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1、1 1 1线性代数教材 经济数学基础（第二分册线性代数）出版社 四川人民出版社主编 龚德恩 副主编 范培华 胡显佑参考书 高等代数讲义(上册),丘维声编,北京大学出版社线性代数简明教程,蓝以中编,北京大学出版社教师 王耀东 电话63369207 手机15010837966E-mail 答疑 地点 理1305M 时间：星期日12:30-13:30期中考试(一、二、三章)2015年11月8日3-节期末考试(四、五、六、七章)2016年1月3日3-4节 2补充参考书1.线性代数赵树嫄主编中国人民大学出版社2.高等代数题解王萼芳编北京大学出版社3.线性代数尤承业编著新东方考研无忧数学培训教材中国广播电
2、视大学出版社3 3http:/ 4 4 高等数学的研究对象是函数，或一般地高等数学的研究对象是函数，或一般地称为映射。函数形形色色，其中最简单、最称为映射。函数形形色色，其中最简单、最基本、最重要者为线性函数。它们是研究其基本、最重要者为线性函数。它们是研究其它函数的基础。为什么呢，这是因为不太坏它函数的基础。为什么呢，这是因为不太坏的函数（例如可微函数）在小范围内都可以的函数（例如可微函数）在小范围内都可以用线性函数逼近。用线性函数逼近。线性代数就是专门研究线性函数的数学线性代数就是专门研究线性函数的数学分支。分支。最简单的线性函数是最简单的线性函数是 这个函数的基本性质是这个函数的基本性质
3、是5 5凡是具有这两个性质的函数统称为线性函数.研究函数的一个基本问题是它能否取某个值,对于函数y=ax即解线性方程复杂些的是线性方程组b6 6 6要问要问 能否取值能否取值 就是要看就是要看方程方程是否有解是否有解.研究线性函数的一个基本问题就是要研究线性函数的一个基本问题就是要解类似的线性方程解类似的线性方程.实际问题中的自变量和因变实际问题中的自变量和因变量可能很多量可能很多,就需要有效的工具解线性方程组就需要有效的工具解线性方程组.7 7人们真正能够解的只是线性方程组,幸好,一般的无论多么复杂的方程基本都能用线性方程组近似求解.因此解线性方程组就是高等数学的一个基本问题.解线性方程组的
4、基本工具是解线性方程组的基本工具是行列式行列式和和矩阵矩阵.8 8 8第一章第一章 行列式行列式1 行列式定义行列式定义2 行列式性质行列式性质3 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开4 克莱姆法则克莱姆法则9 9 91 行列式定义行列式定义一、一、二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式二、二、排列及其逆序数排列及其逆序数三、三、n阶行列式定义阶行列式定义101010考虑二元一次联立方程组：第一个方程乘以a21,，第二个方程乘以a11（2-1）得一、一、二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式111111如果，则同理得121212为便于记忆和推广，引进记号这个记号称为二阶行列式。利用这个记号，二元一
5、次方程组的求解公式写成:如果 则，系数矩阵的行列式.1313两条直线相交两条直线相平行两条直线重合141414例例解方程组151515例例 解方程组因为161616我们考虑三元一次联立方程组引进记号第一个下标表示第几个方程,第二个下标表示第几个未知数.171717181818主对角线主对角线副对角线副对角线三阶行列式符号记忆法三阶行列式符号记忆法191919令202020如果 ,则方程有解212121例例求值解解222222例例解线形方程组解解232323242424with(linalg):A:=matrix(3,-1,1,2,-4,-1,1,2,1);det(A);252525例例3 求解
6、方程求解方程 解解 方程左端方程左端2626每一项是不同行不同列的两个元素的乘积冠以适当正负号.把行号按自然顺序安排,第一个乘积中的列号是12,顺序没有颠倒,而第二个是21,次序颠倒了一次.看二阶行列式二、二、排列及其逆序数排列及其逆序数272727再看三阶行列式为了看出乘积前正负号的规律，行号按自然顺序书写,我们写出每一乘积的列号：123，231，312，321，213，132,分别有分别有0,2,2,3,1,1次颠倒次颠倒,偶数次偶数次颠倒者颠倒者,乘积冠以正号乘积冠以正号,奇数次颠倒者奇数次颠倒者,乘积冠以负乘积冠以负号号.282828由此看出定义行列式中的乘积前的正负号的关键是排列的逆
