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1、关于常数项级数的概念和性质第1页，讲稿共40张，创作于星期日常数项级数的概念和性质 二、常数项级数的概念二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 第一节 第九章 一、问题的提出一、问题的提出 第2页，讲稿共40张，创作于星期日一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积第3页，讲稿共40张，创作于星期日二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列级数的部分和级数的部分和第4页，
2、讲稿共40张，创作于星期日2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:第5页，讲稿共40张，创作于星期日余项余项第6页，讲稿共40张，创作于星期日解解第7页，讲稿共40张，创作于星期日 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上第8页，讲稿共40张，创作于星期日解解已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，第9页，讲稿共40张，创作于星期日解解第10页，讲稿共40张，创作于星期日第11页，讲稿共40张，创作于星期日 例4.判别级数的敛散性.解解:故原级数收敛,其和为第12页，讲稿共40张，创作于星期日三、基本性质结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散
3、性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第13页，讲稿共40张，创作于星期日解解第14页，讲稿共40张，创作于星期日第15页，讲稿共40张，创作于星期日性质3.在级数中去掉、加上或改变在级数中去掉、加上或改变有限项有限项,不会不会影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，讲稿共40张，创作于星期日性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所
4、成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.因此必有例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，讲稿共40张，创作于星期日注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散第18页，讲稿共40张，创作于星期日四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证:可见可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,
5、其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，讲稿共40张，创作于星期日注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，讲稿共40张，创作于星期日五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法第22页，讲稿共40张，创作于星期日一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件
6、:定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.第23页，讲稿共40张，创作于星期日证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较审敛法比较审敛法第24页，讲稿共40张，创作于星期日不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.第25页，讲稿共40张，创作于星期日解解由图可知由图可知第26页，讲稿共40张，创作于星期日重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.第27页，讲稿共40张，创作于星期日证明证明第28页，讲稿共40张，创作于星期日4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形
7、式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;第29页，讲稿共40张，创作于星期日证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.第30页，讲稿共40张，创作于星期日第31页，讲稿共40张，创作于星期日解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.第32页，讲稿共40张，创作于星期日证明证明第33页，讲稿共40张，创作于星期日收敛收敛发散发散第34页，讲稿共40张，创作于星期日比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:第35页，讲稿共40张，创作于星期日第36页，讲稿共40张，创作于星期日解解第37页，讲稿共40张，创作于星期日比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法第38页，讲稿共40张，创作于星期日级数收敛级数收敛.第39页，讲稿共40张，创作于星期日感谢大家观看第40页，讲稿共40张，创作于星期日