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1、1 习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 3 1 0 131113C2228g23111C3/8222g0 3 180 0 111122282.盒子里装有3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 3 0 0 0 223247C C3C35g313247C C2C35g1 0 11232
2、247C C C6C35gg21132247C C C12C35gg313247C C2C35g2 P(0 黑,2 红,2 白)=2242271CC/C35g12132247C C C6C35gg223247C C3C35g0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=.,020,20,sinsin其他yxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40yx内的概率.【解】如图 0,(3.2)4 63PXY公式 (,)(,)(0,)(0,)4 34 636FFFFX Y X Y 2 sinsinsinsinsin 0 sinsin0 sin4346362(31).4gggg题
3、3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe求：（1）常数 A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0 X1，0 Y2.【解】（1）由-(34)00(,)d ded d112xyAf x yx yAx y得A=12（2）由定义，有(,)(,)d dyxF x yf u vu v(34)340012ed d(1 e)(1 e)0,0,0,0,yyuvxyu vyx其他(3)01,02PXY12(34)380001,0212ed d(1 e)(1 e)0.9499.xyPXYx y5.设随机变量（X，Y）
4、的概率密度为f（x，y）=.,0,42,20),6(其他yxyxk（1）确定常数k；（2）求 P X1，Y3；（3）求 P X1.5；（4）求 P X+Y4.【解】（1）由性质有3 2402(,)d d(6)d d81,f x yx ykxyy xk故18R（2）131,3(,)d dP XYf x yy x130213(6)d d88kxyy x(3)11.51.5(,)d da(,)d dxDP Xf x yx yf x yx y如图1.5402127d(6)d.832xxyy(4)244(,)d d(,)d dXYDP XYf x yx yf x yx y如图 b240212d(6)d.
5、83xxxyy题 5 图6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=.,0,0,55其他yye求：（1）X 与 Y 的联合分布密度；（2）PY X.题 6 图【解】（1）因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.Xxfx其他而4 55e,0,()0,.yYyfy其他所以(,),()()XYf x y X Yfxfyg独立5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy且其他.(2)5()(,)d d25ed dyyxDP YXf x yx yx y如图0.20.2-55000-1
6、d25ed(5e5)d=e0.3679.xyxxyx7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=.,0,0,0),1)(1(24其他yxyxee求（X，Y）的联合分布密度.【解】(42)28e,0,0,(,)(,)0,xyxyF x yf x yx y其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=4.8(2),01,0,0,.yxxyx其他求边缘概率密度.【解】()(,)dXfxfx yyx204.8(2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx其他()(,)dYfyf x yx12y4.8(2)d2.4(34),01,=0,.0,yxxyyyy其他5 题 8
7、 图题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,0,其他eyxy求边缘概率密度.【解】()(,)dXfxfx yye de,0,=0,.0,yxxyx其他()(,)dYfyf x yx0e de,0,=0,.0,yyxxyy其他题 10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)d d(,)d dDf x yx yf x yx y如图2112-14=dd1.21xxcx y yc得214c.(2)()(,)dXfxfx yy6 212422121(1),11,d
8、840,0,.xxxxx y y其他()(,)dYfyf x yx522217d,01,420,0,.yyx y xyy其他11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,10,1其他xxy求条件概率密度fYX（y x），fXY（xy）.题 11 图【解】()(,)dXfxfx yy1d2,01,0,.xxyxx其他111d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yYyxyyfyf x yxxyy其他所以|1,|1,(,)(|)2()0,.Y XXyxf x yfy xxfx其他7|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X YYyxyf x yfx yyxfyy其他12.袋中
9、有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为 Y.（1）求 X 与 Y的联合概率分布；（2）X 与 Y 是否相互独立？【解】（1）X 与 Y的联合分布律如下表3 4 5 iP Xx1 3511C103522C103533C106102 0 3511C103522C103103 0 0 2511C10110iP Yy110310610(2)因61611 31,3,101010010P XP YP XYg故 X 与 Y 不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（
10、1）求关于X 和关于 Y 的边缘分布；（2）X 与 Y 是否相互独立？【解】（1）X 和 Y的边缘分布如下表2 5 8 P Y=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 iP Xx0.2 0.42 0.38Y X X Y X Y 8(2)因20.40.20.8P XP Yg0.160.15(2,0.4),P XY故 X 与 Y 不独立.14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY（y）=.,0,0,212/其他yye（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（2）设含有 a 的二次方程为a
11、2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,Xxfx其他;21e,1,()20,yYyfy其他.故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyf x y X Yfxfyg独立其他题 14 图(2)方程220aXaY有实根的条件是2(2)40XY故X2 Y，从而方程有实根的概率为：22(,)d dxyP XYf x yx y21/2001ded212(1)(0)0.1445.xyxy15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=.,0,1000,10002其他xx9 求
12、Z=X/Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数()ZXFzP ZzPzY(1)当 z0 时，()0ZFz（2）当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1)|C(1),0,0,1,2,mmn mnP Ym Xnppmn nL.(2),|P Xn YmP XnP Ym XngY X 15 eC(1),0,1,2,.!mmn mnnppnmn nngL24.设随机变量X 和 Y 独立，其中X 的概率分布为X
13、7.03.021，而 Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设 F（y）是 Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为()0.3|10.7|2G uP XYuP XYu XP XYu X0.3 1|10.7 2|2P YuXP YuX由于 X 和 Y独立，可见()0.3 10.7 2G uP YuP Yu0.3(1)0.7(2).F uF u由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g uG uF uFu0.3(1)0.7(2).f uf u25.25.设随机变量X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求Pmax X,
14、Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1,03,()30,0,3;xf xxx1,03,()30,0,3.yf yyy因为 X，Y 相互独立，所以1,03,03,(,)90,0,0,3,3.xyf x yxyxy推得1max,19PX Y.26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为1 0 1 1 0 1 a0 0.2 0.1 b0.2 0 0.1 c其中 a,b,c 为常数，且X 的数学期望E(X)=0.2,PY0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求：X Y 16（1）a,b,c 的值；（2）Z 的概率分布；（3）PX=Z.解(1)由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1 即a+
15、b+c=0.4.由()0.2E X，可得0.1ac.再由0,00.1000.500.5P XYabP YXP Xab,得0.3ab.解以上关于a，b，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1abc.(2)Z 的可能取值为2，1，0，1，2，21,10.2P ZP XY，11,00,1 0.1P ZP XYP XY，01,10,01,1 0.3P ZP XYP XYP XY，1 1,00,10.3P ZP XYP XY，21,1 0.1P ZP XY，即 Z 的概率分布为Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3)00.10.20.10.10.20.4P XZP Yb.