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1、1+2+3+100=?高斯高斯(1777177718551855）德国著名数学家德国著名数学家 得到数列得到数列 1，2，3，4，100引例一引例一 姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数：第一天：第一天：6000，第二天：第二天：6500，第三天：第三天：7000，第四天：第四天：7500，第五天：第五天：8000，第六天：第六天：8500，第七天：第七天：9000.得到数列：得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）引例三引例三，23
2、，24，25，26，23，24，25，26，得到数列得到数列姚明罚球个数的数列：姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？发现？观察观察：以上数列有什么共同特点？：以上数列有什么共同特点？从第从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。常数。高斯计算的数列：高斯计算的数列：1，2，3，4，100观察归纳观察归纳，23，24，25，26运动鞋尺码的数列运动鞋尺码的数列 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与它的前一项项起，每一项与它的前一项的差等于的差等于同一个常数同一个常数，
3、那么这个数列就叫做等差数列。这，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的个常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示。表示。递推公式：递推公式：anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）等差数列定义等差数列定义6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差公差d=1公差公差d=500公差公差d=1，2，3,100；2、常数列、常数列a，a，a，是否为等差数列是否为等差数列?若是，则公差是若是，则公差是多少多少?若不是，说明理由若不是，说明理由 想一想想一想公差是公差是0 3、数列、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列是否为等差数列?
4、若是，则公差是若是，则公差是多少多少?若不是，说明理由若不是，说明理由 不是不是 公差公差d d是每一项（第是每一项（第2 2项起）与它的前一项的项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为是正数，负数，也可以为0 0 1 1、数列数列6 6，4 4，2 2，0,-2,-40,-2,-4是否为等差数列？若是，是否为等差数列？若是，则公差是多少则公差是多少?若不是，说明理由若不是，说明理由 公差是公差是-2 已知等差数列已知等差数列an的首项是的首项是a1，公差是公差是da2-a1=dan-an-1=d(1)(1)
5、式式+(2)+(2)式式+(+(n-1)n-1)式式得得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1 1）（2 2）（3 3）（n-1n-1）通项公式通项公式 累差迭加法累差迭加法an=a1+（n-1）d即即 例例1（1）求等差数列）求等差数列8，5，2，的第的第20项项 （2）401是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？解：解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=9(5)=4,得到这个数列的通项公式为an=54（n1）由题意知，问是否存在正整数n，使得401 54（n1）成立解关于n
6、的方程，得n100即401是这个数列的第100项。8 8+(20-1)(20-1)（3 3）=-49=-49例题讲解例题讲解例2 在等差数列 a an n 中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解：由题意知，a5=10a a1+4da12=31a a1+11d解得:a a1=-2d=3即等差数列的首项为-2,公差为3点评：点评：点评：点评：利用通项公式转化成首项和公差利用通项公式转化成首项和公差利用通项公式转化成首项和公差利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解联立方程求解联立方程求解联立方程求解例 梯子的最高一级宽cm，最低一级 cm，中间还有级，各级的宽度成等差数列计算中
7、间各级的宽度n解：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，条件，a1，a，n=12.由通项公式，得由通项公式，得a a1（）（）d 即即dd因此因此a，a，a，a，a，a，a，a，a a 答答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是：梯子中间各级的宽度从上到下依次是 cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm求基本量求基本量a1和和d：根据已知条件根据已知条件列方程列方程，由，由此解出此解出a1和和d，再代入通项公式。再代入通项公式。像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解
8、的思想方法，称方程求解的思想方法，称方程思想方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评题后点评 求通项公式的关键步骤：求通项公式的关键步骤：(1)(1)已知已知a a4 4=10,a=10,a7 7=19,=19,求求a a1 1与与d.d.在等差数列在等差数列 a an n 中，中，(2)(2)已知已知a a3 3=9,a=9,a9 9=3,=3,求求d d与与a a1212.解：(1)由题意知，a4=10a a1+3da7=19a a1+6d解得:a1=11d=3即等差数列的首项为1,公差为3(2)由题意知，a3=9a a1+2da9=3a a1+8d解
9、得:a1=1d=-1所以：a12=a a1+11d1111(-1)=0 练一练练一练 我国古代算书我国古代算书孙子算经孙子算经卷中第卷中第2525题记题记有：有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？人分加三颗。问：五人各得几何？”古题今解古题今解分析分析：此题已知此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。即为五等诸侯分到橘子的颗数。点评：解等差数列有关问题时转化为解等差数列
10、有关问题时转化为 a1和和d是常用的基本方法是常用的基本方法等差数列等差数列an中，已知中，已知则则n的值为（的值为（）A.48 B.49 C.50 D.51接轨高考接轨高考（此题为（此题为20032003年全国高考题）年全国高考题）a2+a5=a1+d+a1+4d=4 ,an=a1+(n-1)d=33n=50 C在等差数列在等差数列a,A,ba,A,b中中,A A与与a,ba,b有什么关系？有什么关系？A-a=b-A解解:依题得,所以,A=(a+b)/2A为a,b的等 差 中 项 新概念新概念一个定义一个定义：an-an-1=d（d是常数是常数，n2，nN*）一个公式一个公式：an=a1+（
11、n-1）d一种思想一种思想：方程思想方程思想要点扫描要点扫描本节课主要学习：本节课主要学习：一个概念一个概念：A=a+b/2A=a+b/2如何解决如何解决课后作业课后作业1+2+3+100=?预习预习：等差数等差数列的前列的前n n项和项和 制作时间：制作时间：20102010年年10 10月月16 16日日 1.已知a1=3,2an=SnSn-1,求证：数列 是等差数列，并求出公差d.课堂练习课堂练习书上书上书上书上127127页页页页 2 2，3 3，4 4课后作业课后作业书上书上书上书上127127页页页页1 1，2 2，3 3，4 4，5 5能力提升能力提升课后思考题课后思考题课后思考题课后思考题方法二方法二 a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=da2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)dan=a1+(n-1)d等差数列等差数列的通项公的通项公式式当当n=1n=1时，等式也成立时，等式也成立。由递推公式：由递推公式：anan1=d（d是常数，是常数，n2，nN*）可得可得可得可得: