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1、第一章 随机事件及其概率 第一节 随机事件及其运算第三节 概率的基本运算法则第五节 伯努利模型第二节 随机事件的概率第四节 全概率公式与贝叶斯公式在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例:两类现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出
2、现的情况”.2.随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.结果有可能为结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或或“6”.实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”.实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果:“弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性,但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中,这种结果的出这种结果的出现具有
3、一定的现具有一定的统计规律性统计规律性,概率论就是研究随机概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科现象这种本质规律的一门数学学科.通过随机试验来研究随机现象。通过随机试验来研究随机现象。说明说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.1.重复性重复性：可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行；2.明确性明确性：能事先明确试验的所有可能结果能事先明确试验的所有可能结果，结果不止一个；结果不止一个；3.随机性随机性：每次试验之前不能确定哪一个结果每次试验之前不能确定哪
4、一个结果 会出现会出现。定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验（简称试验，记作（简称试验，记作E）第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算一、随机试验与样本空间一、随机试验与样本空间实例实例 E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H、反面、反面T出现的情况。出现的情况。分析分析(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(3)进行一次进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面H
5、，反面反面T;见书见书P1P1说明说明 由随机试验由随机试验E E的第二特征可知，的第二特征可知，E E的样本空间的样本空间 是事先明确的。是事先明确的。定义定义 随机试验随机试验E E的所有可能结果构成的的所有可能结果构成的集合集合 称为称为E E的的样本空间样本空间，用，用（或（或S S）表示；）表示；中的元素（中的元素（E E的的每一个可能结果）称为每一个可能结果）称为 样本点样本点。用。用 表示。表示。样本空间样本空间练习练习 写出随机试验的样本空间。写出随机试验的样本空间。将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数同一试验同一试验,若试验目
6、的不同若试验目的不同,则对应的样本空则对应的样本空 间也不同间也不同.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命 记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数抛一颗骰子，观察出现的点数 二、随机事件在随机试验中，我们常常对满足某种条件的事件感兴趣。抛一颗骰子，观察出现的点数例如关心：是否出现点数6？是否出现偶数点？满足这些条件的样本点组成 的一个子集 称 和 均为随机试验 的一个随机事件 基本事件：随机试验 有两个基本事件 和 由一个样本点组成的单点集 复合事件：由多个样本点构成的集合。在一次试验中，称事件A发生，当且仅当A中所包含的某一个样本点出现。简称事件，用A，B，C，表示。定义定义随机试
7、验 有四个基本事件 、和样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件.它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定 随机试验的E样本空间W子事件和事件积事件差事件互斥（互不相容）对立事件（逆事件）运算规律子事件（包含）和事件为称个事件称为个积事件差事件互斥时发生“骰子出现骰子出现1点点”“骰子出现骰子出现2点点”实例实例 抛掷一枚骰子抛
8、掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.互斥互斥实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,“出现花面出现花面”与与“出现字面出现字面”是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.对立事件运算规律4.对偶律 注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去 1.交换律2.结合律3.分配律例1.1.4 设 ，是随机事件，则下列事件可表示成（3）A发生而B与C都不发生（1）A，B，C都发生（2）A，B，C中至少有一个发生（4）A，B，C中只有一个发生（5）A，B，C中至少有两个发生（6）A，B，C中至多有一个发生（7）A发生且B与C至少有一个发生补例 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，
9、每个水源都足以供应城市的用水，设事件于是“城市断水”这一事件可表示为“城市能正常供水”这一事件可表示为甲乙12城市3第二节 随机事件的概率概率定义1的概率.量度称为事件发生的可能性大小的在一次试验中事件AAAnnAnA即发生的频率，记为为事件次，则称比值次重复试验中出现了在这次试验，如果事件了在相同的条件下，进行一、频率与概率频率具有如下性质 1非负性2规范性3有限可加性则若是一组两两互不相容的事件抛硬币实验试验者德摩根蒲丰K皮尔逊K皮尔逊罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4
10、923试验次数出现正面的次数出现正面的频率当当常常会不一样常常会不一样不同时，得到的不同时，得到的)(Afnn这表明频率具有一定的随机波动性，与试验有关。对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出“稳定性”因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频概率为频率的稳定值率的稳定值（书（书P7定义定义1.2.2）我们称这一定义为概率的统计定义这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性二、古典概型二、古典概型1试验的样本空间只含有有限个元素，即 2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研
11、究对象，所以也称之为古典概型 定义有限性有限性等可能性等可能性 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.（数数）（数数）这样就把求概率问题转化为计数。排列组合是计算古典概率的重要工具。预备知识预备知识1 1、乘法原理、乘法原理一、乘法原理一、乘法原理 排列及组合排列及组合 乘法原理：若完成一件事情要经过两个乘法原理：若完成一件事情要经过两个
12、步骤，其中第一步中有步骤，其中第一步中有种不同的方法，第种不同的方法，第二步骤中有二步骤中有种不同的方法，则完成这件种不同的方法，则完成这件事情共有事情共有 种方法。种方法。2 2、排列、排列 排列：从排列：从n个不同的元素中按顺序取个不同的元素中按顺序取r个个排成一列排成一列 称为一个排列称为一个排列。所有可所有可能的排列记为能的排列记为则由乘法原理得则由乘法原理得特别，当特别，当n=r时，称该排列为一个全排列，时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为所有全排列的个数为（有次序的）（有次序的）例例1 从从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个组成这六个数字中任取五个组成五位数五位数,
13、问共能组成多少个五位数问共能组成多少个五位数?解解:从六个不同数中任取五个组成五位数从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因因此此,所有可能组成五位数共有所有可能组成五位数共有3 3、组合、组合 组合：从组合：从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取r r个元素个元素组成一组组成一组 称为一个组合。所有可称为一个组合。所有可能的组合数记为能的组合数记为种方种方由乘法原理，从由乘法原理，从n个元个元素中取素中取r个生成的排列可分两步进行，首先个生成的排列可分两步进行，首先从从n个元素中取个元素中取r个组成一组，共有个组成一
14、组，共有法，然后再在取出的法，然后再在取出的r个元素中进行全排列个元素中进行全排列共有共有种方法，从而种方法，从而（无次序的）（无次序的）特别，当特别，当n =r时，时，而且而且所以从所以从n个元素中取个元素中取r个元素组成的组合数为个元素组成的组合数为例例2 2 从从1010名战士中选出名战士中选出3 3名组成一个突击队，名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？问共有多少种组队方法？解解:按组合的定义，组队方法共有按组合的定义，组队方法共有（种）（种）。例1 设袋中有4只白球和2只红球，现从袋中(a)有放回 (b)不放回地依次摸出2只球。试求 （1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两
15、只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率；解 记则取到的两只球颜色相同摸球问题摸球问题(a)有放回编号123456(b)不放回编号123456号码排列：号码组合：或或类似可求得（4）问取到一只白球一只红球的概率？在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有于是所求的概率为于是所求的概率为解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有例例2 2解 每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有 种不同的方法 N例3 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求每个盒子至多有一只球的概率
16、。每个盒子中至多只有一只球,共有 种不同的方法，因此所求的概率为占位问题占位问题例如例如 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 64 个人生日各不个人生日各不相同的概率相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为那么，那么，64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为解解 设在一个面积为设在一个面积为 的区域的区域中中等可能的任意投点（如图所示）。等可能的任意投点（如图所示）。这里这里“等可能等可能”的确切含义是：设的确切含义是：设在区域在区域中任意一个小
17、区域中任意一个小区域A，如，如果它的面积为果它的面积为 ，则点落在，则点落在A中的中的可能性的大小与可能性的大小与 成正比，而与成正比，而与A的形状及位置无关。的形状及位置无关。三、几何概率三、几何概率记事件记事件A A表示表示“点落入小区域点落入小区域A A中中”，则，则这一类概率通常叫做这一类概率通常叫做几何概率几何概率。和古典概型相比。和古典概型相比较，几何概率问题中虽然还要求基本事件是等概率的，较，几何概率问题中虽然还要求基本事件是等概率的，但是基本事件的数量放宽到无限多个了。但是基本事件的数量放宽到无限多个了。注注 如果在一个线段上投点，那么面积应改为长度，如果在一个线段上投点，那么
18、面积应改为长度，如果在一个立体中投点，则面积应改为体积。如果在一个立体中投点，则面积应改为体积。补例补例1 在一个单位正方形中均匀投在一个单位正方形中均匀投点，求点落入如右图所示的扇形区点，求点落入如右图所示的扇形区域域A中的概率。中的概率。解解：记正方形为：记正方形为，显然，显然 =1。A是半径为是半径为1，圆心角为的扇形，圆心角为的扇形，易见易见书例书例1.2.61.2.6设设A A“两人会面两人会面”补例补例2 甲、乙两人相约在下午甲、乙两人相约在下午4：00到到5：00之间之间在某处会面；并约定先到的人等候另一个人在某处会面；并约定先到的人等候另一个人15分钟分钟,过时离去。求甲、乙两
19、人能会面的概率过时离去。求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解：解：设设x x，y y分别为甲、乙两人到达约会地点的时间，分别为甲、乙两人到达约会地点的时间，样本点（样本点（x x，y y）则则则则若以若以 x,y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标,则有则有 设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A)，并且满足下列三条公理，则称P P（A A）为事件A的概率，四、概率的公理化定义1非负性2规范性3可列可加性由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得性质1证：第三节 概率的基本运算法则一、概率的性质性质2（有限可加性）证：特别地，若A，B互不相
20、容（即 ），则 。由概率的可列可加性得证：性质3 由性质2，得：由非负性，得 性质5证：证：性质4 性质6（加法公式）证明：因为且故由性质2和性质3得：性质6可以推广到多个事件的情形例如可由归纳法证得一般地，对任意n个事件总结概率的性质性质1性质2（有限可加性）性质3 性质4 性质5性质6（加法公式）特别地，若A，B互不相容，则 。例例1 1 设事件设事件A，B的概率分别为的概率分别为1/31/3，1/21/2，求下列情况下求下列情况下 的值。的值。（1）A、B互斥；互斥；（2）（3）解解 (1)(1)若若A、B互斥，互斥，从而从而此时此时(2)(2)若若(3)(3)若若SABAB解解 设设“
21、用户订日报用户订日报”事件为事件为A,“用户订晚报用户订晚报”事件为事件为B，例例2 已知某城市中有已知某城市中有50%的用户订日报的用户订日报,65%的用户订晚报，的用户订晚报，85%用户至少订两种报中的一用户至少订两种报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几？种，问同时订两种报的用户占百分之几？由已知，由已知，则所求概率为则所求概率为即同时订两种报的用户占即同时订两种报的用户占30%则则“至少订两种报中的一种至少订两种报中的一种”为为例例1.3.1 设有产品设有产品50件，其中有件，其中有3件次品，其余件次品，其余均为合格品，今从中任意抽取均为合格品，今从中任意抽取4件，求至少有件，求至
22、少有一件次品的概率。一件次品的概率。例例1.3.2 袋中装有红、白、黑球各一个，每次袋中装有红、白、黑球各一个，每次从袋中任取一个球，记录其颜色以后再放回袋从袋中任取一个球，记录其颜色以后再放回袋中，这样连取中，这样连取3次（有放回地抽取）。求次（有放回地抽取）。求3次都次都没有取到红球或没有取到红球或3次都没有取到白球的概率？次都没有取到白球的概率？二、条件概率与事件的独立性二、条件概率与事件的独立性1.条件概率在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，引例引例 设袋中装有设袋中装有16个球，其中个球，其中6个是玻璃球，另外个是玻璃球，另外10个是塑料球，而玻璃球中有个是塑料球，而玻璃球中有
