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1、关于常数项级数第1页，讲稿共41张，创作于星期日一一 常数项级数的概念及基本性质常数项级数的概念及基本性质1 常数项级数的概念常数项级数的概念 定义定义：给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即次相加次相加,简记为简记为称上式为称上式为无穷级数无穷级数，其中第其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项一般项。级数的前级数的前 n 项和项和第2页，讲稿共41张，创作于星期日称为称为级数的部分和级数的部分和。收敛收敛,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S 为级数的为级数的和和,记作记作当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散.显然显然第3
2、页，讲稿共41张，创作于星期日例例1.讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)(q 称为公比称为公比)的敛散性的敛散性.解解:1)若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛,从而从而则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散.其和为其和为第4页，讲稿共41张，创作于星期日2).若若因此级数发散因此级数发散;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而综合综合 1)、2)可知可知,时时,几何级数收敛几何级数收敛;时时,几何级数发散几何级数发散.则则级数成为级数成为不存在不存在,因此级数发散因此级数发散.此时此时第5页，讲稿共41张，创作于星期日如果级数如果级数是发散的。是发散的。解解例例
3、2.说明调和级数说明调和级数:是收敛的，是收敛的，则则但但所以，所以，级数级数是发散的是发散的第6页，讲稿共41张，创作于星期日例例3.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数所以级数(1)发散发散;第7页，讲稿共41张，创作于星期日(2)所以级数所以级数(2)收敛收敛,其和为其和为 1.第8页，讲稿共41张，创作于星期日2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 说明说明:级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变.即即性质性质1 若级数若级数收敛于收敛于 S,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数也收敛也收敛,其和为其和为 c S.
4、即即第9页，讲稿共41张，创作于星期日性质性质2 设有两个收敛级数：设有两个收敛级数：则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为即即说明说明:若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则必发散必发散.但若两级数都发散但若两级数都发散,不一定发散不一定发散.第10页，讲稿共41张，创作于星期日例例4判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和。判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和。解解（1）因为因为均收敛，均收敛，所以所以收敛，收敛，且且和为和为（2）因为因为收敛，收敛，发散，发散，发散。发散。第11页，讲稿共41张，创作于星期日性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有
5、限项,不会影响级不会影响级数的敛散性数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和数的和.证证:设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.因此必有因此必有例如例如第12页，讲稿共41张，创作于星期日例例5.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散,从而原级数发散从而原级数发散.第13页，讲稿
6、共41张，创作于星期日注意注意(1)并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散.(2)若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.设级数设级数性质性质5.（收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件）则必有则必有收敛，收敛，第14页，讲稿共41张，创作于星期日例例6.说明下列级数是发散的说明下列级数是发散的解解（1）所以原级数是发散的所以原级数是发散的（2）所以原级数是发散的所以原级数是发散的（3）级数是发散级数是发散第15页，讲稿共41张，创作于星期日二二 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法若若定理定理1 收
7、敛的充要条件是收敛的充要条件是则称则称为为正项级数正项级数.正项级数正项级数部分和部分和有界有界.序列序列第16页，讲稿共41张，创作于星期日都有都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设设且存在且存在对一切对一切有有(1)若级数若级数则级数则级数(2)若级数若级数则级数则级数证证:设对一切设对一切则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.分别表示级数分别表示级数是两个正项级数是两个正项级数,(常数常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨故不妨部分和部分和,则有则有第17页，讲稿共41张，创作于星期日(1)若级数若级数则则因此
