相似三角形难题汇总47553.pdf

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1、相似三角形难题汇总一、相似三角形中的动点问题1.如 图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过 点 B 作射线 BB1 AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于 H，过点 E 作 EF AC交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为t 秒（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2）当 DEG 与 ACB 相似时，求 t 的值2.如 图，在 ABC 中，ABC 90，AB=6m，BC=8m，

2、动 点P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1）当 t=2.5s 时，求CPQ 的面积；求 CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点D 在边 AB 上运动，DE 平分CDB 交边 BC 于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 ADCD 时，求证：DEAC；（

3、2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？4.如 图 所 示，在 ABC 中，BA BC 20cm，AC 30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为 x（1）当 x 为何值时，PQBC？（2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由5.如图矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点D 开

4、始向点 A 以 1cm/s 的速度移动若 P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）。（1）当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为 何 值 时，以 点 Q、A、P 为 顶 点 的 三 角 形 与ABC 相似？二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式8.在 ABC 中，AC=BC，ACB=90，点M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使 得 点 C 恰 好 落 在 边 AB 上 的 P 点 求 证：

5、MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10.已 知，如 图，直 线 y=2x 2 与 坐 标轴交于 A、B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 12。求 C、D 两点的坐标。三、构造相似辅助线A、X 字型 11.如 图：ABC 中，D 是 AB 上 一 点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：12.四 边 形 A

6、BCD 中，AC 为 AB、AD 的 比 例 中 项，且 AC平分DAB。求证：13.在梯形 ABCD 中，ABCD，ABb，CDa，E 为 AD 边上的任意一点，EFAB，且 EF 交 BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明14.已 知：如 图，在 ABC 中，M 是 AC 的 中 点，E、F 是BC 上的两点，且 BEEFFC。求 BN：NQ：QM四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点

7、，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证：17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD交于 O，过 O 作 EF/AB 分别交 AD、BC 于 E、F。求证：18.如图，在ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在ABC 上。求证：19.已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为a求证：五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图 1，点在平行四边形 ABCD 的对角线 BD上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平

8、行四边形 ABCD 的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）；21.已 知：如 图，ABC 中，AB AC，AD 是 中 线，P 是AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF于 F求证：BP2PEPF 22.如图，已知三角形 ABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC延长线于 H。求证：DE2=EGEH 23.已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD 的

9、延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证：24.已 知，如 图，锐 角 ABC 中，AD BC 于 D，H 为 垂 心（三角形三条高线的交点）；在 AD 上有一点 P，且BPC为直角求证：PD2ADDH。六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。求证：26 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的

10、中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.（1）求证：.（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由.28.如 图，四 边 形 ABCD、DEFG 都 是 正 方 形，连 接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证：29.如 图，BD、CE 分 别 是 ABC 的 两 边 上 的 高，过 D 作DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 七、相似基本模型应用 30.ABC 和 DEF 是 两 个 等 腰 直 角 三 角 形，A=D=90，DEF 的

11、顶点 E 位于边 BC 的中点上（1）如 图 1，设 DE 与 AB 交 于 点 M，EF 与 AC 交 于 点 N，求证：BEMCNE；（2）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求 BP：PQ：QR32.如 图，在 ABC 中，AD BC 于 D，DE AB 于

12、E，DFAC 于 F。求证：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4 AB=5 又AD=AB，AD=5t t=1，此时 CE=3，DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧，即：0t时，DE=3t+3-5t=3-2t 若DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点 D 在点 E 右侧，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2t-3 若DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=综上，t 的值为或或或3.答案：解：（1）证明：

13、AD=CD A=ACD DE 平分CDB 交边 BC 于点 E CDE=BDE CDB 为CDB 的一个外角 CDB=A+ACD=2ACD CDB=CDE+BDE=2CDE ACD=CDE DEAC（2）NCE=MBE EMBD，ENCD，BMECNE，如图 NCE=MBE BD=CD 又NCE+ACD=MBE+A=90 ACD=A AD=CD AD=BD=AB 在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8 AB=10 AD=5 NCE=MEB EMBD，ENCD，BMEENC，如图 NCE=MEB EMCD CDAB 在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8 AB=10 A=A，AD

