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1、一、全等三角形一、全等三角形证明全等的方法有：证明全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三（直角三角形）角形）注意：注意：不要忘记不要忘记公共角公共角、公共边公共边、对顶角对顶角这些隐含条件这些隐含条件1 1、已知、已知AC=BDAC=BD，AE=CFAE=CF，BE=DFBE=DF，问问AEAECFCF吗？吗？ACBDEF2 2、已知点、已知点B B是线段是线段ACAC的中点，的中点，BD = BD = BEBE， 1 =2.1 =2.证明：证明：ADB ADB CEBCEBCAED12B3 3、如图，已知、如图，已知BEBE与与CDCD相交于点相交于点O O，且且AB=A
2、CAB=AC， ADC=AEBADC=AEB，证明，证明:AD=AE:AD=AEABCDEO4 4、如图，已知、如图，已知AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，试说明，试说明E=FE=F的理由的理由ABEFDCO5 5、已知，、已知，ACACCECE，ACAC= =CECE，ABCABC= =DECDEC=90=900 0, , 问问BDBD= =ABAB+ +EDED吗？吗？ABCDE6 6、在、在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90AC=BCAC=BC，直线，直线MNMN经过点经过点C C，且，且ADMNADMN于于D D，BEMNBEMN于于E E（1 1）当）当MNMN绕
3、点绕点C C旋转到图旋转到图1 1的位置时，请你探究线段的位置时，请你探究线段DEDE、ADAD、BEBE之间的数量关系；之间的数量关系； （2 2）当）当MNMN绕点绕点C C旋转到图旋转到图2 2的位置时，你在（的位置时，你在（1 1）中得到的结）中得到的结论是否发生变化？论是否发生变化？（3 3）当）当MNMN绕点绕点C C旋转到图旋转到图3 3的位置时，你在（的位置时，你在（1 1）中得到的结）中得到的结论是否发生变化？论是否发生变化？ 7 7、图、图1 1、图、图2 2中，点中，点C C为线段为线段ABAB上一点，上一点，ACMACM与与CBNCBN都是等边三角形都是等边三角形（1
4、1）如图）如图1 1，线段，线段ANAN与线段与线段BMBM是否相等？证明你的是否相等？证明你的结论；结论；（2 2）如图）如图2 2，ANAN与与MCMC交于点交于点E E，BMBM与与CNCN交于点交于点F F，探，探究究CEFCEF的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论 二、角平分线二、角平分线（一）、性质（一）、性质AP平分平分BAC（或者（或者BAP = CAP），）， PDAB，PEACPD=PE（二）、判定（二）、判定PD=PE ，PDAB，PEACAP平分平分BAC1 1、如图，点、如图，点D D、B B分别在分别在A A的两边上，的两边上，C C是是A A 内一点，且内
5、一点，且ABABADAD，BCBCDCDC，CECEADAD，CFCFABAB，垂足分别为，垂足分别为E E、F F，求证：求证：CECECFCF。 A B F E D C2、3 3、如图，已知、如图，已知AB=CDAB=CD，EABEAB的面的面积与积与 ECDECD的面积相等的面积相等. .求证：求证：FEFE平分平分AFDAFD4 4、已知：如图，、已知：如图，B=C=90B=C=90，M M是是BCBC的中的中点，点，DMDM平分平分ADCADC（1 1）若连接）若连接AMAM，则，则AMAM是否平分是否平分BADBAD？请你？请你证明你的结论；证明你的结论；（2 2）线段）线段DMD
6、M与与AMAM有怎样的位置关系？请说明有怎样的位置关系？请说明理由理由5 5、如图、如图11-111-1，已知在四边形，已知在四边形ABCDABCD中中，对角线，对角线BDBD平分平分ABCABC，且，且BADBAD与与BCDBCD互补，求证：互补，求证：ADADCD.CD. 三、垂直平分线三、垂直平分线（一）、性质（一）、性质CD垂直平分垂直平分ABCA=CB, DA=DB, OA=OB（二）、判定（二）、判定CA=CB点点C在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上DA=DB点点D在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上CD垂直平分线段垂直平分线段ABABCBAC1 1、如图、如图2
