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1、 三角函数的诱导公式 教案分析 本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.在诱导公式的学习中,主要贯输的是一种化归思想 教案目标 1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程。培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点 教案重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数
2、式的求值、化简和证明等.教案难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排 2 课时 教案过程 第 1 课时 导入新课（2 分）思路 1.利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.复习诱导公式一及其用途.思路 2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为 0到 360(0 到 2)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于 90到 360(2到 2)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.提出问题：由公式一把任意角转化为0,360)内的角
3、后,如何进一步求出它的三角函数值 活动:（6+1 分）在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.学生思考讨论如下问题:90到 360的角能否与锐角相联系 讨论结果:（2 分）通过分析,归纳得出:如图 1.=,360,270,360,270,180,180,180,90,180 图 1,90,0提出问题 讨论锐角与o180的终边位置关系如何 它们与单位圆的交点的位置关系如何 任意角与o180呢 活动（6+1 分）:分为锐角和任意角作图分析:如图 2.引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的
4、关系.无论为锐角还是任意角,的终边都是的终边的反向延长线,利用图形还可以直观地解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是yxP,1和yxP,2.指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:图2tan180tan,cos180cos,sin180sinooo 并指导学生写出角为弧度时的关系式:tantan,coscos,sinsin 讨论结果:（2 分）锐角的终边与 180+角的终边互为反向延长线.它们与单位圆的交点关于原点对称.任意角与 180+角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题 类比研究o360与的关系如何（即（）与的关系）活动:（
5、6+1 分）让学生在单位圆中讨论与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角和的终边的位置关系。它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:tantan,coscos,sinsin 注意:无论 是锐角还是任意角,公式均成立.讨论结果:（1 分）角的终边与角的终边关于 x 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题 有了以上公式,我们再探讨与的关系如何 活动:（6+1 分）讨论与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角和的终边的位置关系。它们与单位圆的交点的位置关
6、系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:tantan,coscos,sinsin 强调无论是锐角还是任意角,公式均成立.讨论结果:（1 分）角的终边与角的终边关于 y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用 例 1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225。(2)311sin。(3)316sin。(4)cos(-2 040).活动（6+1 分）:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)co
7、s225=cos(180+45)=-cos45=22。(2)sin311=sin(43)=sin3=23。(3)sin(316)=-sin316=sin(5+3)=(sin3)=23。(4)cos(2 040)=cos2 040=cos(6360120)=cos120=cos(18060)=cos60=21.点评:利用公式一至四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，负化正、大化小，划到锐角才知道 课堂小结（2 分）.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.作业 课本习题 1.3 A 组 2、3、4.第 2 课时
8、引入：（2 分）上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.提出问题：终边与角的终边关于直线xy 对称的角有何数量关系 活动:（8 分）我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线xy 对称的角的数量关系.教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线xy 对称的两个角之间的数量关系,关于直线xy 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.讨论结果:（4 分）如图 3,设任意角的终边与单位圆的交点 P1的坐标为yx,由于角2的终边与角的终边关于直线xy 对称,角2的终边与单位圆的交
9、点 P2与点P1关于直线xy 对称,因此点 P2的坐标是xy,于是,我们有 xycos,sin图 3 xy2sin,2cos 从而得到公式五:xy2sin2cos 提出问题:能否用已有公式得出2的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式 活动:（8 分）教师点拨学生将2转化为2,从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为2可以转化为2,所以求2角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.讨论结果:（1 分）公式六 cos2sinsin2cos 例 1（8 分）化简.)23sin()sin()3sin()cos()23cos()2cos()cos()2sin(aaaaaaaa 活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.解:原式=)2(sin)sin()sin()cos()2(cos)sin)(cos)(sin(aaaaaaaa=)2sin()sin(sin)cos()2cos(cossin2aaaaaaa=acossin=tan.课堂小结（2 分）作业 1.课本习题 B 组 2.2.总结概括公式一至六