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1、1 第一章 随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A=出现奇数点，B=出现1或3点，则下列选项正确的是(B).A.AB=出现奇数点 B.AB=出现5点 C.B=出现5点 D.ABU2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是(A).A.()ABBAB.()ABBABAABC.()ABBABD.ABABA3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令Ai=第i次正面向上（i=1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为(D).A.1212A AA AUB.12A AC.12A AD.12AAU4.某人向一目标射击 3次，设 Ai表示“第 i次射击命中目标”（i=1，2，3），则3次都没有命中目标
2、表示为(A).A.123A A AB.123AAAC.123A A AD.123A A A5.设A与B为互为对立事件，且()0,()0P AP B，则下列各式中错误的是(A).A.(|)0P A BB.(|)0P B AC.()0P ABD.()1P ABU6.设事件 A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则(|)P A B=(D).A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 7.已知事件 A与B互不相容,P(A)0,P(B)0,则(C).2 A.()1P ABUB.()()()P ABP A P BC.()0P ABD.()0P AB8.设P(A)=0,B为任一事件,则(C
3、).A.AB.ABC.A与B相互独立D.A与B互不相容9.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,且AB,则P(A|B)=(C).A.0 B.0.4 C.0.8 D.1 10.设A与B为两事件,则AB=(B).A.A BB.ABUC.ABID.ABI11.设事件 AB,P(A)=0.2,P(B)=0.3,则()P ABU(A).A.0.3 B.0.2 C.0.5 D.0.44 12.设事件 A与B互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A|B)=(D).A.0.08 B.0.4 C.0.2 D.0 13.设A,B为随机事件,P(B)0,P(A|B)=1,则必有(A).A.()()P
4、 ABP AUB.ABC.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)14.从1,2,3,4,5中任意取 3个数字,则这3个数字中不含 5的概率为(A).A.0.4 B.0.2 C.0.25 D.0.75 15.某学习小组有 10名同学，其中 6名男生、4名女生，从中任选 4人参加社会活动，则 4人中恰好 2男2女的概率为(A).A.37B.0.4 C.0.25 D.1616.某种动物活 20年的概率为 0.8，活25年的概率为 0.6，现有一只该种动物已经活了 20年，它能活到 25年的概率是(B).A.0.48 B.0.75 C.0.6 D.0.8 17.将两封信随机地投到 4个邮筒内，则前
5、两个邮筒内各有一封信的概率为3(A).A.0.125 B.0.25 C.0.5 D.0.4 18.一批产品的合格品率为 96%，而合格品中有 75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为(A).A.0.72 B.0.75 C.0.96 D.0.78 19.设有10个产品，其中 7个正品，3个次品，现从中任取 4个产品，则这 4个都是正品的概率为(C).A.710B.44710C.47410CCD.4 71020.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取 3次，每次任取 1个，取后放回，则取到的 3个产品都是正品的概率为(C).A.810B.38310CCC.33810D.
6、38310C21.某人打靶的命中率为 0.4，现独立地射击 5次，则5次中恰有 2次命中的概率为(C).A.20.4B.30.6C.22350.4 0.6CD.23250.4 0.6C22.随机地抛掷质地匀称的 6枚骰子,则至少有一枚骰子出现 6点的概率为(D).A.1561 5()6 6CB.1561 51()6 6CC.1565 1()6 6CD.651()623.把3个不同的球分别放在 3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A).A.19B.12C.23D.1324.从1,2,3,4,5,6 六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到4 的4个数字完全不同的概率为(A).
