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1、1.成比例的数（线段）：成比例的数（线段）：叫做四个数叫做四个数成比例。成比例。那么或若,:cbaddcbadcba=,若若 a、b、c、d 为四条线段为四条线段，如果，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段那么这四条线段a、b、c、d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d=其中其中：a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项，a、d 叫做比例叫做比例外项外项，b、c 叫做比例叫做比例内项内项，比例的性质：比例的性质：bcaddcba=;若若 a、b、c、d 为四条线段为四条线段，如果，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段那么这四条
2、线段a、b、c、d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d=1、若、若a,b,c,d成比例成比例,且且a=2,b=3,c=4,那么那么d=62、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（）A.2 ,3,4,1 B.1.5 ,2.5 ,6.5 ,4.5 C.1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D.1 ,2 ,2 ,4 练习练习:Dmn m=n56已知 ,求 的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn 65=方法(2)因为 ,所以5m=6n m6 n5=6mn=所以53、5、已知已知1,2,3三个数，请你再添上一个数，三个
3、数，请你再添上一个数，写出一个比例式。写出一个比例式。6或或2/3或或1.52.比例中项：比例中项：当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时，即即a bb c=，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做叫做a 和和 c 的的比例中项比例中项.2acb=即：即：3.黄金分割：黄金分割：ACB定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。ABC ABC,如果如果BC=3,BC=1.5,那么那么 ABC与与 ABC
4、的相似比为的相似比为_.三角形相似的判定方法有哪几种三角形相似的判定方法有哪几种?预备定理预备定理ABCDEDEABCDEBC,DEBC,ADEABCADEABC相似三角形判定定理相似三角形判定定理1 1：两个角对应相等的两个三角：两个角对应相等的两个三角形相似形相似A AB BC CD DE EF F相似三角形判定定理相似三角形判定定理2 2：两边对应成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似.ABCDEFA AB BC CD DE EF F相似三角形判定定理相似三角形判定定理3 3：三边对应成比例的两：三边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似.ABCDEF
5、ABCDEF相似三角形的判定：相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交）平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角所构成的三角形与原三角形相似；形与原三角形相似；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似；）有两个角对应相等的两个三角形相似；（3）两边对应成比例）两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似；且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边对应成比例的两个三角形相似）三边对应成比例的两个三角形相似.ADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：相似三角
6、形的性质：相似三角形的性质：1 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比等于相似比等于相似比3 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方、相似三角形的面积比等于相似比的平方二二.知识应用知识应用:1.找一找找一找:(1)如图如图1,已知已知:DE BC,EF AB,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似.(2)如图如图2,已知已知:ABC中中,ACB=Rt ,CD AB于于D,DE BC于于E,则图中共有则图中共有_个三角形和个三角形和ABC相似相似.ABCDE
7、F如图如图(1)3EABCD如图如图(2)4ADBEC1324(4)已知已知:四边形四边形ABCD内接于内接于 O,连结连结AC和和BD交交于点于点E,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似.ABCDEO(5)已知已知:四边形四边形ABCD内接于内接于 O,连结连结AC和和BD交交于点于点E,且且AC平分平分BAD,则图中共有则图中共有_对三对三角形相似角形相似.ABCDEO1234626.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子的样子,假设图形中的所有点假设图形中的所有点,线都在同一平面内线都在同一平面内,试写试写出一对相似三角形
