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1、幂函数的概念第一页，讲稿共二十一页哦一一般般地地，形形如如 的的函函数数叫叫做做幂幂函函数数，其其中中x是是自自变变量量，是是常常数数对对于于幂幂函函数数，一一般般只只讨讨论论1,2,3，1时时的情形的情形提示：提示：yx2是幂函数是幂函数y2x不是幂函数，是指数函数不是幂函数，是指数函数二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置而指数函数的自变量在指数位置yx(R)1幂函数的定义幂函数的定义第二页，讲稿共二十一页哦在同一平面直角坐在同一平面直角坐标标系下，系下，幂幂函数函数yx，yx
2、2，yx3，y，yx1的的图图象象分分别别如下如下图图提示：提示：幂函数幂函数yx(R)随着随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同但它们的图的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定2幂函数的图象幂函数的图象第三页，讲稿共二十一页哦3幂函数的性质幂函数的性质定定义义域域值值域域奇偶性奇偶性单调单调性性定点定点函数函数特特征征性性质质yxyx2yx3yxyx1RRR0，)x|xR且且x0RR0，)0，)y|yR且且y0奇奇奇奇奇奇偶偶非奇非偶非奇非偶增增增
3、增增增x0，)时时，增，增x(，0时时，减，减x(0，)时时，减，减x(，0)时时，减，减(0,0)，(1,1)(1,1)第四页，讲稿共二十一页哦1设设 ，则则使函数使函数yx的定的定义义域域为为R且且为为奇函数的所有奇函数的所有值为值为()A1,3B1,1C1,3D1,1,3解析：解析：根据幂函数的定义和性质易得根据幂函数的定义和性质易得x1,3时，定义域为时，定义域为R且为奇函数且为奇函数答案：答案：A第五页，讲稿共二十一页哦2给给出命出命题题：若函数：若函数yf(x)是是幂幂函数，函数，则则函数函数yf(x)的的图图象不象不过过第四象第四象限在它的逆命限在它的逆命题题、否命、否命题题、逆
4、否命、逆否命题题三个命三个命题题中，真命中，真命题题的个数是的个数是()A3B2C1D0解析：解析：原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误答案：答案：C3已知点已知点在在幂幂函数函数f(x)的的图图象上，象上，则则f(x)的表达式是的表达式是()Af(x)x3Bf(x)x3Cf(x)Df(x)解析：解析：设幂函数设幂函数f(x)x(R)，则，则 3，f(x)x3.答案：答案：B第六页，讲稿共二十一页哦4若函数若函数f(x)，则则f(f(f(0)_.解析：解析：f(f(f(0)f(f(2)f(1)1.答案：答案：1第七页，讲稿
5、共二十一页哦有关有关幂值幂值的大小比的大小比较较，可，可结结合合幂值幂值的特点，的特点，选择选择适当的函数，借助其适当的函数，借助其单调单调性性进进行比行比较较一般地，几种一般地，几种幂值幂值的比的比较较方法如下：方法如下：幂幂的底数相同，指数不同型的底数相同，指数不同型可以利用指数函数的可以利用指数函数的单调单调性性进进行比行比较较幂幂的底数不同，指数相同型的底数不同，指数相同型可以利用可以利用幂幂函数的函数的单调单调性性进进行比行比较较幂幂的底数不同，指数不同型的底数不同，指数不同型常运用媒介法，即找到一个中常运用媒介法，即找到一个中间值间值，通，通过过比比较较两个两个幂值幂值与中与中间值
6、间值的大小，的大小，确定两个确定两个幂值幂值的大小的大小第八页，讲稿共二十一页哦(1)和和；(2)；(3)0.20.5和和0.40.3.思维点拨：思维点拨：利用性质、中间值作转化利用性质、中间值作转化解：解：(1)，由于幂函数由于幂函数y 在在(0，)上是减函数上是减函数，所以所以【例【例1】比比较较下列各下列各组值组值的大小：的大小：(2)由于由于因此因此(3)由于指数函数由于指数函数y0.2x在在R上是减函数，上是减函数，所以所以0.20.50.20.3.又由于又由于幂幂函数函数yx0.3在在(0，)是是递递增函数，增函数，所以所以0.20.30.40.3，故有，故有0.20.50.40.
