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1、第第第第2.42.4节二元节二元节二元节二元函数的函数的函数的函数的导导导导数与微分数与微分数与微分数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分一、二元函数的定义一、二元函数的定义一、二元函数的定义一、二元函数的定义二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算 三、二元函数的微分三、二元函数的微分三、二元函数的微分三、二元函数的微分1 1引例引例一、二元函数的定义一、二元函数的定义一、二元函数的定义一、二元函数的定义例例2.33 2.33 建立直圆柱体的侧面积建立直圆柱体的侧面积s s与其底半径r和高h之间的关系式
2、.由初等几何的知识就知所求的关系式为 2.2.二元函数的定义二元函数的定义 定义定义2.5 2.5 设有三个变量设有三个变量xyz ，且变量，且变量xyxy的取值范围的取值范围是平面区域是平面区域D,如果对于区域如果对于区域D内的每一个点内的每一个点P(x,y,z),变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称变量变量z z是变量是变量x,y的二元函数。的二元函数。定义域定义域而将所有函数值构成的集合称为该二元函数而将所有函数值构成的集合称为该二元函数3.3.二元函数的几何意义二元函数的几何意义 设二元函数z=f(x,y)在平面区域D上有定义，在区域D
3、上任取一点P(x,y),从而就得到空间中的一点M(x,y,z)当点P(x,y)在平面区域D上变动时，点 M(x,y,z)就会在空间中变动.因此，二元函数z=f(x,y)在空间直角坐标系中表示一张曲面 定义定义2.6 2.6 设二元函数设二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)的邻近（不包括点的邻近（不包括点)(x0,y0)有定义，如果当点（有定义，如果当点（x,y）无限接近于定点）无限接近于定点(x0,y0)时，时，二元函数二元函数f(x,y)总与确定的值总与确定的值A A无限接近，则称常数无限接近，则称常数A A为二元为二元函数函数f(x,y)当自变量当自变量x,y趋向于点趋向于点(x0,
4、y0)时的极限时的极限.记为记为 或或 4.4.二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续定义定义2.7 2.7（2 2）存在；存在；（1 1）二元函数）二元函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)及其附近有定义；及其附近有定义；则称二元函数则称二元函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处连续连续二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算定定义义2.82.8 设设二元函数二元函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的附近的附近有定义有定义.如果极限如果极限 存在，存在，则则称此极限称此极限值为值为二元函数二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处处对自变量对自变量x的偏导数的偏
5、导数 记作记作同理，可以定义二元函数对变量同理，可以定义二元函数对变量y的偏导数的偏导数1.1.偏导数的计算偏导数的计算例例2.34 2.34 设求解解 例例2.35 2.35 设求求解解 将将 例例2.36 2.36 设设求求解解2.2.高阶偏导数高阶偏导数例例2.372.37设设求求解解 所以所以3.3.复合函数的微分法复合函数的微分法例例2.38 2.38 设设求求解解 所以将其代入所以将其代入(2.17)(2.17)式即得式即得 例例2.39 2.39 设设求求解解 三、二元函数的微分三、二元函数的微分定义定义2.10 2.10 设二元函数设二元函数在点在点附近有定义，附近有定义，在点在点处的全增量处的全增量可以表示为可以表示为 其中常数其中常数与与为为的高阶无穷小量，即的高阶无穷小量，即则称函数则称函数在点在点处处可微可微，是函数是函数在点在点处的处的全微分全微分.记为记为.如果函数如果函数例例2.40 2.40 设求求解解 由全微分的公式(2.19)可得 例例2.41 2.41 设求求解解 因为因为 所以所以 复习总结：复习总结：一、二元函数的定义一、二元函数的定义一、二元函数的定义一、二元函数的定义二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算二、二元函数的偏导数运算 三、二元函数的微分三、二元函数的微分三、二元函数的微分三、二元函数的微分