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1、20082009 学年 第 1 学期概率论与数理统计(46 学时)A一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。1、AB、为两个随机事件，若()0P AB，则（A）AB、一定是互不相容的；（B）AB 一定是不可能事件；（C）AB 不一定是不可能事件；（D）()0P A或()0P B.2、二维离散型随机变量(,)X Y的分布律为(,)F x y为(,)X Y的联合分布函数，则(1.5,1.5)F等于（A）1/6；（B）1/2；（C）1/3；（D）1/4.3、XY、是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若()E XYEXEY,则 XY、独立；（B）若 XY、不独立,则 XY、
2、一定相关；（C）若 XY、相关,则 XY、一定不独立；（D）若()D XYDXDY,则 XY、独立.YX0 12 1 1/6 1/3 0 2 1/4 1/6 1/12 4、总体2212(,),nXNXXXL均未知，为来自 X 的一个简单样本，X为样本均值，2S为样本方差。若的置信度为 0.98的置信区间为(,)XcSn Xc Sn，则常数c为（A）0.01(1)tn；（B）0.01()tn；（C）0.02(1)tn；（D）0.02()tn.5、随机变量12,nXXXL独立且都服从(2,4)N分布，则_11niiXXn服从（A）(0,1)N；（B）(2,4)Nn；（C）(2,4)Nnn；（D）4
3、(2,)Nn.二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。6、已知AB、为两个随机事件，若()0.6,()0.1,P AP AB则(|)P A AB=1.7、已知随机变量 X 服从区间(0,2)上的均匀分布，则(2)EX=（）.8、已知连续型随机变量X的概率密度函数为2,01()0,xxf x其它，则概率(|1 2)PX=（）.9、随机变量12(3,),(3,)33XbYb:,且,X Y独立，则()D XY=（）.10、已 知 随 机 变 量,1,2,3iXi相 互 独 立，且 都 服 从(0,9)N分布，若 随 机 变 量2222123()(3)Ya XXX:，则常数 a=
4、（）.三、解答题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60分）。11、已知一批产品中有 95%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率为 0.04，一个次品被判为合格品的概率为0.02，从这批产品中任取一个产品，求其被判为合格品的概率。12、已知离散型随机变量X 的分布律为X-1 0 1 P2a1414a（1）求常数a；（2）求 X 的分布函数()F x.13、设连续型随机变量X的分布函数为：10()2,0 xxexF xBAex，（1）求常数,A B；（2）求X的概率密度函数()f x.14、二维连续型随机变量(,)X Y的概率密度函数为,01,|(,)0,axyxf x y
5、其它，（1）求常数a；（2）求概率2()P XY.15、某种清漆的干燥时间（单位：小时）2(8,)XN:,0，且由以往观测的数据可知，此种清漆的干燥时间在8 至 10小时之间的概率为0.2881，已知(0.8)0.7881，（1）求的值；（2）求此种清漆的干燥时间不超过6 小时的概率。16、总体 X 的概率密度函数为22,0()0,xxexf x其它，其中0是未知参数，12,nXXXL是来自 X 的一个简单样本，求的最大似然估计量.四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）。17、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为,0()0,xexf x其它，若随机变量1,10,121,2XYXX,求 EY
6、.五、证明题（本大题共1 个小题，5 分）。18、随机变量,X Y都服从(0-1)分布，即 X 的分布律为11011pp,Y 的分布律为22011pp,其中120,1pp.证明：XY、不相关是 XY、独立的充要条件。20092010 学年 第 1 学期概率论与数理统计A卷一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。1、抛两颗均匀骰子，若已知两骰子出现的点数和为5，则其中有一颗骰子出现的点数是 3 的概率为（A）1/9；（B）1/2；（C）1/18；（D）1/4.2、事件 AB、独立，且()0P B，则下列命题不正确的是（A）A B_、独立；（B）A B_、独立；（C）_(
7、)()P A BP A|；（D）_()()P A BP B|.3、设随机变量 X 的分布函数为()F x，则()P Xa等于（A）()F a；（B）_()F a；（C）0；（D）_()()F aF a.4、随机变量 XY、相互独立，且(1,1)XN:，(3,2)YN:，则(32)DXY等于（A）3；（B）7；（C）11；（D）14.5、设总体(0,1)XN:，1234XXXX，是来自 X 的一个简单样本，若122234()(2)a XXtXX:，则常数a是（A）1；（B）2；（C）1/2；（D）12.二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。6、已知离散型随机变量X 的分布