7、 2，在，在中，中，的平分线与的平分线与BCBC边的边的垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点D D。过点过点D D作作ABAB、ACAC（或延长线）（或延长线）的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是E E、F F。求证：求证：BE=CFBE=CF。 A E B M C F D 2 2、如图所示，在、如图所示，在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，D D为为BCBC边上的中点，边上的中点，CEADCEAD于点于点E E，BFACBFAC交交CECE的延长线于点的延长线于点F F，求证：，求证：ABAB垂直垂直平分平分DFDF四、等腰三角形四、等腰三角形1、等
8、腰三角形的性质几何语言、等腰三角形的性质几何语言（1）AB=AC B= C（2）AB=AC，AD平分平分BAC ADBC，BD=CDAB=AC，ADBC AD平分平分BAC，BD=CDAB=AC，BD=CD ADBC，AD平分平分BAC2、等腰三角形的判定几何语言、等腰三角形的判定几何语言 B= C AB=AC ABC是等腰三角形是等腰三角形 ACBDEACBMNACBPQ下例各说法对吗？为什么？下例各说法对吗？为什么？w等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.w等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.w等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.1、等腰
9、三角形的一个角是、等腰三角形的一个角是50，则它的底角，则它的底角是多少度？是多少度？2、等腰三角形的一条边是、等腰三角形的一条边是6，周长是，周长是22，则，则它的底边长是多少？它的底边长是多少？3、等腰三角形一腰上的高是腰的一半，求顶、等腰三角形一腰上的高是腰的一半，求顶角的度数角的度数。填空1、等边三角形的性质有哪些？、等边三角形的性质有哪些？（1）三边相等，三角相等，都为）三边相等，三角相等，都为60；（2）三线合一）三线合一（3）是轴对称图形，有）是轴对称图形，有3条对称轴条对称轴2、等边三角形的判定有哪些？、等边三角形的判定有哪些？（1）三边相等的三角形是等边三角形；）三边相等的三
10、角形是等边三角形；（2）三角相等的三角形是等边三角形；）三角相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形的的等腰三角形的 是等边三角形是等边三角形3、含、含30直角三角形有什么性质？直角三角形有什么性质？ B=90， A=30BC=AC（或（或AC=2BC）等边三角形等边三角形1 1、如图，已知、如图，已知AB=ACAB=AC，D D是是ABAB上一点，上一点，DEBCDEBC于于E E，EDED的延长线交的延长线交CACA的延长线于的延长线于F F，试说明，试说明ADFADF是等是等腰三角形的理由腰三角形的理由2 2、如图所示，、如图所示，ABCABC中，中，AB=
11、ACAB=AC，BAC=120BAC=120，ACAC的垂直平分线的垂直平分线EFEF交交ACAC于点于点E E，交，交BCBC于点于点F F求证：求证：BF=2CFBF=2CF3、如图，点、如图，点O是等边是等边ABC内一点，内一点，AOB=110，BOC=150 以以OC为一边作等边三角形为一边作等边三角形OCD，连接，连接A C、AD判断判断AOD的形状，并说明理由的形状，并说明理由4、如图，、如图，ABC中，中，BD、CD分别平分分别平分ABC，ACG，过，过D作作EFBC交交AB、AC于点于点E、F，则，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由有怎样的数量关系？并说明你的理
12、由 5 5、如图，已知、如图，已知ABCABC中，点中，点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC的延长线上，且的延长线上，且BD=CEBD=CE，连结，连结DEDE交交BCBC于点于点G G。若若DG=GEDG=GE，证明：，证明：ABCABC为等腰三角形为等腰三角形六、轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么如果两个图形关于某条直线对称，那么对对称轴称轴是任何一对对应点所连线段的是任何一对对应点所连线段的垂直平垂直平分线分线AMBCPNABC若设点若设点M（a,b), M点关于点关于X轴的对称点轴的对称点M1（ ） M点关于点关于Y轴的对称点轴的对称点M2（ ），），a,-