23、2个红色，个红色，4个蓝色，个蓝色，塑料球中有塑料球中有2个红色，个红色，7个蓝色，现从中任取一个，个蓝色，现从中任取一个，AB=AB=取到蓝色的玻璃球取到蓝色的玻璃球 若令若令A=A=取到蓝色球取到蓝色球，B=B=取到玻璃球取到玻璃球 则则求在已知取到蓝色球的条件下，该球又是玻璃球的求在已知取到蓝色球的条件下，该球又是玻璃球的概率？概率？即求即求1111个蓝色球个蓝色球中有中有4 4个是玻璃球个是玻璃球在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那么事件B发生的概率为 其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的 这里 上
24、例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W 中考虑，显然有从而即(1.3.6)定定义1.3.1为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率类似地，设 ，称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率(1.3.7)条件概率的性质条件概率的性质计算条件概率的两种方法：计算条件概率的两种方法：（1）在缩减后的样本空间中根据古典概在缩减后的样本空间中根据古典概率计算；率计算；（2）直接根据定义计算。直接根据定义计算。例例1 一盒子装有一盒子装有4 只产品，其中有只产品，其中有3 只一等品、只一等品、1只只二等品。从中二等品。从中不放回地不放回地取产品两次取产品两次,每次任取一只，每次任取
25、一只，已知第一次取出的是一等品，求第二次取出的仍是已知第一次取出的是一等品，求第二次取出的仍是一等品的概率。一等品的概率。解解设事件设事件A A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”事件事件B B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”因因为为A已已经经发发生生，即即已已知知第第一一次次取取得得的的是是一一等等品品，则则第第二二次次取取产产品品时时，盒盒中中剩剩下下3个个产产品品，其其中中一一等等品只剩下品只剩下2个所以个所以 即求条件概率即求条件概率 P P(B B|A A)=)=？.（类似古典概率计算）（类似古典概率计算）例例2 2 某种动物活到某种动物活到5岁的概率为
26、岁的概率为0.7，活到，活到8岁的概岁的概率为率为0.56，求现年为求现年为5岁的该种动物能活到岁的该种动物能活到8岁的概岁的概率率?设设 A 表示表示“活到活到 5 岁（以上）岁（以上）”B 表示表示“活到活到 8 岁（以上）岁（以上）”解：解：则则，AB根据定义计算根据定义计算解：解：例例3 32.乘法公式则由归纳法可得：则由归纳法可得：补例补例 在在100100件产品中有件产品中有5 5件是次品，从中连续无件是次品，从中连续无放回地抽取放回地抽取3 3次，问第三次才取得次品的概率。次，问第三次才取得次品的概率。设设 表示表示“第第i次取得次品（次取得次品（i=1,2,3=1,2,3）B表
27、示表示“第三次才取到次品第三次才取到次品”，则则解解3.事件的独立性 类似地 例1 袋中有6个白球，2个黑球，从中有放回地抽取两次，每次取一球，记A=第一次取到白球，B=第二次取到白球，则有 这表明不论这表明不论A发生与否，对发生与否，对B发生的概率都没有发生的概率都没有影响，此时可以认为事件影响，此时可以认为事件B与事件与事件A没有没有“关系关系”，或，或称事件称事件B对事件对事件A是独立的。是独立的。此时有定义1 设A、B是试验E的两个事件，且 ，若 ，则称事件B对事件A是独立的。另外，设 ，则称事件A对事件B也是独立的，故称事件事件A、B相互独立相互独立定义2若事件A与事件B相互独立的充
28、要条件是补例 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率解定理1.3.3证两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容两事件相互独立与两事件互不相容的关系两事件相互独立与两事件互不相容的关系.请请同学们思考同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立，是指事件相互独立，是指事件 A 发发生与事件生与事件 B 发生互不影响发生互不影响.说明说明 事件事件 A 与与 事件事件 B 互不相容，是指事件互不相容，是指事件 A 与与事件事件 B 不能同时发生不能同时发生.定义3由两
29、个事件的独立性推广到多个事件的独立性两两独立两两独立注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立定义定义1.3.3两个结论两个结论则也相互独立例如例如利用独立性的概念简化计算利用独立性的概念简化计算(1)(2)例例1.3.61.3.6 （1 1）设有两门高射炮，每一门炮击中飞）设有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是机的概率都是0.20.2，求同时发射一发炮弹而击中飞，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？机的概率是多少？（2 2）问至少需要多少门炮同时射击，才能以）问至少需要多少门