7、A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0p1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为(D).A.p2B.(1-p)2C.1-2pD.p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有 6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35.2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16.3.设袋中有 5个红球、3个白球和 2个黑球，从袋中任取 3个球，则恰好取到 1个红球、1个白球和 1个黑球的概率为0.25.4.从数字 1，2，10中有放回地任取 4个数字，则数字 10恰好出现两次的概率为0
8、.0486.5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是 0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94.6.甲袋中装有两白一黑共 3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取 一 球 放 入 乙 袋 中，再 从 乙 袋 中 任 取 一 球，则 取 到 白 球 的 概 率 为5/12.7.设事件 A与B互不相容，P(A)=0.2,P(B)=0.3,则()P ABU=0.5.8.设 事 件 A 与 B 相 互 独 立，且 P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,则 P(B)=0.5.9.设()0.3,(|)0.6P AP B A，则P(AB)=0.42.10.设11()
9、()(),()(),()046P AP BP CP ABP ACP BC，则P(A+B+C)=5/12.5 11.已知P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则()P AB=0.6.12.某射手对一目标独立射击 4次，每次射击的命中率为 0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为0.25.13.已知P(A)=0.4,P(B)=0.8,P(B|A)=0.25,则P(A|B)=0.125.14.设111(),(|),(|)432P AP BAP A B，则()P ABU=1/3.15.一批产品的废品率为 4%，而正品中的一等品率为 60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为0.576.16.甲、乙
10、两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为 0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为0.7.三、计算题1.设P(A)=0.4,P(B)=0.2,(|)0.3P B A,求P(AB)以及P(A|B).解:由(|)0.3P BA得:()0.3,()P ABP A即()()0.31()P BP ABP A,解得:P(AB)=0.02.从而,()0.02(|)0.1()0.2P ABP A BP B.2.已知,()0.2,()0.3,AB P AP B求：(1)(),()P AP B；(2)P(AB)；(3)()P AB；(4)()P ABU；(5)P(B-A).(1)由概
11、率的性质，知()1()0.8,P AP A()1()0.7P BP B；(2)因为AB，所以ABA，P(AB)=P(A)=0.2；(3)()P AB=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0；(4)因为AB，所以 ABBU,()P ABU=P(B)=0.3；或者，()P ABU=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；6 3.若事件 A与B互不相容，P(A)=0.6,P(A+B)=0.9,求：(1)()P AB；(2)(|)P A B；(3)()P AB.解:(1)因A与B互不相容，故 AB，P(AB)=0，所以()P AB=1-P(AB)=1；(2
12、)因A与B互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=0.3，从而(|)P A B=()()()0.661()0.77()P ABP AP ABP BP B；(3)()P AB=1()1()1 0.90.1P ABP AB.4.已知事件 A与B相互独立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)P(B)；(2)()P AB；(3)P(A|B).解：(1)因为事件 A与B相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)，()()()()()()()()P ABP AP BP ABP AP BP A P B0.6=0.4+P(B)-0.4P(B)，解得：P(B)=13；
13、(2)因为事件 A与B相互独立，所以A与B也相互独立，故()P AB=4()()15P A P B；(3)因为事件 A与B相互独立，所以 P(A|B)=P(A)=0.4.四、应用题1.一批产品共有 50个，其中 40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求 3个产品中至少有 2个产品等级相同的概率.解：设A“3个产品中至少有 2个产品等级相同”，A“3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得111406435012()0.049245C C CP AC，从而()10.0490.951P A.2.10把钥匙中有 3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A“取出 2把钥匙
14、能打开门”，由古典概率知：1123732108()15C CCP AC.7 3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这 4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A“4只鞋子中至少能配成一双”，则A“4只鞋子都不同”.由古典概率得：41111522224108()21C C C C CP AC，故13()1()21P AP A.4.从0，1，2，3这4个数中任取 3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A“排成的数是三位数且是偶数”，A0“排成的三位数末位是0”，A2“排成的三位数末位是 2”，则 A=A0+A2，且A0与A2互不相容，因为230342!1(),3!4
15、CP AC11222341(),3!6C CP AC所以，015()()()12P AP AP A.5.一批零件共 100个，次品率为 10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设 Ai“第i次取到合格品”（i=1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为：12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A AP A P AA P AA A.(2)A“三次内取得合格品”，则112123AAA AA A A，所求概率为：112123()()(
16、)()P AP AP A AP A A A1121121312()()(|)()(|)(|)P AP A P AAP A P AA P AA A901090109901001009910099980.9993.6.盒子中有 8个红球和 4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1)两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A1“第一次取出的是红球”，A2“第二次取出的是红球”，则8(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：121218714()()(|)121133P A AP A P AA；(2)在第
17、一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11P AA；(3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：2121121()()(|)()(|)P AP A P AAP A P AA7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设Ai“第i台设备生产的零件”(i=1，2)，B“产品是废品”，由题意知：P(A1)=25%，P(A2)=35%，P(A3)=40%，P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)
18、=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：112233()()(|)()(|)()(|)P BP A P B AP AP B AP A P B A25%0.05 35%0.0440%0.020.0345.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.解：设 B“零件是合格品”，A“第一台车床加工的零件”，则A“第二台车床加工的零件”，由题意知：21(),()33P AP A.(1)
