相似三角形难题集锦.pdf

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1、 相似三角形 1.如图，在 Rt ABC 中，/ACB=90,AC=3 BC=4 过点 B 作射线 BB1/AC.动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时 动点 E从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动.过点 D 作 DHL AB 于 H,过点 E 作 EFL AC 交射线 D 运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时，AD=AB 并求出此时 DE 的长度；(2)当厶 DEG 与 ACB 相似时，求 t 的值.BB1 于 F,G 是 EF 中点，连接 DG 设点 2.如图，在 ABC 中，/ABC=90,AB=6m BC=8m 动点 P

2、 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移 动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止 移动.设移动的时间为 t 秒.(1)当 t=2.5s 时，求 CPQ 的面积；求 CPQ 的面积 S(平方米)关于时间 t(秒)的函数解析式；(2)在 P,Q 移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值.C 3.如图 1,在 Rt ABC 中，_ ACB=90,AC=6,BC=8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分_ CDB 交边 BC 于点 EML BD 垂足为 M,EN CD,垂足为 N.(1)当

3、AD=CD 时，求证：DE/AC(2)探究：AD 为何值时，BME-与 CNE 相似?4.如图所示，在 ABC 中，同时点 Q 从 C 点出发，沿 时间为 x.(1)当 x 为何值时，PQ/BC?(2)APQ-与 CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由.5.如图，在矩形 ABCD 中,AB=12cm BC=6cm 点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 点 D开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间(0 v t 6)。(1)当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？(2)当 t 为何值时，

4、以点 Q A、P 为顶点的三角形与 ABC 相似？6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段 0A 的夹角是 45 例函数的表达式.BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动;CA以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动.E,B 设运动的 D Q 沿 DA 边从，求这个正比 7.在厶 ABC 中，AB=心，AC=4,BC=2 以 AB 为边在 C 点的异侧作 ABD,使厶 ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长.8.在厶 AB

5、C 中，AC=BCZ ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点.求证：MC NC=AP PB.9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 勺边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对 角线AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E.那么 D 点的坐标为()D D X A.匕5 10.已知，如图，直线 y=-2x+2 与坐标轴交于 A B 两点.的两边之比为 1:2。求 C、D 两点的坐标。B.C.D.以 AB 为短边在第一象限做一个矩形

6、 ABCD 使得矩形 11.如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC BC 边上的中线 AB CF 12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB AD 的比例中项，且 AC 平分/BE BC2 AE 交 CD 于 F。DAB 13.在梯形 ABCD 中,AB/CD AB=b,CD=a,E 为 AD 边上的任意一点，EF/AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：DE 当一二 DE 丝1(1)当一 时,DE,a+b EF=_;(2)当时,出证明.EF=.当 D C 0+笳 二 2 -时，EF=?；A y B A k 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b

7、 和 k 表示 EF 的一般结论，并给 O r 14.已知：如图，在 ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BE=EF=FC。求 BN NQ QM 2 15.证明：(1)重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 _.(注：重心是三角形三条中 线的交点).(2)角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.16.如图，在等边厶 ABC 中,M N 分别是边 AB,AC 的中点，D 为 MN 上任意一点，BD CD 的延长线分别交 AC AB 于点E、F.26 如图，在 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点

8、 M 在 CD 上,DHL BM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：(1)AEDA CBM(2)AE-CMACCD 27.如图，ABC 是直角三角形，/ACB=90,CDLAB 于 D,E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交 于点F.(1)求证：FI=FB FC.(2)若 G 是 BC 的中点，连接 GD GD 与 EF 垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形 ABCD DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N.求证:.-+-=-求证:二？F 二.17.已知：如图，梯形 ABCD 中,AB/DC,对角线 AC BD

9、 交于 0,过 O 作 EF/AB 分别交 AD BC 于 E、Fo J _=J_ 求证石 18.如图，在 ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH 勺四个顶点分别在厶 ABC 上。1 1 1 H-求证：I 三.j _ 19.已知，在 ABC 中作内接菱形 CDEF 设菱形的边长为 a 求证：花亦_；.20.(1)如图 1，点丄在平行四边形 ABCD 勺对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA,BC 的延长线于点 Q,S,交丄.L于点.求证：-图 2 ga 21.如图，在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE BC 垂足为 E，连接 DE F 为线段 DE 上一

10、点，且/AFE=Z B.求证：ADFA DEC(2)若 AB=4,AD=3,3,AE=3,求 AF 的长.22.如图，已知等腰三角形 ABC 中,AD,BF 分别为 BC,AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E,交 BF 于 G 交 AC延长线于 Ho 求证:DE=EG?EH 23.已知如图，P 为平行四边形 的延长线分别相交于点 PH E、F、ABCD 的对角线 G H.AC 上一点，过 P 的直线与 AD BC CD 的延长线、AB PE PG 24.已知，如图，直角.求证：PD=AD-锐角 ABC 中，ADL BC 于 D,DH o H 为垂心(三角形三条高线的交点)；

11、在 AD 上有一点 P,且/25.已知如图，CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高,求证：止 E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 Fo P(2)如图 2,图 3,当点厂在平行四边形 ABCD 的对角线 A 或一匚的延长线上时，亠-=：一-7 是 否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图 2 为例进行证明或说明)；I：B D E BPC为 D C 29.如图，BD CE 分别是 ABC 的两边上的高，过 D 作 DGL BC 于 G 分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。2 求证：(1)DG=BG-CG(2)BG-CG=GF-GH 30.ABCWA