8、出一对相似三角形(不全等不全等)_.GABCDEF1ADE、BAE、CDA都相似都相似1.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中的中点，点点，点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则，则当当CN=_时，时，CMN与与ADE相似。相似。EABCDMN1或或4练一练练一练:2.在平面直角坐标系，在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，3）,C（3，0）,点点P在在y轴的正半轴上运动，若轴的正半轴上运动，若以以O，B，P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似，则相似，则点点P的坐标是的坐标是_.yABCxOP（0，1.5）或（）或（0，2/3）练一练练一
9、练E EA AB BC C.3 3、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=5,AC=4,E,AB=5,AC=4,E是是ABAB上一点上一点,AE=2,AE=2,在在ACAC上取一点上取一点F,F,使以使以A A、E E、F F为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABCABC相似相似,那么那么AF=_AF=_F2F F1 1练一练练一练4 4、如图如图,在直角梯形中在直角梯形中,BAD=D=ACB=90,BAD=D=ACB=90。，CD=4,AB=9,CD=4,AB=9,则则 AC=_AC=_ D DA AB BC C6 5 5、如图、如图,已知点已知点P P是边长为是边长为4 4的正方形的正方
10、形ABCDABCD内的一点，内的一点，且且PB=3PB=3，BFBFBP.BP.试问在射线试问在射线BFBF上是否存在一点上是否存在一点E E，使以点使以点B B、E E、C C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABPABP相似相似?若存在若存在,请求出请求出BEBE的长的长;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.F FC CA AB BD DP P练一练练一练B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒练一练练一练6 6、在、在 ABCABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向边向B B点以点以2
11、cm/2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC向点向点C C以以4cm/4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，经同时出发，经几秒钟几秒钟 BPQBPQ与与 BACBAC相似？相似？1 1ACP=BACP=BA AC CB BP P2 2或或APC=ACBAPC=ACB或或AP:AC=AC:ABAP:AC=AC:AB练一练练一练7 7、如图点、如图点P P是是ABCABC的的ABAB边上的一点边上的一点,要使要使APCACB,APCACB,则需补上哪一个条件则需补上哪一个条件?8 8、如图、如图,点点
12、C,DC,D在线段在线段ABAB上上,PCD,PCD是等边三角形是等边三角形.(1)(1)当当AC,CD,DBAC,CD,DB满足怎样关系时满足怎样关系时,PCABDP.,PCABDP.(2)(2)当当PCA BDPPCA BDP时时,求求APBAPB的度数的度数.P PB BC CD DA A练一练练一练9 9、如图如图D,ED,E分别分别AB,ACAB,AC是上的点是上的点,AED=72,AED=72o o，A=58A=58o o，B=50B=50o o,那么那么ADEADEADEADE和和和和ABCABCABCABC相似吗？相似吗？相似吗？相似吗？A AE EB BD DC C若若AE=
13、2,AC=4,AE=2,AC=4,则则BCBC是是DEDE的的 倍倍.练一练练一练A AP PB BC C1010、若若 ACPABCACPABC，AP=4AP=4，BP=5BP=5，则，则AC=_AC=_，ACPACP与与ABCABC的相似比是的相似比是_，周长之比是，周长之比是_，面积之比是，面积之比是_。6 62 2:3:32 2:3:3练一练练一练4:94:91111、如图：已知、如图：已知ABCABCCDBCDB9090，ACAC5cm5cm，BC=3cmBC=3cm，当，当BDBD取多少取多少cmcm时时 ABCABC和和BDCBDC相似？相似？4 4D DA AB BC C5 5
14、3 3DCHGAEFB(2)以正方形的边长等量过渡.（3）请找出图中的相似三角形）请找出图中的相似三角形练一练练一练1313、在、在平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,AE:BE=1:2.,AE:BE=1:2.ABCDEF若若S SAEFAEF=6cm=6cm2 2,则则S SCDF CDF=cmcm2 25454S S ADFADF=_cm=_cm2 21818练一练练一练 1414、如图（），、如图（），中，中，则，则:四边形四边形:四边形四边形=_=_答案：答案：画一画画一画:1 1、如图、如图,在在ABCABC和和DEFDEF中中,A=D=70,A=D=700 0,B=50B=5
15、00 0,E=30,E=300 0,画画直线直线a,a,把把ABCABC分成两个三角形分成两个三角形,画画直线直线b b,把把DEFDEF分成两个三角形分成两个三角形,使使ABCABC分成的分成的两个三角形和两个三角形和DEFDEF分成的两个三角形分别相似分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据要求标注数据)300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200A AB BC C画一画画一画 2 2、在方格纸中在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点每个小格的顶点叫做格点,以格以格点为顶点的三角形叫做格点三角形点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图在