19、由全概率公式得：()()(|)()(|)P BP A P BAP A P B A21(10.03)(10.02)0.97333；(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P ABP A P B AP A BP BP B9 9.已知 5%的男人和 0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设 B“色盲患者”，A“随机挑选一人是男人”
20、，由题设知：11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P AP AP BAP B A，则(1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：()()(|)()(|)P BP A P BAP A P BA115%0.25%0.0262522；(2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P ABP A P B AP A BP BP B；(3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P ABP A P BAP A BP BP B.10.现有10
21、张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.解：设 A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915P ABP A P BA；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：10 644()()(|)10915P ABP A P BA；(3)甲乙丙都抽到难签的概率为：4321()()(|)(|)109830P ABCP A P B A P CAB；(4)由古典概率知，甲抽到
22、难签的概率为：4()0.410P A.由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)P BP A P BAP A P BA43640.4109109.丙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)()(|)()(|)P CP AB P CABP AB P CABP AB P CABP AB P CAB4326434636541098109810981098=0.4.得，P(A)=P(B)=P(C)=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人
23、击中，飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设Ai表示“三人中恰有 i人击中飞机”，i=0，1，2，3.B“飞机被击落”.A0,A1,A2,A3构成完备事件组，且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A，1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(1 0.5)0.70.36P A,2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A,3()0.40.50.70.14P A.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P BAP B AP B
24、AP B A.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P BP AP B AP A P BAP AP BAP AP B A0.09 00.36 0.20.41 0.60.14 10.458.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.11 解：设Ai表示“三人中恰有 i人击中飞机”，i=0，1，2，3.B“飞机被击落”.A0,A1,A2,A3构成完备事件组，且由贝努里公式得：00303()0.60.40.064P AC，1213()0.6 0.40.288P AC，2223()0.60
25、.40.432P AC，3333()0.60.216P AC.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P BAP B AP BAP B A.故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：30()()(|)iiiP BP A P B A0.064 00.288 0.2 0.432 0.60.216 10.532813.已知一批产品中有 95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为 0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.解：设A“产品是合格品”，B
26、“经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P(A)=95%,()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P AP BAP B A.则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：()()(|)()(|)P BP A P BAP A P BA95%0.98 5%0.030.9325；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：()0.950.98(|)0.9984()0.9325P ABP A BP B.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为 0.8，第三台为 0.7，且三台机床是否需要看
27、管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.12 解：设 Ai“第i台机床需要看管”，i=1，2，3.“三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A AA A AA A AA A A，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为：123123123123()P A A AA A AA A AA A A123123123123()()()()P A A AP A A AP A A AP A A A123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P AP A P A P AP A P AP AP A
28、P A P A0.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.30.9 0.8 0.70.90215.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是 2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设Ai“第i道工序加工出次品”，i=1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A1+A2+A3，且A1，A2，A3相互独立，从而123,A AA 也相互独立.所求概率为：123123123(+)1()1()()()P AAAP A A AP A P A P A1(12%)(13%)(15%)0.09693.16.甲、乙、丙三人独立地
29、破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.解：设 A，B，C分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且 A，B，C相互独立，从而,A B C 也相互独立，故所求概率为：(+)1()1()()()P A B CP ABCP A P B P C1(10.4)(10.6)(10.7)0.928.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设 A，B分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：13()
30、0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P AP BP AP B.(1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P ABP A P B；(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：()()()()P ABABABP ABP ABP AB()()()()()()P A P BP A P BP A P B0.8 0.30.2 0.70.2 0.30.44；(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：()()()()()()()()P ABP AP BP ABP AP BP A P BU0.80.70.8 0.70.94.18.一批产品有 70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取
31、5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有 2件一级品的概率 p1；(2)取出5件样品中至少有 2件一级品的概率 p2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p3.解：该问题是参数p=0.7 的 5 重贝努里试验，由贝努里公式得：(1)取出 5 件样品中恰有 2 件一级品的概率 p1=22350.70.30.1323C；(2)取出 5 件样品中至少有2 件一级品的概率为：p2=55520.70.3kkkkC=005145510.70.30.70.30.96922CC；(3)取出 5 件样品中至少有一件一级品的概率为：p3=55510.70.3kkkkC=005510.70.30.99757C.