7、序数定义定义 自然数 的有序数组 称为一个排列.n 个自然数的排列总数是n!292929 定义定义 如果在排列 中 就说这两个数字 构成一个逆序逆序。一个排列 的逆序总数称为这个排列的逆序数，记作为了计算排列 的逆序数，只需数一数303030每个 前面比 大的数的个数则有 前三个逆序数为偶数,对应的项取正号,后三个逆序数为奇数,对应的项取负号.定义定义 逆序数为偶(奇)数的排列称为偶(奇)排列.313131求和号求和号设设 是定义域是定义域 为有限集为有限集I的函数，则符号的函数，则符号表示所有函数值的和表示所有函数值的和.例如例如 则则3232333333求和的性质求和的性质利用求和号和排列
8、的逆序数符号利用求和号和排列的逆序数符号,用 表示1，2，.,n的所有排列的集合，则三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成343434定义行列式的三个要素是数的加法,乘法和排列,行列式性质来源于加法,乘法和排列性质.加法和乘法的性质就是交换律,结合律和分配律,为我们所熟知.由于出现在公式中的是因子 ,我们真正关心的并非逆序数本身,而是其奇偶性.现在考虑排列的奇偶性在对换下的变化规律排列的奇偶性在对换下的变化规律.353535定义定义一个排列的两个元素交换位置,其余元素不动,称为对换对换.相邻两个元素的对换称为相邻对换相邻对换.定理定理 一次对换改变排列的奇偶性.证明证明 先证相邻对换相邻对换改变
9、排列的奇偶性.设排列p1pipi+1pn相邻两个元素pi ,pi+1交换位置成p1pi+1pipn,则pi,pi+1和其它元素生成的逆序保持,如果pipi+1是顺序,则pi+1pi是逆序,如果pipi+1是逆序,则pi+1pi是顺序,故 t(p1pipi+1pn)=t(p1pi+1pipn)1 1,即p1pipi+1pn和p1pi+1pipn 奇偶性相反.363636 再证任意对换改变排列的奇偶性。任意对换可以通过再证任意对换改变排列的奇偶性。任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现奇数次相邻对换来实现.m+1次相邻对换次相邻对换a移到移到bm的右侧的右侧m 次相邻对换次相邻对换b移到移到a的右侧
10、的右侧原排列原排列2m+1次相邻对换对换了次相邻对换对换了a和和b.每一次相邻对换改变每一次相邻对换改变奇偶性奇偶性,奇数次相邻对换奇偶性改变奇数次奇数次相邻对换奇偶性改变奇数次,最终改最终改变了奇偶性变了奇偶性373737例例 求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解解 32514 是奇排列是奇排列.52314是什么排列是什么排列?例例 n(n-1)1的逆序数是多少？的逆序数是多少？383838 定理定理 偶（奇）排列可以经过偶（奇）数次对换变成自然顺序。证明证明 先证任何排列经过若干次对换可以变成自然顺序。对于排列阶n用数学归纳归纳法。n=1时显然。设对于k结论成立。给定k+1阶排列
11、p1pk+1.如果p11,而pi=1,p1和pi对换,p1pk+1变成1p2p1pK+1.对于p2pk+1用归纳假设，经过若干次对换可以变成自然顺序2k+1.1p2p1pk+1变成12k+1.设p1pk是偶(奇)排列,经过l次对换变成自然顺序1k,1k是偶排列,对换一次改变排列的奇偶性,l必为偶(奇)数.393939定义定义 用用 Pn 表示表示1,2,n的所有排列的所有排列j1jn的集合，的集合，定义定义 三、n阶行列式定义404040 表示对于1，,n的所有排列j1 jn 求和.根据排列的性质得到1.n阶行列式共n!项.2.每一项是不同行不同列元素的乘积带适当正负号.3.（n2时）一半带正