12、 DEF 是两个等腰直角三角形，/A=Z D=90,A DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上.(1)如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M EF与 AC 交于点 N,求证：BEMhA CNE(2)如图 2,将厶 DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M EF 与 AC 交于点 N,于是，除(1)中的 一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.B E C D 31.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC CD于点 P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1 除外);(2)求

13、 BP PQ QR AE _ AC 32.如图，在 ABC 中,AD 丄 BC 于 D,DE AB 于 E,DF 丄 AC 于 F。求证：乩：33.如图，RtA AB C 是由Rt ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点E,CC 的延长线交BB 于点F.(1)证明：AC&A FBE(2)设/ABC，/CAC=一：，试探索、一：满足什么关系时，ACE与 FBE是全等三角形，并说明理由.34.在直角梯形 OAB(中,CB/OA/C(A=90o,CB=3,OA=6,BA=3 西分别以 标系.(1)求点B的坐标；(2)已知 D E分别为线段 OC OB上的点，OD=5,OE=2EB,直线

14、DE交x轴于点(3)点皿是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点 四边形是菱形？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.为x轴、y.轴建立如图 1 所示的平面直角坐 C B OA OC边所在直 35.在图 15-1 至图 15-3 中，直线Mh与线段AB相交于点O,/1=/2=45(1)如图 15-1，若AO=OB请写出AO与 BD的数量关系和位置关系；(2)将图 15-1 中的MN绕点O顺时针旋转得到图 15-2，其中AO=OB求证：AC=BD(3)将图 15-2 中的OB拉长为AO的k倍得到图 15-3，求BD的值.析 P.F.求直线DE的解 N.使以O

15、 D y A E+式；为顶点的 AC 36.如图，在正方形 ABCDL E是BC上的一点，连结AE作BF丄AE垂足为 H交CD于 F,作C FC2=GF 2.AB GB(1)求证 CGBH(2)FC=BF GF G H C M B C M AC D E C M O 辱-图 15-1 B F x A D 2 O B A C 37.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，/B=90,Z A=3CN,D=90,Z E=45,DE=4 cm.图是刘卫同学所做的一个实验：他将 DEF 的直角边。已与厶 ABC 的斜边 起，并将 DEF 沿 AC 方向移动.在移动过程中，(1)在

16、厶 DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：(D E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 F、C 两点间的距离逐渐.D 与点 A 重合).填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当 DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F、C 的连线与 AB 平行？问题：当 DEF移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD FC BC 的长度为三边长的三角 问题：在 DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得Z FCD=15?如果存在，求出 AD 的长度；如果不存在，请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.A O 图 15

17、-2 BC=6cm AC 重合 C 形是直角三角形?图中，Z M 在 一 图 15-3 38.已知 ABC 中，AB=2 5,AC=4、5,BC=6(1)如图 1 点 M为AB 的中点，在线段 AC 上取点 汕使厶 AMN 与 ABC 相似，求线段 MN 的长；(2)如图 2,是由 100 个边长为 1 的小正方形组成的 10X10 正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网 格中画出格点 ABC，使得 ABC 与厶 ABC 全等(画出一个即可，不需证明)试直接写出在所给的网格中与 ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个(不需证明)(3)在图(

18、2)中，若 AB=AC=10 BC=12,当厶 DEF 的面积等于 ABC 的面积的丄时，求线段 EF 的长.4 41.如图，已知正方形 ABCD 中,BE 平分乙DBC且交 CD 边与点 E,将-BCE绕点 C 顺时针旋转到 DCF的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G(1)求证：=BDG S DEG;42.如图，在 Rt ABC 中，/ABC=90,BA=BC 点 D 是 AB 的中点，连接 CD 过点 B 作 BG 丄 CD 分别交 GD CA 于点 E、F,与过点 A 且垂直于的 直线相交于点 G,连接 DF.给岀以下四个结论：c 39.已知直角坐标系中菱形 ABC的位置如图，C,D

19、两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D 运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为(1)填空：菱形 ABC的边长是 _、(2)探究下列问题：若点P的速度为每秒 1 个单位，点 若点P的速度为每秒 1 个单位，点 后两个三角形组成的四边形为菱形 面积是、咼 t秒.BE的长是 Q的速度为每秒 Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中.请探究当t=4 秒时的情形，并求出 2 个单位.当点Q在线段BA上时，求 APC的面积S关于t的函数关系式，以及 S的最大值。,任何时刻都有相应的 k值，使得 APC沿它的一边翻折，翻折前 备用图 圏 DM 交 AC 边于点 E,不添加辅助线，写出图中所有与 B.丑i(1)如图(1)当射线 DN 经过点 的三角形.(2)如图(2)，将/MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM DN 分别交线段 AC AB 于 E，F 点 的相似三角形，并证明你的结论.A 时,ADE 相似(点 E 与点 A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有 圉2 k的值.D B C D 40.ABC 中,AB=AC D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作/MDN=丄-二_;点 F 是 GE 的中点；AF=:AB;SWC=SABDF，其中正确的结论序号是 ABFB 3