14、C=ACB ACDABC 综上：AD=5 或时，BME 与CNE 相似4.答 案：解（1）由 题 意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当 PQBC 时，即：解得：（2）能，AP=cm 或 AP=20cm APQCBQ，则，即 解得：或（舍）此时：AP=cm APQCQB，则，即 解得：（符合题意）此时：AP=cm 故 AP=cm 或 20cm 时，APQ 与CQB 能相似5.答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若 QAP 为 等 腰 直 角 三 角 形，则 AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）t=2 时，QAP 为等腰

15、直角三角形（2）B=QAP=90 当QAPABC 时，即：，解得：（符合题意）；当PAQABC 时，即：，解得：（符合题意）当或时，以 点 Q、A、P 为 顶 点 的 三 角 形 与ABC 相似6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B 作 BDAC 则由上可知：90 由双垂直模型知：OCAADB A（2，1），45 OC2，AC1，AOAB ADOC2，BDAC1 D 点坐标为（2，3）B 点坐标为（1，3）此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限

16、过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B 作 BDAC 则由上可知：90 由双垂直模型知：OCAADB A（2，1），45 OC1，AC2，AOAB ADOC1，BDAC2 D 点坐标为（3，1）B 点坐标为（3，1）此时正比例函数表达式为：yx7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接 PC，过点 P 作 PDAC 于 D，则 PD/BC 根据折叠可知 MNCP 2+PCN=90，PCN+CNM=90 2=CNM CDP=NCM=90 PDCMCN MC：CN=PD：DC PD=DA MC：CN=DA：DC

17、 PD/BC DA：DC=PA：PB MC：CN=PA：PB 方法二：如图，过 M 作 MDAB 于 D，过 N 作 NEAB 于 E 由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则，根 据 等 比 性 质 可 知，而 MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：A解题思路：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M，交 x 轴于点N，则M=DNA=90，由于折叠，可以得到ABCADC，又由 B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND，设 CM=x，则 DN=3x

18、，AN=1x，DM3x3x，则。答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC 的延长线于 E。直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点 A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90 CBG=BAO 又CGB=BOA=90 OABGBC GB=2，GC=4 GO=4 C（4,4）同理可得ADFBAO，得 DF=2，AF=4 OF=5 D（5,2）（方法二）过 D 作 DGBC 交 AE 于 G 则ABEADG，CEFDGF，AD=

19、AC，BE=CE 12.答案：证明：过点 D 作 DFAB 交 AC 的延长线于点 F，则2=3 AC 平分DAB 1=2 1=3 AD=DF DEF=BEA，2=3 BEADEF AD=DF AC 为 AB、AD 的比例中项 即 又1=2 ACDABC 13.答案：解：证明：过点 E 作 PQBC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和点 Q ABCD，PQBC 四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形 PBEFCQ，又ABb，CDa APPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF 14.答案：解：连接 MF M 是 AC 的中点，EFFC MF AE 且 MFAE BEN B

20、FM BN：BMBE：BFNE：MF BEEF BN：BMNE：MF 1:2 BN：NM 1:1 设 NE x，则 MF 2x，AE 4x AN 3x MF AE NAQ MFQ NQ：QMAN：MF3:2 BN：NM1:1，NQ：QM3:2 BN：NQ：QM5:3:215.答案：证明：（1）如图 1，AD、BE 为ABC 的中线，且 AD、BE 交于点 O 过点 C 作 CFBE，交 AD 的延长线于点 F CFBE 且 E 为 AC 中点 AEOACF，OBDFCD，AC2AE EAOCAF AEOACF D 为 BC 的中点，ODBFDC BODCFD BOCF 同理，可证另外两条中线

