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1、 八年级数学（下册）八年级数学（下册）湘教版湘教版 思考：一棵思考：一棵树树在一次在一次强强烈的地震中断裂，烈的地震中断裂，树顶树顶落在离落在离树树根根16m16m处处，研究人，研究人员员要要查查看看断痕，需要从断痕，需要从树树底开始爬底开始爬1212米至断痕米至断痕处处，你能算出你能算出这这棵古棵古树树的高度的高度吗吗？勾勾2 +股股2 =弦弦2股股勾勾勾勾较短的直角边较短的直角边称为称为股股较长的直角边较长的直角边称为称为弦弦斜边斜边称为称为弦弦直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 我国古代学者把直角三角形中我国古代学者把直角三角形中我国古代学者
2、把直角三角形中我国古代学者把直角三角形中勾股定理：勾股定理：辉煌发现辉煌发现 我国早在三千多年就知道了我国早在三千多年就知道了这个定理这个定理,人们把弯曲成直角的人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为下半部分称为“股股”。abca2+b2=c2据说古希腊数学家毕达哥拉斯在一次赴晚宴时，看着据说古希腊数学家毕达哥拉斯在一次赴晚宴时，看着由正方形瓷砖铺成的地面。他发现了一个很有趣的规由正方形瓷砖铺成的地面。他发现了一个很有趣的规律，同学们，我们也来观察一下，你能发现什么？律，同学们，我们也来观察一下，你能发现什么？等腰直角三角形ACBSA+SB=SC直角边直角
3、边直角边直角边2 2直角边直角边直角边直角边2 2+斜边斜边斜边斜边2 2=探索猜测ABC把把C“补补”成边长为成边长为7的正方形的正方形那么对于一般的直角三角形这个结论也成立吗？那么对于一般的直角三角形这个结论也成立吗？SA+SB=SC直角边直角边直角边直角边2 2直角边直角边直角边直角边2 2+斜边斜边斜边斜边2 2=（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）那么对于一般的直角三角形这个结论也成立吗？那么对于一般的直角三角形这个结论也成立吗？SA+SB=SC直角边直角边直角边直角边2 2直角边直角边直角边直角边2 2+斜边斜边斜边斜边2 2=ABC把把C分割成若干
4、个直角边为整数分割成若干个直角边为整数的三角形与一个小正方形的三角形与一个小正方形 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创
5、制了一幅的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方勾股圆方勾股圆方勾股圆方图图图图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽指出：按弦图，可以勾股赵爽指出：按弦图，可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。加差实，亦成弦实。20022002年全球数学年全球数学年全球数学年全球数学家大会会徽家
6、大会会徽家大会会徽家大会会徽美国第二十任总统伽菲尔德美国第二十任总统伽菲尔德美国第二十任总统伽菲尔德美国第二十任总统伽菲尔德在散步时，在散步时，在散步时，在散步时，发现两个小孩发现两个小孩发现两个小孩发现两个小孩正在聚精会神地谈论着，便问他们在干什么？正在聚精会神地谈论着，便问他们在干什么？正在聚精会神地谈论着，便问他们在干什么？正在聚精会神地谈论着，便问他们在干什么？一个小男孩头也不抬地说：一个小男孩头也不抬地说：一个小男孩头也不抬地说：一个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角请问先生，如果直角三角请问先生，如果直角三角请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为形
7、的两条直角边分别为形的两条直角边分别为3 3和和和和4 4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：伽菲尔德答道：伽菲尔德答道：伽菲尔德答道：“是是是是5 5呀。呀。呀。呀。”小男孩又问道：小男孩又问道：小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为如果两条直角边长分别为如果两条直角边长分别为如果两条直角边长分别为5 5和和和和7 7，那，那，那，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？么这个直角三角形的斜边长又是多少？么这个直角三角形的斜边长又是多少？么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：伽菲尔德不假思索
8、地回答道：伽菲尔德不假思索地回答道：伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5 5的平方加上的平方加上的平方加上的平方加上7 7的平方。的平方。的平方。的平方。”小男孩又说：小男孩又说：小男孩又说：小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。于是，伽菲尔德不再散步
9、，立即回家，潜心探讨小男孩于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。中的道理，并给出了简洁的证明方法。中的道理，并给出了简洁的证明方法。中的道理，并给出了简洁的证明方法。总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理青朱出入图青朱出入图 刘徽（约公元刘徽（约公元刘徽（约公元刘徽（约公元
10、225225年年年年295295年），魏晋期间伟大的数学家，年），魏晋期间伟大的数学家，年），魏晋期间伟大的数学家，年），魏晋期间伟大的数学家，在他的杰作在他的杰作在他的杰作在他的杰作九章算术九章算术九章算术九章算术中证明勾股定理时也是用的以形证数中证明勾股定理时也是用的以形证数中证明勾股定理时也是用的以形证数中证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同刘徽的证明原也有一的方法，只是具体的分合移补略有不同刘徽的证明原也有一的方法，只是具体的分合移补略有不同刘徽的证明原也有一的方法，只是具体的分合移补略有不同刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字幅图，可惜图已
11、失传，只留下一段文字幅图，可惜图已失传，只留下一段文字幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股勾自乘为朱方，股勾自乘为朱方，股勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂开方除之，即弦也弦方之幂开方除之，即弦也弦方之幂开方除之，即弦也弦方之幂开方除之，即弦也”后人根据这段文字补了一张后人根据这段文字补了一张后人根据这段文字补了一张后人根据这段文字补了一张图图图图 求下图求下图中正方形中正
12、方形A A的面积的面积.81144问题一问题一A A学以致用求下图求下图中正方中正方形形B B的面积的面积.169144问题一问题一B B学以致用如如图图,正方形正方形的边长为的边长为7 7BACD你能求出正方形你能求出正方形A A、B B、C C、D D的面积之和吗？的面积之和吗？问问题一题一学以致用，巩固定理 “勾股树勾股树”如如图图,分别以直角三角形的分别以直角三角形的三边三边为直径作三个半为直径作三个半圆圆,这三个半圆的面积之间有什么关系这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么为什么?拓展延伸ABC 定理内容定理内容勾股勾股定理定理定理运用定理运用重要的重要的思想方思想方法及数法及数学思想学思想从特殊从特殊到一般、到一般、数形结数形结合思想合思想