12、号的项,对应列号的偶排列,一半带负号的项,对应列号的奇排列.414141 前面的定义的项把行号写成自然顺序，其实把列号写成自然顺序，按行号组成的排列求和结果是一样的。定理定理424242证明证明和和 经过经过s次对换变次对换变成成1n,此时排列此时排列1n变成排列变成排列的奇偶性都跟的奇偶性都跟s的奇偶性的奇偶性一样。一样。434343例例 判断以下两式是否是六阶行列式的项：解解 第一项行号是自然顺序，列号序列为第一项行号是自然顺序，列号序列为乘积取正号，故第一式是乘积取正号，故第一式是六阶行列式的项。把第二式乘积的行号调整为自然顺序得把第二式乘积的行号调整为自然顺序得列号序列为列号序列为45
13、2316乘积取正号，故第二式不是乘积取正号，故第二式不是六阶行列式的项。444444例例写出四阶行列式含 a11a23 的项.解解 其余两个因子取自其余两个因子取自2,4列列:第一个因子列号排列第一个因子列号排列1324,对换对换32即变成即变成1234,故为奇排列故为奇排列,取负号取负号,第二个因子列号排列第二个因子列号排列1342由由1324对换对换2,4得到得到,故为偶排列故为偶排列,取正号取正号:454545例例计算行列式一般项一般项 j11时此时为时此时为0，非非0项只可能是项只可能是解解 ji 时时,aij=0.464646 j2 只能取2，3，4.第二行3,4列的元素为0,非0项
14、只能为类似得非类似得非0项只能是项只能是这种类型的行列式称为下三角行列式这种类型的行列式称为下三角行列式,其值等于其值等于对角线元素的乘积对角线元素的乘积.474747类似的上三角行列式的值也等于其对角线元素类似的上三角行列式的值也等于其对角线元素的乘积的乘积484848例例494949例例5050是正负相间吗？515151例用行列式定义求下列行列式的值：例用行列式定义求下列行列式的值：解解525252作业作业习题一习题一1.(1),(3),(5),(7)2.(1)3.(1),(3)4.(1),(3)5.(1)6.(1)，(3)7.(1),(3)5353532行列式性质用行列式定义计算其值，仅
15、在罕见的情况用行列式定义计算其值，仅在罕见的情况下适用。一般的方法是把行列式变换为三下适用。一般的方法是把行列式变换为三角行列式，然后以对角线元素的乘积作为角行列式，然后以对角线元素的乘积作为其值。为了把行列式变换为三角形行列式，其值。为了把行列式变换为三角形行列式，就需要研究行列式在进行所谓初等变换时就需要研究行列式在进行所谓初等变换时其值的变化规律。其值的变化规律。545454性质1.两行互换,符号改变.第第i行行第第s行行555555第第i行行第第s行行565656证明证明一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性575757.性质性质2.两行相等,其值为零.证明证明两个相同的行互
16、换，由性质1值反号，但其实它还是原来的行列式，故行列式的值等于其相反数，非零莫属。性质性质3.一行乘（同一）数一行乘（同一）数,提在外面提在外面.585858证明证明595959性质性质4.两行成比例两行成比例,其值为零其值为零.为了书写简短为了书写简短,用用ri表示第表示第i行行ai1,ai2,ai3,kri表示表示 每个每个元素元素k倍倍,ri+rj表示对应元素相加表示对应元素相加.606060性质性质5.一行为和,拆成两个.616161证明证明626262636363性质性质6一行加另一行k倍，其值不变。为了书写简短,用ri表示第行ai1,ai2,ai3,kri表示每个元素k倍,ri+r
17、j表示对应元素相加.证明证明646464记行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的的转置行列式转置行列式.性质性质7 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 D=DT 656565证明证明有了这个性质,所有对于行叙述的行列式性质对于列也成立.例如666666676767用cj表示第j 列，则以上性质可以简洁表示为686868用行列式性质计算行列式例例 计算行列式计算行列式解解696969例例计算行列式解解707070717171727272 利用利用 化为上三角行列式化为上三角行列式7373或或747474例例计算n阶行列式757575解解7676767777777
