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1、期中复习期中复习三角形的三边三角形的三边v定义定义:由三条不在同一条直线上的线由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形段首尾顺次连结组成的平面图形 vv三边关系：两边之和大于第三边，两三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边边之差小于第三边vv周长：三边之和等于周长周长：三边之和等于周长abca+bca-ba+cba-cb+cab-c周长周长周长周长=a+b+c第十一章三角形特特殊的殊的三角形三角形v等腰三角形等腰三角形:由两条边相等的三角形由两条边相等的三角形叫做等腰三角形。叫做等腰三角形。vv等边三角形：三边都相等，三角也相等边三角形：三边都相等，三角也相等的三角形叫
2、做等边三角形。等的三角形叫做等边三角形。vv直角三角形：有一个角是直角度三角直角三角形：有一个角是直角度三角形叫做直角三角形。形叫做直角三角形。ABCABCABC三角形的高三角形的高v定义定义:由三角形的一个顶点向对边由三角形的一个顶点向对边作的垂直线段叫做三角形的高。作的垂直线段叫做三角形的高。v三高关系：三角形的三条高相交于三高关系：三角形的三条高相交于一点。一点。v面积：三角形的面积等于一边与这面积：三角形的面积等于一边与这边上的高之积的一半边上的高之积的一半.FEADCBS=BCAD =ABCF =ACBE三角形的中线三角形的中线v定义定义:三角形的一个顶点与对边中点三角形的一个顶点与
3、对边中点连接的线段叫做三角形的中线。连接的线段叫做三角形的中线。vv三中线关系：三角形的三条中线相交三中线关系：三角形的三条中线相交于一点。于一点。vv等分面积：三角形的每条中线把三角等分面积：三角形的每条中线把三角形的面积分成相等的两部分。形的面积分成相等的两部分。ABCDABCDEF三角形的角平分线三角形的角平分线v定义定义:在三角形中，一个内角的角平在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。分线。v三三角平分线角平分线关系：三角形的三条角平关系：三角形的三条角平分线相交于
4、一点。分线相交于一点。DACBDACBEF三角形的内角和三角形的内角和v定理定理:三角形的内角和等于三角形的内角和等于 180BACA+B+C=180三角形的外角三角形的外角v定义定义:延长三角形的一边与另一边延长三角形的一边与另一边所构成的角叫做三角形的外角。所构成的角叫做三角形的外角。vv外角定理：外角定理：三角形任意一个外角等于三角形任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。和它不相邻的两个内角的和。vv推论：三角形的一个外角大于任何一推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。个和它不相邻的内角。ABDC外角外角ACD=A+BACDA ACD B关于多边形的几个概念关于多边形的
5、几个概念定义：定义：一般地，由一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形边形，又称为多边形对角线：对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边线段叫做多边形的对角线形的对角线.关于特殊的多边形关于特殊的多边形定义：定义：如果多边形各边都相等，各个角也都相如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形等，那么这样的多边形就叫做正多边形.正五边形正五边形正六边形正六边形 正八边形正八边形正三角形正三角形正四边形正四边形关于多边形的定理关于多边形的定理内
6、角和定理内角和定理：n边形的内角和等边形的内角和等于于(n2)180.外角和定理：外角和定理：多边形的外角和都多边形的外角和都等于等于360.重要结论：重要结论：n边形从一个顶点出边形从一个顶点出发，能引出发，能引出n-3条对角线可把条对角线可把n边形分成了边形分成了n-2个三角形？个三角形？多边形的对角线条数多边形的对角线条数:(n-3)n2多边形的一个外角和它相邻的内角的关系多边形的一个外角和它相邻的内角的关系:互为邻补角互为邻补角正多边形的每一个内角的度数正多边形的每一个内角的度数:正多边形的每一个外角的度数正多边形的每一个外角的度数:第十二章、全等三角形第十二章、全等三角形证明全等的方
7、法有：证明全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）（直角三角形）注意：注意：不要忘记不要忘记公共角公共角、公共边公共边、对顶角对顶角这些隐含这些隐含条件条件1 1、已知、已知AC=BDAC=BD，AE=CFAE=CF，BE=DFBE=DF，问，问AEAECFCF吗吗？ACBDEF2 2、已知、已知点点B B是线段是线段ACAC的中点，的中点，BD=BEBD=BE，1=21=2.证明：证明：ADB CEBADB CEBCAED12B3 3、如、如图，已知图，已知BEBE与与CDCD相交于点相交于点O O，且且AB=ACAB=AC，ADC=AEBADC=AEB，证明，证明:
8、AD=AE:AD=AEABCDEO4 4、如、如图，已知图，已知AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，试说明，试说明E=E=F F 的的理由理由ABEFDCO5 5、已知，、已知，ACACCECE，ACAC=CECE，ABCABC=DECDEC=90=900 0，问问BDBD=ABAB+EDED吗？吗？ABCDE6 6、在、在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90AC=BCAC=BC，直线，直线MNMN经过点经过点C C，且，且ADMNADMN于于D D，BEMNBEMN于于E E（1 1）当）当MNMN绕点绕点C C旋转到图旋转到图1 1的位置时，请你探究线段的位置时，请你探究线
9、段DEDE、ADAD、BEBE之间的数量关系；之间的数量关系；（2 2）当）当MNMN绕点绕点C C旋转到图旋转到图2 2的位置时，你在（的位置时，你在（1 1）中得到的结论）中得到的结论是否发生变化？是否发生变化？（3 3）当）当MNMN绕点绕点C C旋转到图旋转到图3 3的位置时，你在（的位置时，你在（1 1）中得到的结论）中得到的结论是否发生变化？是否发生变化？7 7、图、图1 1、图、图2 2中，点中，点C C为线段为线段ABAB上一点，上一点，ACMACM与与CBNCBN都都 是等边三角形是等边三角形（1 1）如图）如图1 1，线段，线段ANAN与线段与线段BMBM是否相等？证明你的
10、结论；是否相等？证明你的结论；（2 2）如图）如图2 2，ANAN与与MCMC交于点交于点E E，BMBM与与CNCN交于点交于点F F，探究，探究 CEFCEF的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论二、角平分线二、角平分线（一）、性质（一）、性质AP平分平分BAC（或者（或者BAP=CAP），），PDAB，PEACPD=PE（二）、判定（二）、判定PD=PE，PDAB，PEACAP平分平分BAC1 1、如图，如图，OMOM平分平分POQPOQ，MAMAOPOP,MBMBOQOQ，A A、B B为垂足，为垂足，ABAB交交OMOM于点于点N N 求证：求证：OABOAB=OBAOBA2
11、2、如图，点、如图，点D D、B B分别在分别在A A的两边上，的两边上，C C是是A A 内一点，且内一点，且ABABADAD，BCBCDCDC，CECEADAD，CF CFABAB，垂足分别为，垂足分别为E E、F F，求证：求证：CECECFCF。3、4 4、如图，已知、如图，已知AB=CDAB=CD，EABEAB的面积与的面积与 ECDECD 的面积相等的面积相等.求证：求证：FEFE平分平分AFDAFD5 5、已知：如图，、已知：如图，B=C=90B=C=90，M M是是BCBC的中的中点，点，DMDM平分平分ADCADC（1 1）若连接）若连接AMAM，则，则AMAM是否平分是否平
12、分BADBAD？请你？请你证明你的结论；证明你的结论；（2 2）线段）线段DMDM与与AMAM有怎样的位置关系？请说明有怎样的位置关系？请说明理由理由6 6、如图、如图11-111-1，已知在四边形，已知在四边形ABCDABCD中，中，对角线对角线BDBD平分平分ABCABC，且且BADBAD与与BCDBCD互补，求证：互补，求证：ADADCD.CD.三、垂直平分线三、垂直平分线（一）、性质（一）、性质CD垂直平分垂直平分ABCA=CB,DA=DB,OA=OB（注意不是平分角）（注意不是平分角）（二）、判定（二）、判定CA=CB点点C在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上DA=DB点点D
13、在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上CD垂直平分线段垂直平分线段AB1 1、如图所示，、如图所示，AC=ADAC=AD，BC=BDBC=BD，ABAB与与CDCD相交相交于点于点E E。求证：直线。求证：直线ABAB是线段是线段CDCD的垂直平分的垂直平分线。线。2 2、如图、如图2 2，在，在中，中，的平分线与的平分线与BCBC边的边的垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点D D。过点过点D D作作ABAB、ACAC（或延长线）（或延长线）的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是E E、F F。求证：求证：BE=CFBE=CF。3 3、如图所示，在、如图所示，在RtABCRtABC中，中，
14、ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，D D为为BCBC边上的中点，边上的中点，CEADCEAD于点于点E E，BFACBFAC交交CECE的延长线于点的延长线于点F F，求证：，求证：ABAB垂直平分垂直平分DFDF四、等腰三角形四、等腰三角形1、等腰三角形的性质几何语言、等腰三角形的性质几何语言（1）AB=AC B=C（2）AB=AC，AD平分平分BAC ADBC，BD=CDAB=AC，ADBCAD平分平分BAC，BD=CDAB=AC，BD=CD ADBC，AD平分平分BAC2、等腰三角形的判定几何语言、等腰三角形的判定几何语言 B=C AB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形