8、律为10120.20.30.10.4XP，则概率(21)PX=（）7、若二维随机变量(,)X Y服从区域(,):01,02x yxy上的均匀分布，则(,)X Y的联合密度函数(,)f x y=（）8、XY、为两个随机变量，且 31XY，则XY（）9、一系统由100 个独立工作的部件构成，各个部件损坏的概率都为0.1，已知必须有87 个以上的部件完好，才能使整个系统正常工作。由中心极限定理，整个系统不能正常工作的概率近似为（）.（已知(1)0.8413）.10、已知某木材横纹抗压力2(,)XN:（单位：公斤/平方厘米），现随机抽取 X 的一个容量为9 的样本，测得样本均值_457.5x，样本标准
9、差30.3s，则的置信度 为 0.95的 置 信 区 间 为（）（已 知0.025(8)2.31t，0.025(9)2.26t，0.05(8)1.86t）.三、解答题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。11、某工厂有三种机床：钻床、磨床和刨床，它们的台数之比为5：3：2，它们在一定的期限内需要修理的概率分别为0.1，0.2，0.3.期限到后，随机抽检一台机床，发现其需要修理，求这台机床为钻床的概率。12、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为2,01()2,120,axxf xxx其它，（1）求常数a；（2）求概率(1 23 2)PX.13、已知连续型随机变量X的分布函数为0
10、,0()01/9,1/9xF xA xxBx，（1）求常数,A B；（2）求概率(01 16)PX；（3）求X的概率密度函数()f x.14、已知二维连续型随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为26,01,1(,)0,xyyyxfx y其它，（1）求概率()P XY；（2）求出边缘密度函数(),()XYfxfy，并判断,X Y是否相互独立。15、已知二维离散型随机变量(,)X Y的联合分布律为（1）分别求出(,)X Y关于 XY、的边缘分布律；（2）求(,)Cov X Y.YX-1 0 1 2-1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.1 0.15 0 0.05 1 0.05 0.05
11、 0.15 0.15 16、已知总体 X 的概率密度函数(5),5()0,5xexf xx，其中0是未知参数，12,nXXXL是来自总体X的一个简单样本,求的最大似然估计量.1ln()ln(5).(5)niiLnx对数似然函数11ln()0(5)0.(8).(10)(5)niiniidLnxdnX令的最大似然估计量四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）.17、过点(0,)b随机作一条直线，Y 表示坐标原点到所作直线的距离，求EY.五、证明题（本大题共1 个小题，5 分）。18、X 为连续型随机变量，随机变量XYe,0,若 EY 存在，证明：对任何实数a，都有()()aXP XaeE e.20
12、112012 学年 第 1 学期概率论与数理统计A卷一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）.1.设,A B为两个随机事件，其中0()1P B，若(|)=(|)P A BP A B,则必有（A）AB事件；（B）A B事件,互不相容；（C）BA事件；（D）A B事件,相互独立.2.设随机变量 X 的分布函数为0,01 2,01()2 3,131,3xxF xxx，则(1)P X等于（A）2/3；（B）1/2；（C）1/6；（D）0.3.设 X 服从区间(0,5)上的均匀分布，则关于t 的一元二次方程24420tXtX有实根的概率为（A）0.6；（B）0.4；（C）0；（D
13、）1.4.随机变量 X 和 Y 独立同分布，方差存在且不为0.记UXY,VXY,则 (A)U 和V一定不独立；(B)U 和V一定独立；(C)U和V一定不相关；(D)以上选项都不对.5.总体 X 的分布为(0,1)N，15,XXL为取自 X 的简单样本，则下列选项 不正确 的是(A)122252(4)XtXXL；(B)22212322452(2,3)3XXXFXX；(C)15(0,1)5XXNL；(D)222231()(2)2XXX.二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）.6设,A B为随机事件，()0.5,()0.2P AP AB，则()P AB=（）.7.设连续型随机变
14、量X 的分布函数为0,1()(arcsin2),111,1xF xkxxx，则常数 k=（）.8已知,X Y相互独立,4,1DXDY,则(2)DXY=（）.9随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数，从抽取的样本算得样本均值25.5x，样本标准差2.4s.设香烟中尼古丁含量的分布是正态的，则总体均值的置信度为 95%的置信区间为（）（已知0.025(16)2.1199t，0.025(15)2.1315t，0.05(15)1.7531t）10 某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为50 元 若车丢失，则得赔偿车主1000元假设车的丢失率为1 25.由中心极限定
15、理，保险公司这年亏损的概率为（）（已知(1.25)0.8944,(2.5)0.9938）三、计算题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60 分）.11某商店购进甲厂生产的产品20 箱,乙厂生产的同种产品15 箱,其中甲厂每箱装有一等品 74 个，二等品 6 个；乙厂每箱装有一等品95 个，二等品 5 个.从这 35 箱中任取一箱,从中任取一个，(1)求取到二等品的概率；(2)若取到二等品，问这个二等品来自甲厂的概率12 设随机变量 X 的概率密度函数为,01()0,baxxf x其它,且(1 2)1 8P X，求：（1）常数,;a b（2）设2 XYe，求 Y 的概率密度函数()Yfy.