32、19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081,求射手射击一次命中目标的概率.解：设射手射击一次命中目标的概率为p，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p，由题设知：14 4801(1)81p，解得：23p.20.一射手对一目标独立地射击,每次射击命中率为p,求射击到第 4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第 4 次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：12223(1)3(1)PpC pppp.五、证明题1.设0P(B)0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A BPBPB；(2)若A与B互不相
33、容，()0P C，则(|)(|)(|)P AB CP A CP B CU；(3)(|)1(|)P A BP A B.证：(1)因为()(|)()P ABP A BP B，而0()()P ABP B，所以，0(|)1P A B，15 且()()(|)1()()PBP BPBP BP B，()()(|)0()()PBPPBP BP B；(2)若 A 与 B 互不相容，则 AC 与 BC 也互不相容，从而()()()(|)(|)(|)()()P ACBCP ACP BCP AB CP A CP B CP CP CUU；(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P AA BP A BP A BU，又AA
34、U，由性质(1)知，(|)1PB，所以，(|)(|)1P A BP A B，即(|)1(|)P A BP A B第二章 随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量 X 的分布律为则P X1=(C).A.0 B.0.2 C.0.3 D.0.5 2.设随机变量 X 的概率分布为则a=(D).A.0.2 B.0.3 C.0.1 D.0.4 3.设 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为2,1(),0,1cxf xxx则 常 数c=(D).X 0 1 2 P 0.3 0.2 0.5 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 a16 A.1B.12C.-12D.1 4.设 随 机 变 量X
35、的 概 率 密 度 为3,01(),0,axxf x其它则 常 数a=(D).A.14B.12C.3 D.4 5.下 列 函 数 中 可 作 为 某 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 的 是(A).A.2100,1000,100 xxxB.10,00,0 xxxC.1,020,x其它D.113,2220,x其它6.设函数()f x在区间,a b上等于 sin x，而在此区间外等于0；若()f x可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间,a b为(A).A.0,2B.0,C.,02D.30,27.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是(C).A.0,00.3,01()0
36、.2,121,2xxF xxxB.0.5,0()0.8,011,1xxF xxxC.0,00.1,05()0.6,561,6xxF xxxD.0,2()sin,021,0 xF xxxx8.设()F x是随机变量 X 的分布函数，则(B).A.()F x一定连续B.()F x一定右连续C.()F x是不增的D.()F x一定左连续17 9.设()()F xP Xx是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D).A.()F x是定义在(,)上的函数B.lim()lim()1xxF xF xC.()()()P aXbF bF aD.对一切实数 x，都有 0()F x3=(A).A.0.0016
37、 B.0.0272 C.0.4096 D.0.8192 15.设随机变量 XN(1，4)，Y=2X+1，Y(C).A.N(1,4)B.N(0,1)C.N(3,16)D.N(3,9)16.设2(,)XN，()x是 N(0,1)的分布函数，则()P aXb=(D).A.()()baB.()()baX 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 X-1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 18 C.22()()baD.()()ba17.设 XN(-1，4)，()x是 N(0,1)的分布函数，则 P(-2X0)=(A).A.12()12B.(0)(2)C.1(2)2D.(2)(0)