21、三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图 2，AD 为ABC 的角平分线 过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD 的延长线于 E 则BAD=E AD 为ABC 的角平分线 BAD=CAD E=CAD ACCE CEAB BADCED 16.答案：证明：如图，作 DPAB，DQAC 则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且DPQ是等边三角形 BP+CQMN，DPDQPQ M、N 分别是边 AB，AC 的中点 MNBCPQ DPAB，DQAC CDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCAB AB（）17.答案：证明：EF/AB，AB/DC EF/DC AOE

22、ACD，DOEDBA，18.答案：证明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH 19.答案：证明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa 20.答案：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，DRP=S，RDB=DBS DRPBSP 同理由 ABCD 可证PTDPQB （2）证明：成立，理由如下：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，PRD=S，RDP=DBS DRPBSP 同理由 ABCD 可证PTDPQB 21.答案：证明:ABAC，AD 是中线，ADBC,BP=CP 1=2 又ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F,4=F 又EPC=CPF

23、 EPCCPF BP2PEPF 即证所求22.答案：证明：DEAB 90 90 ADEDBE DE2=BFAC 90 90且 BEGHEA DE2=EG•EH23.答案：证明：四边形 ABCD 为平行四边形 ABCD，ADBC 1=2，G=H，5=6 PAHPCG 又3=4 APECPF 24.答案：证明：如图，连接 BH 交 AC 于点 E，H 为垂心 BEAC EBC+BCA=90 ADBC 于 D DAC+BCA=90 EBC=DAC 又BDH=ADC=90 BDHADC，即 BPC 为直角，ADBC PD2BD·DC PD2AD·DH25.答 案：

24、证 明：CD 是 RtABC 斜 边 AB 上 的 高，E 为BC 的中点 CE=EB=DE B=BDE=FDA B+CAB=90，ACD+CAB=90 B=ACD FDA=ACD F=F FDAFCD ADC=CDB=90，B=ACD ACDCBD 即26.答案：证明：（1）ACBADC90 AACD90 BCMACD90 ABCM 同理可得：MDHMBD CMBCDBMBD90MBD ADEADCMDH90MDH ADECMB AEDCBM（2）由上问可知：，即 故只需证明即可 AA，ACDABC ACDABC，即 27.答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明FDBFCD（已经有一

25、个公共角F）RtACD 中，E 是 AC 的中点 DE=AE A=ADE ADE=FDB A=FDB 而A+ACD=90 FCD+ACD=90 A=FCD FCD=FDB 而F=F FBDFDC （2）判断：GD 与 EF 垂直 RtCDB 中，G是 BC 的 中 点，GD GB GDB=GBD 而 GBD+FCD=90 又FCD=FDB（1 的结论）GDB+FDB=90 GDEF28.答 案：证 明：由 四 边 形 ABCD、DEFG 都 是 正 方 形 可 知，ADC=GDE=90，则CDG=ADE=ADG+90 在和中 则DAM=DCN 又ANM=CND ANMCND 则 29.答案：证

26、明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG 构成母子型相似。BDGDCG DG2BG·CG（2）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGGF·GH GFC=EFH，而EFH+H=90，GFC+FCG=90 H=FCG 而HGB=CGF=90 HBGCFG BG·CGGF·GH30.答案：（1）证明：MEBNEC18045135 MEB EMB NEC EMB 又 B=C BEM CNE （2）COE EON 证 明：OEN=C45，COEEON COEEON31.答案：解：（1）BCPBER，CQPDQR，ABPCQP，DQRABP（2）ACDE BCPBER 四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形 AD=BC，AD=CE BC=CE，即点 C 为 BE 的中点 又ACDE CQPDQR 点 R 为 DE 的中点 DR=RE 综上：BP：PQ：QR3：1：232.答案：证明：ADBC，DEAB ADBAED ADAE AB 同理可证：ADAF AC AE ABAF AC