24 2.14（2019 河南郑州一中模拟）已知函数f(x)logax(a0 且 a 1)的图象过点(4，2)(1)求 a 的值；(2)若 g(x)f(1x)f(1 x)，求 g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间【解析】(1)函数 f(x)logax(a 0且 a 1)的图象过点(4，2)，可得 loga42，解得 a2.(2)g(x)f(1 x)f(1x)log2(1x)log2(1x)log2(1x2)，由 1x0 且 1x0，解得
11、 1x1，可得 g(x)的定义域为(1，1)(3)g(x)log2(1x2)，由 t1x2在(1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，且 ylog2t 在(0，)上单调递增，可得函数g(x)的单调减区间为(0，1)15（2019 河北衡水中学模拟）已知函数f(x)ln x1x1.(1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于 x2，6，f(x)ln x 1x 1ln m（x 1）（7x）恒成立，求实数m 的取值范围【解析】(1)由x 1x 10，解得 x 1 或 x1，所以函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当 x(，1)(1，)时，f(x)ln x1x1ln x
12、1x1 lnx 1x 11 ln x1x1f(x)，所以 f(x)ln x1x1是奇函数(2)由于 x2，6时，f(x)ln x1x1ln m（x1）（7x）恒成立，所以x1x1m（x1）（7x）0，因为 x2，6，所以 0 m(x 1)(7x)在 x2，6上恒成立令 g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6，由二次函数的性质可知，x2，3时函数 g(x)单调递增，x3，6时函数 g(x)单调递减，即 x2，6时，g(x)ming(6)7，所以 0m7.1.【2019 年高考全国卷文数】已知0.20.32log 0.220.2abc，则（）AabcBacbCcabDbca【答案】B【解
13、析】22log 0.2log 10,a0.20221,b0.3000.20.21,c即01,c则acb故选 B2.【2019 年高考天津文数】已知5log 2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,a b c的大小关系为（）AacbBabcCbcaDcab【答案】A【解析】因为551log 2log52a，0.50.5log0.2log0.252b，10.200.50.50.5c，即112c，所以acb.故选 A.3.(2018天津卷)已知 alog2e，bln 2，clog1213，则 a，b，c 的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】法一因为 al
14、og2e1，bln 2(0，1)，clog1213log23log2ea1，所以 cab.法二log1213log23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x 的图象，由图知 cab.4.(2018全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则()Aa bab 0 Babab0 Ca b0abDab0ab【答案】B【解析】alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.abab1a1blog0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，0abab1，abab0.5.(2018全国卷)已知函
15、数f(x)log2(x2 a).若 f(3)1，则 a_.【答案】7【解析】由f(3)1 得 log2(32a)1，所以 9a2，解得 a 7.6.(2018全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则()Aa bab 0 Babab0 Ca b0abDab0ab【答案】B【解析】alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.abab1a1blog0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，0abab1，abab0.7.(2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.y f(x)的图象关于直线x1 对称D.y f(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)ln x(2 x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以 f(x)的图象关于直线x1 对称，C 正确，D 错误.