18、87878797979808080818181828282例例计算n阶行列式解解838383各列之和相等848484c1提公因子提公因子858585868686例例计算n 阶行列式各列之和相等878787888888898989 例例 如果如果则则909090证明证明把D1和D2分别做行变换和列变换化成下三角形，919191对于D做相应的变换得到929292例设例设 abcd=1,计算939393第一个行列式各行分别除以第一个行列式各行分别除以a,b,c,d949494959595第一个行列式记作第一个行列式记作|c1c2c3c4|，第二个则为，第二个则为|c3c1c4c2|,(3142)=1
19、+0+2=3.989898习题习题习题一习题一8-13大题的单号小题大题的单号小题99第一次习题课内容行列式定义，行列式性质.重点是行列式性质.题目习题一1.(2),(8)2.(2)3.(4)5.(2)7.(4)8.(4)9.(3)10.(4)11.(4)12.(2)1001001003行列式按一行（列）展开行列式按一行行列式按一行(列列)的展开式在理论上和实的展开式在理论上和实际计算中都起重要作用，其实也是行列式际计算中都起重要作用，其实也是行列式的一条重要性质，由于其特殊性，和其它的一条重要性质，由于其特殊性，和其它性质分开来叙述性质分开来叙述.而其它性质都主要是关于而其它性质都主要是关于
20、初等变换对于行列式的值的影响的初等变换对于行列式的值的影响的.矩阵初等行变换1.两行互换;2.一行乘以非零数;3,一行加另一行的倍数;矩阵化成三角形101二阶行列式102102102我们从考察三阶行列式开始我们从考察三阶行列式开始.把三阶行列式的六项把三阶行列式的六项按含第一行各个元素按含第一行各个元素分为三组分为三组103103103提出公因子104104104M22M22M32105105105分别称为a11,a12,a13的余子式,记作M11,M12,M13.而(1)1+1M11,(1)1+2M12,(1)1+3M13称为a11,a12,a13代数余子式,记作A11,A12,A13.利用
21、代数余子式,可以写出106106106划去划去aij的所在的行和列所得的行列式称为的所在的行和列所得的行列式称为aij的余子式，记作的余子式，记作Mij，（，（1)i+jMij称为称为aij的代数余子式，记作的代数余子式，记作Aij.定义定义107107107例设求求a23的余子式和代的余子式和代数余子式数余子式.解解A:=matrix(3,2,-7,1,5,3,-4,1,2);det(A);108108108引理引理(行列式按第一行的展开式)行列式等于第一行各元素和相应代数余子式乘积之和.109109为了证明，先注意排列的一个简单性质：设是的一个排列，则有这是由于在前面添加数字i 之后,i
22、跟后面的产生i-1个逆序。110110110证明证明以三阶行列式为例书写:111111111表示2,3排列的全体,其余类似.写出对于一般n的引理的证明.112112112定理定理 对于按第i行展开按第j列展开113113113证明证明把第i行和其前面的i-1行依次互换i1次,到达第一行,其余位置不变.114114114如果一行乘另一行的代数余子式结果会怎样呢?对于四阶行列式,举例说,115115115例如对于3阶行列式此式代表第二行元素为第一行元素的行列式,即有两行相同,故其值为零.一般地对于n阶行列式克罗内克记号克罗内克记号.116116行列式按行或列展开的一般公式117117117例计算行
23、列式例计算行列式解解I118118118此题中两个行列式的计算此题中两个行列式的计算119119119解解II可以先用上一节的方法在一行制造更多的零.120120120121121121例例 计算行列式计算行列式解解122122122123123123例例设第一式是行列式第一式是行列式124124124解解125125125126126126例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式n=1时公式成立吗？时公式成立吗？共多少个因子？共多少个因子？127127127证明证明用数学归纳法.n=2时等式成立等式成立.设等式对于设等式对于n-1成立成立,则从则从第第n行开行开始，
