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1、线性代数行列式第1页，本讲稿共30页本课程学时短，进度快。但只要掌握了课本课程学时短，进度快。但只要掌握了课 程的规律和方法，并注意记笔记，就会发现程的规律和方法，并注意记笔记，就会发现 实际上很简单，很容易通过。实际上很简单，很容易通过。第2页，本讲稿共30页第一章第一章行列式行列式内内 容容 简简 介介 行列式是线性代数中的一个最基本的概行列式是线性代数中的一个最基本的概念念,它是研究线性代数的一个重要工具本它是研究线性代数的一个重要工具本章的主要内容就是介绍行列式的定义、性质章的主要内容就是介绍行列式的定义、性质及计算方法及计算方法第3页，本讲稿共30页1.1 1.1 行列式的定义行列式
2、的定义 1.n阶行列式的概念阶行列式的概念第4页，本讲稿共30页定义定义1.1.1主对角线，主对角线，aii为为主对角元主对角元副对角线副对角线称为称为n阶行列式阶行列式，它的值用归纳法定义如下：它的值用归纳法定义如下：1.n阶行列式的概念阶行列式的概念第5页，本讲稿共30页定义定义1.1.2也称为也称为Dn按第一按第一行展开的展开式行展开的展开式则则Dn又可写成又可写成第6页，本讲稿共30页第7页，本讲稿共30页2、n 阶行列式是阶行列式是n 项的代数和项的代数和，每项都是位于不每项都是位于不 同行、不同列的同行、不同列的n个元素的乘积个元素的乘积。说明说明 1、Dij，Aij 与与行列式行
3、列式Dn的第的第 i 行与第行与第 j 列的元素列的元素 aij无关；无关；第8页，本讲稿共30页例例1.1.1 计算计算对角行列式对角行列式 解解按定义按定义第9页，本讲稿共30页例例1.1.2 计算计算下三角形行列式下三角形行列式 解解按定义按定义 第10页，本讲稿共30页1.2 1.2 n阶行列式的性质阶行列式的性质 1.n阶行列式的性质阶行列式的性质第11页，本讲稿共30页 1.n阶行列式的性质阶行列式的性质定义定义 将一个行列式将一个行列式 Dn的行和列互换所得到的行和列互换所得到的行列式称为的行列式称为 Dn的的转置行列式转置行列式,记为记为性质性质1.2.1行列式与它的转置行列式
4、相等行列式与它的转置行列式相等.即即Dn DnT.第12页，本讲稿共30页由性质由性质1.2.1可得可得上三角行列式上三角行列式 第13页，本讲稿共30页根据性质根据性质1.2.1，在，在行列式中行与列具有同等的地行列式中行与列具有同等的地 位位,因此凡是有关行的性质，对列也同样成立因此凡是有关行的性质，对列也同样成立.如如 称为称为Dn按第一列按第一列展开的展开式展开的展开式第14页，本讲稿共30页性质性质1.2.2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式行列式 变号变号.推论推论1.2.1 如果行列式有两行（列）完全相如果行列式有两行（列）完全相 同，则此行列式为零同，则此行
5、列式为零.例如例如 证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有 第15页，本讲稿共30页性质性质1.2.3(行列式展开式定理行列式展开式定理)行列式行列式Dn 等于它的等于它的任任 意意一行一行(列列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和的元素与其对应的代数余子式乘积的和.即即称为称为Dn按第按第i 行展行展开的展开式开的展开式称为称为Dn按第按第j 列列展开的展开式展开的展开式或或 第16页，本讲稿共30页例例 计算行列式计算行列式 解解 【降阶降阶】第17页，本讲稿共30页第18页，本讲稿共30页推论推论1.2.2行列式任意一行行列式任意一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行 (列列)
6、的代数余子式乘积的和为零的代数余子式乘积的和为零.即即或或 第19页，本讲稿共30页例例 设行列式设行列式 解解 第20页，本讲稿共30页性质性质1.2.4行列式某行行列式某行(列列)元素的公因子可提到元素的公因子可提到 行列式符号之外行列式符号之外.即即也即也即也即也即行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以乘以同一数同一数 k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.第21页，本讲稿共30页推论推论1.2.4若行列式有两行若行列式有两行(列列)成比例，则其值为成比例，则其值为0 证明证明 推论推论1.2.3 若行列式有一行若行列式有一行(列列)元素全
7、为零元素全为零,则其值为则其值为0.第22页，本讲稿共30页性质性质1.2.5 若行列式的某行若行列式的某行(列列)的元素均为两项之和的元素均为两项之和,则则行列式可按此行行列式可按此行(列列)拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和第23页，本讲稿共30页性质性质1.2.6行列式某行行列式某行(列列)的倍数加于另一行的倍数加于另一行 (列列)，行列式的值不变，行列式的值不变第24页，本讲稿共30页例例 计算行列式常用方法：利用行列式性质把行列式计算行列式常用方法：利用行列式性质把行列式 化化为上三角形行列式，从而算得行列式的值为上三角形行列式，从而算得行列式的值第25页，本讲稿共30页解：解：第26页，本讲稿共30页第27页，本讲稿共30页第28页，本讲稿共30页第29页，本讲稿共30页第30页，本讲稿共30页