16、13.二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为：24,01,0(,),0,xxyxf x y其它求：（1）2()P YX；（2）(,)X Y关于 X 的边缘密度函数()Xfx；（3）条件概率(1 8|1 4)P YX.14.设随机变量 Y 在区间(0,3)上服从均匀分布，随机变量0,1,21,kYkXkYk.求：（1）12(,)XX的联合分布律；（2）12(,)XX的相关系数12X X.15.据以往经验，某种能力测试的得分服从正态分布(62,25)N，随机抽取 9 个学生参与这一测试，他们的得分记为19,XXL，设9119iiXX.（1）求(|62|2)PX；（2）若得分超过 70 分就能得奖
17、，求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数()表示)16设总体 X 的概率密度函数为)(xf=1,00 xex,其它，其中(0)是未知参数.设1,nXXL为该总体的一个容量为n的简单样本.（1）求的最大似然估计量$；（2）判断$是否为的无偏估计量.四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）.17设随机变量 X 在区间,-上服从均匀分布，求min(|,1)EX.五、应用题（本大题共1 个小题，5 分）.18.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周 5 个工作日里无故障，可获利润10 万元；发生一次故障仍可获利润5 万元；发生二次故障所获利润0
18、万元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元.求这部机器在一周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）.20082009 学年 第 1 学期概率论与数理统计(46 学时)A 卷评分标准一、单项选择题1（C）2（B）3（C ）4（A ）5（D ）二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。6、1.7、2.8、1 4.9、43.10、1 9.三、解答题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60分）。11、解：1:A取到合格品；2:A取到次品；:B 被判为合格品。1122()(|)()(|)().(5)(1 0.04)95%0.02 5%.(9)0.913.P BP B A
19、 P AP B A P A.(10)12、解:（1）由分布律的性质可得112()1.(4)44aa1.(5)6a（2）由（1）知 X 的分布律为X-1 0 1 P1314512.(6)由分布函数的定义可得0,11,103()().(10)7,01121,1xxF xP Xxxx13、解：（1）由分布函数性质：(0)(0)1 2.(2)()11.(4)FFBAFB因此可得1/2,1.(5)AB（2）代入,A B的值，可得102().(6)11,02xxexF xex，故10()2().(10)1,02xxexdF xf xdxex，14、解：（1）由题意10(,)11.(3)xxR Rf x y
20、 dxdyadxdy可以得到10211.(5)axdxa（2）把1a代入密度函数22211200()(,).(7)().(9)1.6xyxxP XYf x y dxdydxdyxxdx.(10)15、解：（1）由题意888108(810)0.28810.2881.(2)XPXP即22(0)0.28810.7881.(4)2.5.(5)（2）所求概率8682(6).(8)210.2119.(10)XP XP16、解：221().(2)ixniixLe似然函数为2111ln()lnln.(4)2nniiiiLxnx对数似然函数22121ln()100.(8)2.(10)2niiniidLnxdxn
21、令的最大似然估计量四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）。17、解：由数学期望的定义121021(1)0(12)1(2)(1)(2).(3)1.(5)xxEYP XPXP XP XP Xe dxe dxee五、证明题（本大题共1 个小题，5 分）。18、证明：必要性：若XY、独立，显然 XY、不相关；.(1)充分性：若 XY、不相关，则有()E XYEXEX,又()(1)(1,1)E XYP XYP XY，(1)(1)EXEYP XP Y从而12(1,1)(1)(1).(3)P XYP XP Yp p由此可得(,)X Y的联合分布律为YX0 1 0 12(1)(1)pp12(1)pp.(4)