38、18.设 XN(0，1)，()x是 X 的概率密度函数，则(0)(C).A.0 B.0.5 C.12D.1 19.设 X 服从均匀分布 U0，5，Y=3X+2，则 Y 服从(B).A.U0,5 B.U2,17 C.U2,15 D.U0,17 20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有 0.1 的中奖率.现某人购买了 20 件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为(D).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21.设 X 服从参数2的泊松分布，()F x是 X 的分布函数，则下列正确的选项是(B).A.2(1)FeB.2(0)FeC.P(X=0)=P(X=1)D.2(1)2
39、P Xe22.设 X 服从参数的泊松分布，且2(1)(3)3P XP X，则=(C).A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题1.若2()1P Xx,1()1P Xx,其 中 x10时,X的概率密度()f x=1.8.设随机变量 X的分布律为则(01)PX=0.6.9.设随机变量 XN(3,4),则(45)PX0.148.(其中(1)0.8413,(0.5)0.6915)10.设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 6 的 泊 松 分 布,写 出 其 概 率 分 布 律P(X=K)=6K/K!K=0，1，2，3.11.若随机变量 XB(4,0.5),则(1)P X=15/16.12.若随
40、机变量 XU(0,5),且Y=2X,则当010y时,Y的概率密度()Yfy=1/10.13.设随机变量 XN(0,4)，则(0)P X=0.5.14.设随机变量 XU(-1,1)，则1(|)2PX=0.5.15.设随机变量 X在2,4上服从均匀分布，则(23)PX=0.5.X 0 1 2 P 0.4 0.2 0.4 20 16.设随机变量 XN(-1,4)，则12XYN(0，1).17.设随机变量 X的分布律为(),0,1,2,.3kaP Xkk，则a=2/3.18.设 连 续 型 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为1,02()0,kxxf x其它，则 k=-1/2.19.若随机变量 X
41、N(1,16)，Y=2X-1，则Y N(1，64).20.若随机变量 XU(1,6)，Y=3X+2，则Y U(5，20).三、计算题1.设连续型随机变量 X的分布函数为20,0(),011,1xF xxxx，求X的概率密度函数.解：由分布函数与概率密度函数之间的关系()()Fxf x知，当 0 x1时，2()()2f xxx，当1x或0 x时，()f x=0，所以，X的概率密度为2,01()0,xxf x其它.2.设X服从参数 p=0.2的0-1分布，求 X的分布函数及 P(X0.5).解：X的分布律为当0 x时，()()F xP Xx=0；当01x时，()()F xP Xx=(0)0.8P
42、X；当1x时，()()F xP Xx=(0)(1)0.80.21P XP X.所以，X的分布函数为0,0()0.8,011,1xF xxx；而P(X0.5)=P(X=0)=0.8.X 0 1 P 0.8 0.2 21 3.设随机变量 XU(a,b)，求X的密度函数与分布函数.解：X的密度函数为1,()0,axbf xba其它；分布函数()()xF xf t dt，当xa时，()()xF xf t dt00 xdt；当axb时，()()xF xf t dt10axaxadtdtbaba；当 xb时，()()xF xf t dt1001abxabdtdtdtba.所以，X的分布函数为0,(),1,
43、xaxaF xaxbbaxb.4.设随机变量 XN(3,4)，求：(1)P(2X3)；(2)P(-4X2)；(4)P(X3).解：(1)P(2X3)=3323(3)(2)()()22FF(0)(0.5)(0)1(0.5)=0.1915；(2)P(-4X2)=1(|2)PX=1(22)1(2)(2)PXFF=23231()()22=(0.5)(2.5)1=0.6977；(4)P(X3)=1(3)P X=331(3)1()1(0)2F=0.5.5.已知随机变量 X的密度函数为2,01()0,kxxf x其它，求：(1)常数 k；(2)分布函数；(3)(10.5)PX.22.解：(1)因为()1f