16、如图4 44 4的格的格纸中纸中,ABC,ABC是一个格点三角形是一个格点三角形(1)(1)在右图中在右图中,请你画一个格点三角请你画一个格点三角形形,使它与使它与ABCABC相似相似(相似比不为相似比不为1)1)(2)(2)在右图中在右图中,请你再画一个格请你再画一个格点三角形点三角形,使它与使它与ABCABC相似相似(相相似比不为似比不为1),1),但与图但与图1 1中所画的中所画的三角形大小不一样三角形大小不一样.A AB BC CA AB BC CA AB BC C2 25 512 25 51 12 25 51 1例例1 1、如图、如图,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是DC
17、DC中点中点,FC=BC.,FC=BC.求证求证:AEEF:AEEF证明证明:四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形BC=CD=ADBC=CD=AD，D=C=90D=C=90E E是是BCBC中点，中点，FC=BCFC=BCADEECFADEECFA AB BC CD DE EF F1 12 23 31=21=2D=90D=901+3=90 1+3=90 2+3=902+3=90 AEEFAEEF例例2 2、如图、如图,DEBC,EFAB,DEBC,EFAB,且且S SADEADE=25,S=25,SCEFCEF=36.=36.求求ABCABC的面积的面积.A AB BC CD DE E
18、F F25253636解：解：DEBCDEBC，EFABEFABA=CEFA=CEF，AED=CAED=CADEEFCADEEFCDEBCDEBCADEABCADEABC S SADEADE=25=25S S ABCABC=121=121A AB BC CD DE EO O例例3 3、如图、如图,O,O是是ABCABC的外接圆的外接圆,AB=AC.,AB=AC.求证求证:AB:AB2 2=AE=AEADAD证明：连接证明：连接BDBDAB=ACAB=ACADB=ABEADB=ABE又又BAD=EABBAD=EABABCAEBABCAEBABAB2 2=AE=AEADAD=证明：证明：CD AB
19、，E为为AC的中点的中点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB=Rt A=FCD=900-CBA FDB=FCD F=F FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例4 如图，如图，CD是是RtABC斜边上的高，斜边上的高，E为为AC的中点，的中点，ED交交CB的延长线于的延长线于F。CEADFB求证：求证：BDCF=CDDF例例5.5.过过ABCDABCD的一个顶点的一个顶点A A作一直线分别交对角线作一直线分别交对角线BDBD、边、边 BCBC、边、边DCDC的延长线于的延长线于E E、F F、G.G.求证：求证：EAEA2 2=EF=EF EG.E
20、G.分析：分析：要证明要证明 EA2=EF EG，即即 证明证明 成成立，而立，而EA、EG、EF三三条线段在同一直线上，条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：比例的方法。可证明：AEDFEB，AEB GED.证明：证明：ADBF ABBC AED FEB AEB GED D D E E F F A A B BC C G G例例6 6、如图、如图,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0，四边形，四边形BEDCBEDC为正为正方形方形,AE,AE交交BCBC于于F,FGACF,FGAC交交ABAB于
21、于G.G.求证求证:FC=FG.:FC=FG.证明证明:四边形四边形BEDCBEDC为正方形为正方形CFDE CFDE ACFADEACFADE 又又FG ACBEFG ACBEAGFABEAGFABE 由由可得：可得：又又 DE=BEDE=BEFC=FGFC=FG D D E EA A B B C C例例7 7、如图、如图,AB/AD=BC/DE=AC/AE.,AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1)(1)求证求证:BAD=CAE;:BAD=CAE;(2)(2)若已知若已知 AB=6,BD=3,AC=4,AB=6,BD=3,AC=4,求求 CE CE 的长的长.(1)得得ABCADEABC
22、ADE BAC=DAEBAC=DAE BAC-DAC=DAE-DACBAC-DAC=DAE-DAC 即即BAD=CAEBAD=CAE(2)(2)由由BAD=CAEBAD=CAE ABDACEABDACE 证明：证明：D QABCP1.如图如图,边长为边长为4的正方形的正方形ABCD中中,P是边是边BC上的一点上的一点,QPAP 交交 DC于于Q,设设 BP=x,ADQADQ的面积为的面积为y.y.(1)(1)求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式,并求自变量并求自变量x x的取值范围的取值范围;(2)(2)问问P P点在何位置时点在何位置时,ADQ,ADQ的面积最小的面积最小?最
23、最小小面积是多少面积是多少?相似三角形性质应用相似三角形性质应用 H HP P D D E E F F G GA AB BC C2.2.如图如图,ADBC,D,ADBC,D为垂足为垂足,AD=8,BC=10,EFGH,AD=8,BC=10,EFGH是是ABCABC内接矩形内接矩形,(H,(H、G G是是BCBC上的两个动点上的两个动点,但但H H不到达点不到达点B,GB,G不到达点不到达点C)C)设设 EH=x,EF=yEH=x,EF=y(1)(1)求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式,并求自变量并求自变量x x的取值范围的取值范围;(2)(2)当当EF+EH=9EF+EH=9