7、3.第九页，讲稿共二十一页哦幂幂函数的函数的图图象在解方程和不等式象在解方程和不等式时时有着重要作用有着重要作用【例【例2】点点(，2)在在幂幂函数函数f(x)的的图图象上，点象上，点在在幂幂函数函数g(x)的的图图象上，象上，问问当当x为为何何值时值时，有，有f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x)思维点拨：思维点拨：由幂函数的定义，求出由幂函数的定义，求出f(x)与与g(x)的解析式，的解析式，再利用图象判断即可再利用图象判断即可第十页，讲稿共二十一页哦解：解：设设f(x)x，则由题意得则由题意得2()，2，即即f(x)x2，再设再设g(x)x，则由题意得则由题意得(2)，=-
8、2，即即g(x)=，在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出f(x)与与g(x)的的图图象，象，如如图图所示所示由由图图象可知：象可知：当当x1或或x-1时时，f(x)g(x)；当当x=1时时，f(x)=g(x)；当当-1x1且且x0时时，f(x)g(x)第十一页，讲稿共二十一页哦变式变式2：方程方程logsin1x的的实实根个数是根个数是()A0B1C2D3解析：解析：在在同一平面直角坐同一平面直角坐标标系中分系中分别别作出函数作出函数y1=和和y2=y2=logsin1x的的图图象，可知只有唯一交点象，可知只有唯一交点(如右如右图图所示所示)答案答案：B第十二页，讲稿共二十一页哦对幂对幂函数性
9、函数性质质的考的考查查，主要是，主要是幂幂函数的定函数的定义义域、奇偶性及域、奇偶性及单调单调性的考性的考查查【例例3】已知已知幂幂函数函数f(x)xm22m3(mZ)为为偶函数，且在区偶函数，且在区间间(0，)上是上是减函数减函数(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)讨论讨论函数函数(x)a 的奇偶性的奇偶性第十三页，讲稿共二十一页哦解：解：(1)(1)幂幂函数函数f(x)在在(0(0，)上是减函数，上是减函数，m2 22 2m3 30 0，1 1m3.3.又又mZ Z，m0,1,20,1,2，m2 22 2m3 33 3或或4.4.又又f (x)为为偶函数，偶函数，f (x)
10、x4 4.(2)(2)由由(1)(1)得得(x)bx3 3，(x)bx3 3.当当a0 0，且，且b0 0时时，b (x)为为非奇非偶函数；非奇非偶函数；当当a 0 0，且，且b0 0时时，(x)为为奇函数；奇函数；当当a 0 0，且，且b0 0时时，(x)为为偶函数；偶函数；当当a 0 0，且，且b0 0时时，(x)既既为为奇函数又奇函数又为为偶函数偶函数第十四页，讲稿共二十一页哦变式变式3：已知已知幂幂函数函数f(x)的的图图象象过过点点(，3)，函数，函数g(x)是偶函数，是偶函数，且当且当x0，)时时，g(x).求求f(x)与与g(x)的解析式的解析式解：解：设设f(x)x，其其图图象
11、象过过(，3)点，点，故故3()，即，即()3()，3，故，故f(x)x3.令令x(，0)，则则x(0，)g(x)又又g(x)是偶函数，故是偶函数，故g(x)g(x)，g(x)(x)，x(，0)，g(x)故故g(x)（xR).第十五页，讲稿共二十一页哦【方法规律方法规律】1幂幂函函数数yx(R)，其其中中为为常常数数，其其本本质质特特征征是是以以幂幂的的底底x为为自自变变量量，指指数数为为常常数数，这这是是判判断断一一个个函函数数是是否否是是幂幂函函数数的的重重要要依依据据和和唯唯一一标标准准应应当当注注意意并并不不是是任任意意的的一一次次函函数数、二二次次函函数都是幂函数，如数都是幂函数，如
12、yx1，yx22x等都不是幂函数等都不是幂函数2在在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴轴(简记为简记为“指大图低指大图低”)，在，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴轴.第十六页，讲稿共二十一页哦已已知知幂幂函函数数y (mN*)的的图图象象关关于于y 轴轴对对称称，且且在在(0，)上上是是减减函函数数，求满足求满足的的a的取值范围的取值范围【阅卷实录阅卷实录】第十七页，讲稿共二十一页哦第十八页，讲稿共二十一页哦 解决本解决本题题的关的关键键是根据函数的奇偶性求出是根据函数的奇偶性求出m的的值
13、值后，依据后，依据幂幂函数的性函数的性质质和和图图象建立关于象建立关于a的不的不等式等式组组在在这这里极易出里极易出现认为现认为函数在函数在(，0)和和(0，)上上为为减函数，减函数，则则函数必在定函数必在定义义域内是减域内是减函数的函数的认识误认识误区从而区从而误误用性用性质产质产生生错误错误，事，事实实上由上由幂幂函数函数y 的的图图象可知函数在整个定象可知函数在整个定义义域内域内图图象整体不呈下降象整体不呈下降趋势趋势，故函数只能，故函数只能说说在定在定义义域的两个子集上分域的两个子集上分别为别为减函数，另外在分减函数，另外在分类讨论时类讨论时，要做到不重不漏，尤其是，要做到不重不漏，尤
14、其是a1032a这这种情况容易被忽略，种情况容易被忽略，应应引起注意引起注意【教师点评教师点评】第十九页，讲稿共二十一页哦解：解：函数在函数在(0，)上单调递减上单调递减，m22m30，解得解得1m3.mN*，m1,2.又又函数图象关于函数图象关于y轴对称，轴对称，m22m3是偶数是偶数而而222233为奇数为奇数，122134为偶数为偶数，【规范解答规范解答】第二十页，讲稿共二十一页哦m1.而而y在在(，0)，(0，)上均为减函数，上均为减函数，(a1)(32a)等价于等价于a132a0或或32aa10或或a1032a.解得解得a1或或故故a的取的取值值范范围为围为第二十一页，讲稿共二十一页哦