30、炮同时射击，才能以90%90%以上的把握一发就击中来犯的敌机？以上的把握一发就击中来犯的敌机？（假设各门炮是否击中飞机相互独立）（假设各门炮是否击中飞机相互独立）例例1.3.51.3.5 加工某一种零件需要经过三道工序，设加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为三道工序的次品率分别为2%2%，1%1%，5%5%，并假设各，并假设各道工序互不影响，求加工出来的零件的次品率。道工序互不影响，求加工出来的零件的次品率。第四节 全概率公式与贝叶斯公式引例 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12两个车间生产的成品混合堆放在
31、一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3(1)在仓库中随机地取一件成品,求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品,问该此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少？于是解(1)记取出的一台是第i车间生产的次品则从而（2）问题归结为计算 和 由条件概率的定义及乘法公式，有定义也称 构成一个完备事件组。两两互不相容定理1.4.1（全概率公式）则设试验E的样本空间为图示图示证明证明 全概率公式主要用于计算比较复杂事件全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率的概率,它实质上是它实质上是加法公式加法公式和和乘法公式乘法公式的的综合运用综合运用.全概率公式是
32、通过分析一个事件发生的各全概率公式是通过分析一个事件发生的各种不同的原因、情况或途径及其可能性求得种不同的原因、情况或途径及其可能性求得该事件发生的概率。该事件发生的概率。往往应用在往往应用在具有先后次具有先后次序的两个随机问题序的两个随机问题中。中。说明说明定理1.4.2（贝叶斯（Bayes）公式或逆概率公式）与与全概率公式全概率公式刚好相反，刚好相反，贝叶斯公式贝叶斯公式主要用于当观主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小 解解补例补例 由由贝叶斯公式
33、得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模型，有着广泛的实际应用设试验 只有两个可能结果：及 ,则称 为伯努利（Bernoulli）试验设 ，此时 ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.第五节 伯努利概型伯努利概型这种项共有 个，而且两两互不相容 由试验的独立性，得 同理可得上式右边各项所对应的概率均为 利用概率的有限可加性知 即定理即定理1.5.1 1.5.1 伯努利概型计算公式伯努利概型计算公式例例1.5.21.5.2一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典
34、型例题三、典型例题第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点随机事件的概念随机事件的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用2.难点难点古典概型的概率计算全概率公式的应用古典概型的概率计算全概率公式的应用二、主要内容二、主要内容随机随机现象现象随机随机试验试验事事件件的的独独立立性性随随 机机 事事 件件复复合合事事件件必必然然事事件件概概 率率古典古典概型概型乘法乘法定理定理事件的关系和运算事件的
35、关系和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性性质质定定义义条件条件概率概率不不可可能能事事件件 基基 本本 事事 件件样本样本空间空间 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为称为随机现象随机现象.随机现象随机现象 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.在概率论中在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特征的试
36、验称为随机试验随机试验.随机试验随机试验 样本空间的元素样本空间的元素,即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果,称为称为样本点样本点.随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称的所有可能结果组成的集合称为为样本空间样本空间,记为记为 S.随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E 的的随机事件随机事件,简称简称事件事件.随机事件随机事件 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件不可能事件的对立面是必然事件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事
