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1、幂函数的概念现在学习的是第1页，共21页一般地，形如一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是自变量，是常数对于幂函数，一般只是常数对于幂函数，一般只讨论讨论1,2,3，1时的情形时的情形提示：提示：yx2是幂函数是幂函数y2x不是幂函数，是指数函数不是幂函数，是指数函数二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置而指数函数的自变量在指数位置yx(R)1幂函数的定义幂函数的定义现在学习的是第2页，共21页在同一平面直角坐标系下，幂函数在同一平面直角坐标系下，
2、幂函数yx，yx2，yx3，y ，yx1的图象的图象分别如下图分别如下图提示：提示：幂函数幂函数yx(R)随着随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同但它们的图的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定2幂函数的图象幂函数的图象现在学习的是第3页，共21页3幂函数的性质幂函数的性质定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性定点定点函数函数特特 征征性质性质yxyx2yx3yxyx1RRR0，)x|xR且且x0RR0，)0，)y|yR且且y0奇奇奇奇奇奇偶
3、偶非奇非偶非奇非偶增增增增增增x0，)时，增时，增x(，0时，减时，减x(0，)时，减时，减x(，0)时，减时，减(0,0)，(1,1)(1,1)12现在学习的是第4页，共21页1设设 ，则使函数，则使函数yx的定义域为的定义域为R且为奇函数的所有且为奇函数的所有 值为值为()A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 解析：解析：根据幂函数的定义和性质易得根据幂函数的定义和性质易得x1,3时，定义域为时，定义域为R且为奇函数且为奇函数 答案：答案：A现在学习的是第5页，共21页2给出命题：若函数给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象的图象不过第四
4、象 限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A3 B2 C1 D0 解析：解析：原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误 答案：答案：C3已知点已知点 在幂函数在幂函数f(x)的图象上，则的图象上，则f(x)的表达式是的表达式是()Af(x)x3 Bf(x)x3 Cf(x)Df(x)解析：解析：设幂函数设幂函数f(x)x(R)，则，则 3，f(x)x3.答案：答案：B现在学习的是第6页，共21页4若函数若函数f(x)，则，则f(f(f(0)_.解析
5、：解析：f(f(f(0)f(f(2)f(1)1.答案：答案：1现在学习的是第7页，共21页有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较一般地，几种幂值的比较方法如下：行比较一般地，几种幂值的比较方法如下：幂的底数相同，指数不同型幂的底数相同，指数不同型可以利用指数函数的单调性进行比较可以利用指数函数的单调性进行比较幂的底数不同，指数相同型幂的底数不同，指数相同型可以利用幂函数的单调性进行比较可以利用幂函数的单调性进行比较幂的底数不同，指数不同型幂的底数不同，指数不同型常运用媒介法，即找到一个中间值
6、，通过比较两个幂值与中间值的大小，常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小确定两个幂值的大小现在学习的是第8页，共21页(1)和和 ；(2)；(3)0.20.5和和0.40.3.思维点拨：思维点拨：利用性质、中间值作转化利用性质、中间值作转化解：解：(1)，由于幂函数由于幂函数y 在在(0，)上是减函数上是减函数，所以所以 【例【例1】比较下列各组值的大小：比较下列各组值的大小：(2)由于由于 因此因此(3)由于指数函数由于指数函数y0.2x在在R上是减函数，上是减函数，所以所以0.20.50.20.3.又由于幂函数又由于幂函数yx0.3在在(0，)是
7、递增函数，是递增函数，所以所以0.20.30.40.3，故有，故有0.20.50.40.3.现在学习的是第9页，共21页幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用【例【例2】点点(，2)在幂函数在幂函数f(x)的图象上，点的图象上，点 在幂函数在幂函数g(x)的的 图象上，问当图象上，问当x为何值时，有为何值时，有f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x)思维点拨：思维点拨：由幂函数的定义，求出由幂函数的定义，求出f(x)与与g(x)的解析式，的解析式，再利用图象判断即可再利用图象判断即可现在学习的是第10页，共21页解：解：设设f(x)x，