24、时时,求矩形求矩形EFGHEFGH的周长和面积的周长和面积.相似三角形性质应用相似三角形性质应用A AP PB BC CM MD DN N相似三角形性质应用相似三角形性质应用,的面积最大。的面积最大。何处时，何处时，在在的函数解析式，且点的函数解析式，且点与与，求，求面积为面积为高高中，中，如图，如图，PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABCD DD D=D D,/,/,10,123 3、4 4、如图、如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BAC=90,BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一个动点边上的一个动点(不与不与B B、C C重合
25、），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E（1 1）求证：）求证：ABDDCEABDDCE（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长拓展提高拓展提高1 1 如图如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BAC=90,BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边
26、上的边上的一个动点一个动点(不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDDCEABDDCEADCADC是是ABDABD的外角的外角ADC=ADE+2=B+1ADC=ADE+2=B+1）2 21 1证明：证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90B=C=45B=C=45又又ADE=45ADE=45ADE=BADE=B1=21=2 ABDDCEABDDCEA AB BC CD DE E（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变
27、量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值解：解：ABDDCEABDDCE1 1当当时时 如图如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BAC=90,BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的边上的一个动点一个动点(不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长AD=AEAD=AEAE=DEAE=DEDE=ADDE=AD 如图如图,在等腰在等腰A
28、BCABC中中,BAC=90,BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的边上的一个动点一个动点(不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=451 1A AB BC CD DE E分类讨论分类讨论5 5、如图、如图,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AB,ABCD,CD,A=90A=900 0,AB=2,AB=2,AD=5,PAD=5,P是是ADAD上一动点上一动点(不与不与A A、D D重合重合),),，交于点交于点（）（）ABPABP与与DPEDPE是否相似？请说明理由是否相似？请说明理由；（）
29、设（）设x x=y=y，求，求y y与与x x之间的之间的函数关系式函数关系式,并指出自变量并指出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形ABEDABED能能否构成矩形？如果能，求出否构成矩形？如果能，求出APAP的长；如果不能，的长；如果不能，请说明理由；请说明理由；（4 4）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，运动的过程中，BPEBPE能否成为等腰三角能否成为等腰三角形？如果能，求出形？如果能，求出APAP的长，如果不能，请说明理由。的长，如果不能，请说明理由。C CA AB BD DP PE E2 2
30、5 5x xy y5-x5-x拓展提高拓展提高6.6.如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中中 ADBCADBC ，ABC=90ABC=90，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=10AB=10，在线段，在线段BCBC上任取一上任取一P P，作，作射线射线PEPDPEPD，与线段，与线段ABAB交于点交于点E.E.（1 1）试确定）试确定CP=5CP=5时点时点E E的位置；的位置；（2 2）若设）若设CP=xCP=x，BE=yBE=y，试写出，试写出y y关于自变量关于自变量x x的函数关系式，并求的函数关系式，并求出自变量出自变量x x的取值范围的取值范围.提示提示：体会这个图形的
31、：体会这个图形的“模型模型”作用，将会助你快速解题！作用，将会助你快速解题！BCADEPHCEPAD拓展提高拓展提高7.7.如图，已知抛物线与如图，已知抛物线与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点点.（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）抛物线上有一点）抛物线上有一点P P，满足，满足PBC=90PBC=90，求点，求点P P的坐标；的坐标；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，问在）的条件下，问在y y轴轴上是否存在点上是否存在点E E，使得以，使得以A A、O O、E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与PBCPBC相似？若相似？若存在，求出点存在，求出点E E的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由.ABPCOxyX=423Q6拓展提高拓展提高