13、ba,-b- a, b- a, b平面直角坐标系中的轴对称画图和平铺画图和平铺1、画一个角的平分线、画一个角的平分线2、画一条线段的垂直平分线、画一条线段的垂直平分线3、画一个图形的轴对称图形、画一个图形的轴对称图形4、画到三个点的距离相等的点、画到三个点的距离相等的点5、画到三条边的距离相等的点、画到三条边的距离相等的点6、画到两条边的距离相等并到两个点的距离、画到两条边的距离相等并到两个点的距离 相等的点相等的点7、画到两个点的距离最短的点、画到两个点的距离最短的点1、如图所示、如图所示34的正方形网格中，网格线的的正方形网格中，网格线的交点称为格点交点称为格点.已知已知A B是两格点，如
14、果是两格点，如果C也也是图中的格点，且使得三角形是图中的格点，且使得三角形ABC为等腰三为等腰三角形角形 则则C的个数有（）个的个数有（）个2 2、要在燃气管道、要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？使所用的输气管线最短？3 3、如图，如果、如图，如果A A，B B在燃气管道在燃气管道L L的同的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？使所用的输气管线最短？5 5、如图如图,OA,OA、OBOB是两条相交的公路是两条
15、相交的公路, ,点点P P是一个邮电所是一个邮电所, ,现想在现想在OAOA、OBOB上各设上各设立一个投递点立一个投递点, ,要想使邮电员每次投递要想使邮电员每次投递路程最近路程最近, ,问投递点应设立在何处？问投递点应设立在何处？EFNMOPAB6、已知如图：一辆汽车在直线公路、已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行行驶，驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（1）当汽车行驶到什么位置时）当汽车行驶到什么位置时距村庄距村庄M最近？最近？行行驶到什么位置时驶到什么位置时距村庄距村庄N最近？最近？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P1时，
16、距村庄时，距村庄M最近，最近， 当汽车行驶到当汽车行驶到P2时，距村庄时，距村庄N最近。最近。ABMNP1P2根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。7、 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行行驶，驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（2）当汽车行驶到什么位置时，）当汽车行驶到什么位置时，与村庄与村庄M、N的距的距离相等？离相等？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P3时，与村庄时，与村庄M、N的距离相的距离相等。等。ABMNP3根据
17、：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。8、 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（3）当汽车行驶到什么位置时，当汽车行驶到什么位置时，到村庄到村庄M、N的距离之和最的距离之和最短？短？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P4时，到村庄时，到村庄M、N的距离之的距离之和最短。和最短。ABMNP4根据：两点之间线段最短。根据：两点之间线段最短。又问：若村庄又问：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧，则
18、又如何解决此题？的同侧，则又如何解决此题？N1P5MNAB答：若村庄答：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧时，当汽车行驶到的同侧时，当汽车行驶到P5时，时，到村庄到村庄M、N的距离之和最短。的距离之和最短。，方法总结方法总结证明线段相等的方法证明线段相等的方法1、证明全等，利用全等三角形的性质；、证明全等，利用全等三角形的性质；2、角平分线的性质、角平分线的性质3、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的性质4、等角对等边、等角对等边证明角相等的方法证明角相等的方法1、证明全等，利用全等三角形的性质；、证明全等，利用全等三角形的性质；2、角平分线的判定、角平分线的判定3、等边对等角、等边对等角当某个量不容易求得时，应该考虑当某个量不容易求得时，应该考虑用方程思想用方程思想一、连接一、连接二、看到角平分线就想到过某个点作角两边二、看到角平分线就想到过某个点作角两边 的垂线段的垂线段三、看到垂直平分线就想到把垂直平分线上三、看到垂直平分线就想到把垂直平分线上 的某个点与线段的两个端点连接起来的某个点与线段的两个端点连接起来四、截取四、截取五、作平行五、作平行常用辅助线的作法常用辅助线的作法