37、件.基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.重要的随机事件重要的随机事件事件的关系和运算事件的关系和运算(1)包含关系包含关系若事件若事件 A 出现，必然导致事件出现，必然导致事件 B 出现，出现，则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A，记作记作图示图示 B 包含包含 A.SBA(2)A等于等于B(3)事件事件A与与B的并的并(和事件和事件)图示事件图示事件 A与与 B 的并的并.SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B,而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A,则称事件则称事件 A
38、 与事件与事件 B 相等相等,记作记作 A=B.(4)事件事件A与与B的交的交(积事件积事件)图示事件图示事件 A 与与 B B 的积的积.SABAB(5)事件事件A与与B互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现,B 出现也必然导致出现也必然导致 A 不出现不出现,则称事件则称事件 A 与与 B互不相互不相容容,即即图示图示 A 与与 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥）.SAB(6)事件事件A与与B的差的差由事件由事件A出现而事件出现而事件B不出现所组成的事件称不出现所组成的事件称为事件为事件A与与B的差的差.记作记作 A-B.图
39、示图示 A 与与 B 的的差差.SABSAB设设A表示表示“事件事件A出现出现”,则则“事件事件A不出现不出现”称为事件称为事件A的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件.记作记作图示图示 A 与与 B 的对立的对立.SB若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有A(7)事件事件A的的对立事件对立事件说明说明对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABAB A，B 对立对立 A，B 互斥互斥互斥互斥对立对立事件运算的性质事件运算的性质(1)频率的定义频率的定义 频率频率设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件,则则(2)频率的性质频率的性质 概率的定义概率的定义概率的可列可
40、加性概率的可列可加性概率的有限可加性概率的有限可加性概率的性质概率的性质三个事件和的情况三个事件和的情况定义定义等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成,A为为E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点,则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.条件概率条件概率同理可得同理可得为在事件为在事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.(1)条件概率的定义条件概率的定
41、义(2)条件概率的性质条件概率的性质乘法定理乘法定理样本空间的划分样本空间的划分全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.事件事件 A 与与 B 相互独立是指事件相互独立是指事件 A 的概率与事的概率与事件件 B 是否出现无关是否出现无关.事件的相互独立性事件的相互独立性(1)两事件相互独立两事件相互独立事件事件A与事件与事件B相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立(2)三事件相互独立三事件相互独立n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件
42、两两相互独立个事件两两相互独立重要定理及结论重要定理及结论两个结论两个结论三、典型例题三、典型例题例例1解解说明说明 一个事件往往有多个等价的表达方式一个事件往往有多个等价的表达方式.例例2 已知已知，求求。，例例3 3 设设A A，B B是两事件，且是两事件，且 ，问分别在什么条件下，问分别在什么条件下，取得最大值和最小值？取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？最大值和最小值各为多少？例例4 4 设设1010件产品中有件产品中有4 4件不合格品，从中任取件不合格品，从中任取2 2件，已知所取件，已知所取2 2件产品中有件产品中有1 1件是不合格品，则件是不合格品，则另另1 1件也是不合格品的概率为多少？件也是不合格品的概率为多少？例例5 5 有朋友自远方来访，他乘火车，轮船，汽车，有朋友自远方来访，他乘火车，轮船，汽车，飞机来的概率分别是飞机来的概率分别是0.30.3，0.20.2，0.10.1，0.40.4。如果。如果他乘火车，轮船，汽车来的话，迟到的概率分别他乘火车，轮船，汽车来的话，迟到的概率分别是是1/41/4，1/31/3，1/121/12，而乘飞机不会迟到。，而乘飞机不会迟到。(1)(1)试求他迟到的概率。试求他迟到的概率。(2)(2)若已知他迟到了，试问他是乘火车来的概率是若已知他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？多少？