24、后行减去前行的始，后行减去前行的 x1 倍：倍：128128128 按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子xj x1就有就有129129例例130130例例求过点的二次函数设互不相等。解解131131132132133133134134这是三个点的拉格朗日插值公式,请写出四个点的拉格朗日插值公式,以及任意个点的拉格朗日插值公式.135136例例137137137例例 求下列求下列 n 阶行列式的值阶行列式的值00138138为了观察降阶规律，我们以5阶为例13913900解140140140用数学归纳法证明用数学归纳法证明.时已经知道公式成立时已经知道公式成立,设公
25、式当设公式当 时成立时成立,则对于则对于 n+1 有有即公式对于即公式对于n+1也成立也成立,根据数学归纳原理根据数学归纳原理,公式对于任意自然数皆成立公式对于任意自然数皆成立.(1)当一行很多当一行很多0时时,按一行展开按一行展开,得得递递推公式推公式;(2)直接直接计计算前几个算前几个值值,根据根据递递推公式再推公式再计计算算几个几个值值,猜出一般公式猜出一般公式;(3)用数学归纳法证明猜出的公式用数学归纳法证明猜出的公式.141例例142143144144思考题用递推公式法求145146前n1行减去第n行147表示乘积中没有这个因子.148148148习题习题习题一习题一14,15(1)
26、,16(1),17(1),(3),1814,15(1),16(1),17(1),(3),181491491494克莱姆法则150150150如果D0,则是方程组的解.代入方程直接验证.151151151把D1按第一列展开把D2按第二列展开把D3按第三列展开含b1的项集合并在一起.含b2的项集合并在一起.含b3的项集合并在一起.152152152故类似地可以验证其它方程也满足.设设x1,x2,x3是解是解,则则证明解的唯一性153153153类似必有类似必有故必有即所有解都等于可莱姆法则给出的解，故解唯一。154154154这里的推导容易推广到一般情形:用表示:155155155系数行列式 记作
27、D,其第j列换成b1,bn所得行列式记作Dj.推论推论 如果如果D0,则齐次方程组则齐次方程组只有零解只有零解定理定理如果如果D0,则方程组则方程组(*)有唯一解有唯一解:如果D=0,齐次方程组有非零解吗?这是下一章将要解决的重要问题之一.156156一般情形克莱姆法则的证明存在性.证明克莱姆法则给出的是解.j列不能提出交换求和次序157157唯一性.证明所有解有形式(m)158(m 列)(m 列)(m 列)(m 列)159159159例例 解线性方程组解解方程组有唯一解。方程组有唯一解。160160160161161 A:=matrix(2,-3,0,2,1,5,2,1,3,-1,1,-1,
28、4,1,2,2);A1:=matrix(8,-3,0,2,2,5,2,1,7,-1,1,-1,12,1,2,2);A2:=matrix(2,8,0,2,1,2,2,1,3,7,1,-1,4,12,2,2);A3:=matrix(2,-3,8,2,1,5,2,1,3,-1,7,-1,4,1,12,2);A4:=matrix(2,-3,0,8,1,5,2,2,3,-1,1,7,4,1,2,12);D0:=det(A);D1:=det(A1);D2:=det(A2);D3:=det(A3);D4:=det(A4);x1:=D1/D0;x2:=D2/D0;x3:=D3/D0;x4:=D4/D0;Map
29、le命令计算行列式(仅供参考)162162A:=matrix(2,-3,0,2,1,5,2,1,3,-1,1,-1,4,1,2,2);b:=vector(8,2,7,12);linsolve(A,b);with(linalg);163163163所以所以例下列齐次方程组有非零解，求其中的例下列齐次方程组有非零解，求其中的k的值。的值。164164164解解 齐次方程组有非零解，其系数行列式必为齐次方程组有非零解，其系数行列式必为0。165165165166166166例例 解线性方程组解线性方程组解解167167167168168168169169169习题习题习题一习题一20(1)(3)21(1)22(1)170第二次习题课内容行列式按一行（列）展开,克莱姆法则上次作业中较普遍的错误题目习题一16(2)17(2),(4)1921(2)22(2)，23171补充题用数学归纳法和行列式的一行为两个向量之何时拆成两个行列式的方法求下列行列式的值可以先考虑例如5阶情形，再推广到一般情形。