8、因此有界有界,由定理由定理 1 可知可知,则由则由(1)(1)可知可知,(2)若级数若级数收敛收敛,收敛收敛,也收敛也收敛.从而级数从而级数有界有界,也收敛也收敛.级数级数这与这与发散矛盾发散矛盾.第18页，讲稿共41张，创作于星期日例例7.7.讨论讨论p-级级数数的收的收敛敛性性解解:1)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较判别法可知由比较判别法可知 p 级数级数发散发散.发散发散,第19页，讲稿共41张，创作于星期日因为当因为当故故考虑级数考虑级数的部分和的部分和时时,2)若若p 级数收敛级数收敛.由比较判别法知由比较判别法知故级数故级数收敛收敛,第20页，讲稿共41张，创作
9、于星期日重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,p-级数级数,调和级数调和级数.例例8.8.判判别别下列下列级级数的数的敛敛散性散性 解解(1)而而 发散发散,所以所以 原级数发散原级数发散第21页，讲稿共41张，创作于星期日(2)收敛，收敛，所以所以收敛收敛.(3)收敛，收敛，所以所以收敛收敛.(4)所以所以 原级数收敛原级数收敛收敛收敛第22页，讲稿共41张，创作于星期日推论推论1 (比较比较审敛审敛法的极限形式法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,第23页，讲稿共
10、41张，创作于星期日特别取特别取推论推论2（极限极限审敛审敛法法）设设为正项级数，为正项级数，如果如果则级数则级数收敛；收敛；如果如果则级数则级数发散发散.第24页，讲稿共41张，创作于星期日例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解(1)(2)收敛收敛.第25页，讲稿共41张，创作于星期日(3)(4)第26页，讲稿共41张，创作于星期日例例10 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解当当时，时，当当时，时，发散发散;当当时，时，收敛，收敛，发散发散;也收敛也收敛.第27页，讲稿共41张，创作于星期日例例11 设正项级数设正项级数 收敛，证明：级数收敛，证明：级数收敛收敛.证证因为因
11、为收敛，收敛，所以所以由于由于故故收敛收敛.第28页，讲稿共41张，创作于星期日定理定理3 比值审敛法比值审敛法(Dalembert审敛审敛法法)设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1)当当(2)当当时时,级数收敛级数收敛;（或（或)时时,级数发散级数发散.说明说明:(1)当当时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如（2）在判别收敛时，）在判别收敛时，求极限过程不可缺求极限过程不可缺.此此时时比比值值判判别别法失效法失效.第29页，讲稿共41张，创作于星期日例例12 12 判判别别下列下列级级数的收数的收敛敛性性:解解收敛收敛.发散发散.第30页，讲稿共41张，创作于星期
12、日收敛收敛.定理定理4 根值根值审敛审敛法法(Cauchy审敛审敛法法)设设 为正为正则则项级项级数数,且且(2)当当（或（或）时）时,级数发散级数发散.解解 例例13.判别判别级数级数 的收敛性的收敛性.该级数发散该级数发散.第31页，讲稿共41张，创作于星期日三三 任意项级数任意项级数则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数.定理定理5 (Leibnitz 判别法判别法)则该交错级数收敛则该交错级数收敛,若若 满足条件满足条件:余项满足余项满足1 交错级数交错级数且和满足且和满足第32页，讲稿共41张，创作于星期日证证:又又，故级数收敛于，故级数收敛于S，且
13、，且，故，故余项余项因此因此第33页，讲稿共41张，创作于星期日例例14 14 判判别别下列下列级级数数的的敛敛散性：散性：解解(1)且且所以所以收敛收敛.(2)(2)原级数收敛原级数收敛.第34页，讲稿共41张，创作于星期日2 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,则称原级则称原级收敛收敛,数数为条件收敛为条件收敛.为绝对收敛为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛.第35页，讲稿共41张，创作于星期日证证:设设根据比较审敛法根据比较审敛法显然
14、显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛,令令定理定理6 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.第36页，讲稿共41张，创作于星期日说明：说明：发散，发散，若用正项级数的若用正项级数的比值或根值审敛法比值或根值审敛法判定判定是发散的是发散的.则可以断定则可以断定第37页，讲稿共41张，创作于星期日例例15 判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件收敛，还是绝对收敛。收敛，还是绝对收敛。解解(1)收敛收敛,所以所以收敛且绝对收敛。收敛且绝对收敛。第38页，讲稿共41张，创作于星期日(2)所以所以发散，发散，而而且且条件收敛条件收敛第39页，讲稿共41张，创作于星期日(3)发散发散.(4)所以所以发散发散第40页，讲稿共41张，创作于星期日2023/4/2感谢大家观看第41页，讲稿共41张，创作于星期日