22、因此，由离散型随机变量独立的定义可得XY、独立。.(5)20092010 学年 第 1 学期概率论与数理统计A卷评分标准一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。1（B）2（D）3（D）4（C）5（A）二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。6、0.5.7、1/2,01,020,xy其它.8、-1.9、0.1587.10、(434.169,480.831)三、解答题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。11、解：设:B 此机床需要修理；1:A取到钻床；2:A取到磨床；3:A取到刨床,所求概率111131()(|)()(|).(6)(
23、)(|)()50.110.(9)5320.10.20.31010105 17.iiiP A BP B A P AP A BP BP B A P A.(10)12、解：（1）由密度函数的性质()1.(2)f x dx即122011(2)11.(4)32aax dxx dx故3 2.(5)a（2）由题意1 21(1)pp12p p32123122112(1 23 2)().(7)3(2).(9)213 16.PXf x dxx dxx dx.(10)13、.解：（1）由分布函数的性质(1 9)(19)3.(1)()11.(2)FFABFB因此可得3,1.(3)AB（2）由分布函数的性质(01 16
24、)(116)(0)3 4.(6)PXFF（3）由密度函数的定义1 2310()().(10)290,xxdF xf xdx，其它14、解：（1）由题意2113500()(,).(2)63().(4)1.4xyyyP XYf x y dxdydyxydxyy dy.(5)（2）由题意203,016,01().(7)0,0,xXxxxydyxfx其它其它2146,013(1),01().(9)0,0,yYxydxyyyyfy其它其它因(,)()()XYfx yfx fy，故,X Y不独立.(10)15、解：（1）由题意(,)X Y关于 X 的边缘密度函数为101.(2)0.30.30.4XP(,)
25、X Y关于 Y 的边缘密度函数为1012.(5)0.250.250.20.3YP（2）由（1）可得0.1,0.55.(7)EXEY又 XY 的分布律为210120.1 0.10.40.250.15，故()0.25.(9)E XY因此(,)()0.195.(10)Cov X YE XYEXEY16、解：(5)1().(3)inxiLe似然函数为1ln()ln(5).(5)niiLnx对数似然函数11ln()0(5)0.(8).(10)(5)niiniidLnxdnX令的最大似然估计量四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）.17、解：设随机直线和X 轴正向的夹角为，则(0,).(2)U:坐标原点
26、到直线的距离|cos|.(3)Yb故0|2|(|cos|)|cos|.(5)bbEYEbd五、证明题（本大题共1 个小题，5 分）。18、证明：设 X 的概率密度函数为()f x，则()().(1)()().(4)().x axaxax aaXP Xaf x dxef x dxeef x dxeeE e.(5)20102011 学年 第 2 学期概率论与数理统计A卷评分标准一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。1（C ）2（A ）3（D ）4（B ）5（C ）二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。6、0.58.7、1/9.8、20.9、-1.10
27、、（1.57711，2.83289）.三、计算题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。11、解：设 B:某保险人在一年中没出事故；iA:保险人为第 i 类人,1,2,3i，则所求概率为111131()(|)()(|).(6)()(|)()0.95 20%.(9)0.95 20%0.85 50%0.7 30%38 165.iiiP A BP B A P AP A BP BP B A P A.(10)12、解：（1）由密度函数的性质221111(12)().(4)1.(5)xPXf x dxedxe（2）由数学期望的定义221211().(10)3XxxE eeedxe13、解：（
28、1）由分布函数的性质+(0)(0)101.(3)FFAA（2）由分布函数的性质13(13)(3)(1)24.(6)PXFFee（3）由密度函数的定义,0()().(10)0,xxexdF xf xdx其它14、解：（1）由题意22120(,)|1230()(,)6(1).(2)6(2)1 2.(3)yyx yxyP XYf x y dxdyy dydxyyydy（2）由题意126(1),013(1),01().(5)0,0,xXy dyxxxfx其它其它06(1),016(1),01().(7)0,0,yYyyyy dxyfy其它其它（3）|8(1),1 21111(|)(,)().(10)2