15、3、等边三角形的性质有哪些？、等边三角形的性质有哪些？（1）三边相等，三角相等，都为）三边相等，三角相等，都为60；（2）三线合一）三线合一（3）是轴对称图形，有）是轴对称图形，有3条对称轴条对称轴4、等边三角形的判定有哪些？、等边三角形的判定有哪些？（1）三边相等的三角形是等边三角形；）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三角相等的三角形是等边三角形；）三角相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形的的等腰三角形的 是等边三角形是等边三角形5、含、含30直角三角形有什么性质？直角三角形有什么性质？B=90，A=30BC=AC（或（或AC=2BC）1 1、如图，已知
16、、如图，已知AB=ACAB=AC，D D是是ABAB上一点，上一点，DEBCDEBC于于E E，EDED的延长线交的延长线交CACA的延长线于的延长线于F F，试说明，试说明ADFADF是是等腰三角形的理由等腰三角形的理由2 2、如图所示，、如图所示，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=120BAC=120，ACAC的垂直平分线的垂直平分线EFEF交交ACAC于点于点E E，交，交BCBC于点于点F F求证：求证：BF=2CFBF=2CF3、如图，点、如图，点O是等边是等边 ABC内一点，内一点，AOB=110，BOC=以以OC为一边作等边三角形为一边作等边三角形OCD，连接，连
17、接AC、AD（1）当）当=150时，试判断时，试判断 AOD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2）探究：当）探究：当a为多少度时，为多少度时，AOD是等腰三角形？是等腰三角形？4、如图，、如图，ABC中，中，BD、CD分别平分分别平分 ABC，ACG，过，过D作作EFBC交交AB、AC于点于点E、F，则，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由有怎样的数量关系？并说明你的理由五、实数的运算五、实数的运算三、已知一个正数的平方根是三、已知一个正数的平方根是2a+12a+1和和4-3a4-3a，求求a a和这个正数和这个正数四、一个长四、一个长5m5m，宽为，宽为7m7m，高为，
18、高为9m9m的长方体的的长方体的 容积是一个正方体的容积的容积是一个正方体的容积的2 2倍，求这个倍，求这个 正方体容器的棱长（精确正方体容器的棱长（精确0.010.01）六、画图六、画图1、画一个角的平分线、画一个角的平分线2、画一条线段的垂直平分线、画一条线段的垂直平分线3、画一个图形的轴对称图形、画一个图形的轴对称图形4、画到几个点的距离相等的点、画到几个点的距离相等的点5、画到几条边的距离相等的点、画到几条边的距离相等的点6、画到两条边的距离相等并到两个点的距离、画到两条边的距离相等并到两个点的距离 相等的点相等的点7、画到两个点的距离最短的点、画到两个点的距离最短的点8、在数轴上画出
19、、在数轴上画出方法总结方法总结证明线段相等的方法证明线段相等的方法1、证明全等，利用全等三角形的性质；、证明全等，利用全等三角形的性质；2、角平分线的性质、角平分线的性质3、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的性质4、等角对等边、等角对等边证明角相等的方法证明角相等的方法1、证明全等，利用全等三角形的性质；、证明全等，利用全等三角形的性质；2、角平分线的判定、角平分线的判定3、等边对等角、等边对等角当某个量不容易求得时，应该考虑当某个量不容易求得时，应该考虑用方程思想用方程思想如：导学案如：导学案P36，第，第6题；题；P48，第，第10题题常用辅助线的作法常用辅助线的作法一、连接一、连接如
20、：导学案如：导学案P6，第，第10,12题题二、看到角平分线就想到过某个点作角两边二、看到角平分线就想到过某个点作角两边 的垂线段的垂线段如：导学案如：导学案P17，第，第13题题三、看到垂直平分线就想到把垂直平分线上三、看到垂直平分线就想到把垂直平分线上的某个点与线段的两个端点连接起来的某个点与线段的两个端点连接起来四、截取四、截取五、作平行五、作平行例、如图，已知例、如图，已知ABCABC中，点中，点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC的延长线上，且的延长线上，且BD=CEBD=CE，连结，连结DEDE交交BCBC于于点点G G。若。若DG=GEDG=GE，证明：，证明：ABC
21、ABC为等腰三角形为等腰三角形易错题易错题5、等腰三角形的一个角是、等腰三角形的一个角是50，则它的底角，则它的底角是多少度？是多少度？6、等腰三角形的一条边是、等腰三角形的一条边是6，周长是，周长是22，则，则它的底边长是多少？它的底边长是多少？7、等腰三角形一腰上的高是腰的一半，求顶、等腰三角形一腰上的高是腰的一半，求顶角的度数角的度数。8、如图所示、如图所示34的正方形网格中，网格线的的正方形网格中，网格线的交点称为格点交点称为格点.已知已知AB是两格点，如果是两格点，如果C也也是图中的格点，且使得三角形是图中的格点，且使得三角形ABC为等腰三为等腰三角形角形 则则C的个数有（）个的个数有（）个