8、则由题意得则由题意得2()，2，即即f(x)x2，再设再设g(x)x，则由题意得则由题意得(2)，=-2，即即g(x)=，在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出f(x)与与g(x)的图象，的图象，如图所示如图所示由图象可知：由图象可知：当当x1或或x-1时，时，f(x)g(x)；当当x=1时，时，f(x)=g(x)；当当-1x1且且x0时，时，f(x)g(x)现在学习的是第11页，共21页 变式变式2：方程方程 logsin 1x的实根个数是的实根个数是()A0 B1 C2 D3 解析：解析：在在同一平面直角坐标系中分别作出函数同一平面直角坐标系中分别作出函数y1=和和y2=y2=logsin
9、1x的图象，可知只有唯一交点的图象，可知只有唯一交点(如右图所示如右图所示)答案答案：B现在学习的是第12页，共21页 对幂函数性质的考查，主要是幂函数的定义域、奇偶性及单调性的考查对幂函数性质的考查，主要是幂函数的定义域、奇偶性及单调性的考查 【例例3】已知幂函数已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在区间为偶函数，且在区间(0，)上是上是 减函数减函数 (1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)讨论函数讨论函数(x)a 的奇偶性的奇偶性现在学习的是第13页，共21页解：解：(1)(1)幂幂函数函数f(x)在在(0(0，)上是减函数，上是减函数，m2 22 2m3 30
10、 0，1 1m3.3.又又mZ Z，m0,1,20,1,2，m2 22 2m3 33 3或或4.4.又又f (x)为偶函数，为偶函数，f (x)x4 4.(2)(2)由由(1)(1)得得(x)bx3 3，(x)bx3 3.当当a0 0，且，且b0 0时，时，b (x)为非奇非偶函数；为非奇非偶函数；当当a 0 0，且，且b0 0时，时，(x)为奇函数；为奇函数；当当a 0 0，且，且b0 0时，时，(x)为偶函数；为偶函数；当当a 0 0，且，且b0 0时，时，(x)既为奇函数又为偶函数既为奇函数又为偶函数现在学习的是第14页，共21页 变式变式3：已知幂函数已知幂函数f(x)的图象过点的图象
11、过点(，3 )，函数，函数g(x)是偶函数，是偶函数，且当且当x0，)时，时，g(x).求求f(x)与与g(x)的解析式的解析式 解：解：设设f(x)x，其图象过其图象过(，3)点，点，故故3()，即，即()3()，3，故，故f(x)x3.令令x(，0)，则，则x(0，)g(x)又又g(x)是偶函数，故是偶函数，故g(x)g(x)，g(x)(x)，x(，0)，g(x)故故g(x)（xR).现在学习的是第15页，共21页【方法规律方法规律】1幂函数幂函数yx(R)，其中，其中为常数，其本质特征是以幂的底为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为自变量，指数为常数，这是判为常数，这是判断一个函
12、数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如数都是幂函数，如yx1，yx22x等都不是幂函数等都不是幂函数2在在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴轴(简记为简记为“指大图低指大图低”)，在，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴轴.现在学习的是第16页，共21页已知幂函数已知幂函数y (mN*)的图象关于的图象关于y 轴对称，且在轴对称，且在(0，)上是减函数，求满上是减函数，
13、求满足足 的的a的取值范围的取值范围【阅卷实录阅卷实录】现在学习的是第17页，共21页现在学习的是第18页，共21页 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式组的不等式组在这里极易出现认为函数在在这里极易出现认为函数在(，0)和和(0，)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认识误区从上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认识误区从而误用性质产生错误，事实上由幂函数而误用性质产生错误，事实上由幂函数y 的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势，故函数只能说在定义域
14、的两个子集的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势，故函数只能说在定义域的两个子集上分别为减函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，尤其是上分别为减函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，尤其是a1032a这种情况容易被这种情况容易被忽略，应引起注意忽略，应引起注意【教师点评教师点评】现在学习的是第19页，共21页解：解：函数在函数在(0，)上单调递减上单调递减，m22m30，解得解得1m3.mN*，m1,2.又又函数图象关于函数图象关于y轴对称，轴对称，m22m3是偶数是偶数而而222233为奇数为奇数，122134为偶数为偶数，【规范解答规范解答】现在学习的是第20页，共21页m1.而而y在在(，0)，(0，)上均为减函数，上均为减函数，(a1)(32a)等价于等价于a132a0或或32aa10或或a1032a.解得解得a1或或故故a的取值范围为的取值范围为现在学习的是第21页，共21页