29、20,2Y XXyyfyfyf其它15、解：（1）由题意(,)X Y关于 X 的边缘密度函数为101.(3)5 125 122 12(,)X Y关于 Y 的边缘密度函数为11.(5)7 2417 24（2）由（1）可得1 4,5 12.(6)EXEY又 XY 的分布律为1013 85 125 24，故()1 6.(8)E XY因此(,)()1 16.(10)Cov X YE XYEXEY16、解：（1）(1)1().(2)niiLx似然函数为1ln()ln(1)ln.(3)niiLnx对数似然函数11ln()0ln0.(4).(5)lnniiniidLnxdnX令的最大似然估计量（2）因为(1
30、)2(2)2.(8)P Xxdx由最大似然估计的传递性，(2)P X的最大似然估计量为1ln2.(10)niinx四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）。17、解：设 L 的寿命为 X，则有12344411(180)(min,1,2,3,4180).(1)(180,180,180,180).(3)(180)1(180).iP XPX iP XXXXP XP X4.(4)1(1).(5)五、应用题（本大题共1 个小题，5 分）。18、解：设商场应购进k 公斤月饼，由题意所获得利润为,().(2)(),akkXnQQ XaXb kXmXk期望利润为221()()11()1().(4)22nmkn
31、mkE Q XQ xdxnmaxb kx dxakdxnmnmababkbman kmnm故购进anbmkab公斤月饼时，期望利润最大.(5)20112012 学年 第 1 学期概率论与数理统计A卷评分标准一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）.1（D）2（C ）3（A ）4（C ）5 B ）二、填空题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）.6.0.7.7.1.8 17.9 （24.2211,26.7789）10 0.1056三、计算题（本大题共6 小题，每小题 10 分，共 60 分）.11 解：（1）设 B:取到二等品；1A:取到甲厂生产的箱子,2A:
32、取到乙厂生产的箱子，则取到二等品的概率为1122()(|)()(|)().(3)620515.(4)8035100359 140.P BP B A P AP B A P A.(5)（2）二等品来自甲厂的概率为1111()(|)()(|).(8)()()62080352 3.(10)9 140P ABP B A P AP ABP BP B12解：（1）由密度函数的性质101 201()1.(3)1 8(1 2)bbf x dxax dxP Xax dx可得3,2.(5)ab（2）由题意223ln,18().(10)0,Yyyeyfy其它13.解：（1）由题意2212200(,):140()(,)
33、4.(3)44 5.(4)xx yyxP YXfx y dxdyx dxdyx dx（2）由边缘密度函数的定义2304,014,01().(7)0,0,xXx dyxxxfx其它其它（3）由条件概率的定义1 8|1 81 80(1 8|1 4)(|1 4).(9)(1 4,)41 2.(10)(1 4)Y XXP YXfydyfydydyf14.解：（1）由题意12(0,0)(1,2)1 3P XXP YY；12(0,1)(1,2)0P XXP YY；12(1,0)(1,2)1 3P XXP YY；12(1,1)(1,2)1 3P XXP YY.故12(,)XX的联合分布律为.(5)（2）由（
34、1）可得1122122 3,2 9;1 3,2 9;()1 3.(8)EXDXEXDXE X X故121212121212(,)()1 2.(10)X XCov XXE X XEX EXDXDXDXDX15.解：（1）由题意|62|2(|62|2).(2)5 35 32(1.2)1.(5)XPXP（2）由题意1991911(70,70).(7)1(70).(8)6270621()1(1.6)55P XXP XXPL9.(10)16解：（1）11().(2)ixniLe似然函数为11ln()ln.(3)niiLnx对数似然函数211ln()100.(4).(5)niiniidLnxdXn令的最大
35、似然估计量（2）由题意,1,.(7)iEXinL而2X1X0 1 0 1/30 1 1/31/31.(9)niiEXEn.(10)故是 的无偏估计量四、解答题（本大题共1 个小题，5 分）.17解：X 的概率密度函数为1,().(1)20,xf x其它故:|1:|110min(|,1)min(|,1)().(3)|()().(4)11222x xx xEXxf x dxxf x dxf x dxxdx1111 1 2.(5)2dxdx五、应用题（本大题共1 个小题，5 分）.18.解：假设 X 表示一周内发生故障的天数.则(5,0.2).(1)Xb因此(0)0.328P X；(1)0.410P X；(2)0.205P X；(3)10.3280.4100.2050.057.(3)P X又设 Y 为该企业在一周内的利润，则Y 的分布律为Y10 5 0 2 P0.328 0.410 0.205 0.057.(4)因此100.328+50.410+00.205+(-2)0.057=5.22().(5)EY万元