44、x dx，所以123 100|133kkkx dxx，故k=3.即随机变量 X的概率密度为23,01()0,xxf x其它；(2)当0 x时，()()xF xf t dt=0，当01x时，()()xF xf t dt=023003xdtt dtx，当1x时，()()xF xf t dt=012010301xdtt dtdt所以，随机变量 X的分布函数为30,0(),011,1xF xxxx；(3)(10.5)PX3(0.5)(1)0.500.125FF；6.设随机变量 X的概率密度为,011(),1220,xxf xx其它，求X的分布函数.解：当0 x时，()()xF xf t dt=0；当0
45、1x时，()()xF xf t dt=020102xdttdtx；当12x时，()()xF xf t dt=010111022xdttdtdtx；当2x时，()()xF xf t dt=01201210012xdttdtdtdt.所以，随机变量 X的分布函数为20,01,012()1,1221,2xxxF xxxx.7.设随机变量 X,01()2,120,xxf xxx其它，求：(1)1()2P X；(2)13()22PX.23 解：(1)1()2P X=+1211122()(2)f x dxxdxx dx=2 122112117|(2)|228xxx；(2)13()22PX=33122111
46、22()(2)f x dxxdxx dx=32 122112113|(2)|224xxx.8.设随机变量 X在0，5上服从均匀分布，求方程24420 xXxX有实根的概率.解：X1,05()50,xf x其它，而方程24420 xXxX有实根的充分必要条件是21616(2)0XX，即220XX，故所求概率为：220(1)(2)P XXP XP X=0+5215dx=0.6.9.设随机变量 X的分布律为求：(1)Y=2X的分布律；(2)Z=|X|的概率分布；(3)X2的分布律.解：(1)由X的分布律知，Y的取值为-2，0，2，4.且(2)(1)0.1P YP X，(0)(0)0.2P YP X，
47、(2)(1)0.3P YP X，(4)(2)0.4P YP X.所以，Y的分布律为(2)Z=|X|的取值为 0，1，2.2(0)(0)0.2P XP X，2(1)(1)(1)0.4P XP XP X，2(4)(2)0.4P XP X.X-1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y-2 0 2 4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 24 所以，X2的分布律为：10.设XU0，4，Y=3X+1，求Y的概率密度.解：X1,04()40,xfx其它，Y=3X+1的取值范围是 1，13.Y的分布函数131()()(31)()()3yYyFyP YyPXyP Xfx dx当1y时，有103y
48、，13()00yYFydx；当113y时，有1043y，103011()0412yYyFydxdx；当13y时，有143y，1043041()0014yYFydxdxdx.11.已知随机变量 XN(1，4)，Y=2X+3，求Y的概率密度.解：X2(1)81(),()2 2xf xex，建立 Y的分布函数与 X的分布函数之间的关系.因为：33()()(23)()()22YXyyFyP YyPXyP XF，两边对 y求导：3313()()()()2222YXXyyyfyFf223(1)(5)2832114 24 2yyee，即YN(5，16).12.已知X服从参数1的指数分布，Y=2X-1，求Y的
49、概率密度.X20 1 4 P 0.2 0.4 0.4 25 解：由题设知，X,0()0,0 xexfxx，方法 1 11()()(21)()()22YXyyFyP YyPXyP XF，两边对 y求导：1111()()()()2222YXXyyyfyFf，又因为12121,012,1()210,10,02yyXyeyeyfyy，所以，Y的概率密度为：121,1()20,1yYeyfyy.四、应用题1.一批零件中有 10个合格品和 2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量 X的分布律；(2)随机变量 X的
50、分布函数.解：(1)随机变量 X的可能取值为 0，1，2，且105(0)126P X，2105(1)121133P X，21101(2)12111066P X，得到X的分布律为：(2)X的可能取值 0，1，2将分布函数 F(x)的定义域(,)分为四部分：当0 x时，()()0F xP Xx，当01x时，()()F xP Xx5(0)6P X，当12x时，()()F xP Xx65(0)(1)66P XP X，当2x时，()()F xP Xx(0)(1)(2)1P XP XP X.从而得到 X的分布函数为：X 0 1 2 P 5653316626 0,05,016()65,12661,2xxF