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1、根轨迹概念根轨迹概念常规根轨迹常规根轨迹：在负反馈系统，开环系统根轨增益在负反馈系统，开环系统根轨增益K*由由0 变化到变化到，闭环特征根在，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关。根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关。广义根轨迹广义根轨迹：除根轨增益除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨以外的其他情况下的根轨 迹称广义根轨迹。迹称广义根轨迹。参数根轨迹参数根轨迹：在负反馈系统，以非根轨增益：在负反馈系统，以非根轨增益K*为可变参数绘制的根轨迹。为可变参数绘制的根轨迹。零度根轨迹零度根轨迹：在正反馈系统，开环系统根轨增益：在正反馈系统，开环系统根轨增益
2、 K*由由0变化到变化到，闭环特征根在，闭环特征根在s平平 面上移动的轨迹。面上移动的轨迹。根轨迹方程根轨迹方程特征方程特征方程 1+G（s）H(s)=01+K*=0j=1ms pi(-)pi开环极点开环极点“”,也是常数！也是常数！开环零点开环零点“”,是是常数！常数！Zji=1n根轨迹增益根轨迹增益K*，不是定数，从，不是定数，从0 变化变化这种形式这种形式的特征方程的特征方程就是就是根轨迹方程根轨迹方程s zj(-)根轨迹的模值条件与相角条件根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0(ss-zjpi)i=1-1(s-zj)(s-pj)=(2k+1)k=0,1,2,j=1i=1mnj
3、=1mnK*=1 ss-zjpii=1K*=mnj=1 s-zj s-pii=1相角条件相角条件:模值条件模值条件:绘制根轨迹的充要条件绘制根轨迹的充要条件 确定根轨迹上某点对应的确定根轨迹上某点对应的K*值值绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则1根轨迹的根轨迹的条数条数2根轨迹对称于根轨迹对称于 轴轴实实就是特征根的就是特征根的个数个数3根轨迹起始于根轨迹起始于,终止终止于于j=1mnK*=1 ss-zjpii=1j=1mn=ss-zjpii=11K*开环极点开环极点开环零点开环零点(nm?)举例()0()4 n-m 条渐近线对称于实轴条渐近线对称于实轴,均起于均起于a 点点,方方向由向
4、由a确定确定:pi-zj n-m i=1j=1nma=a=(2k+1)n-mk=0,1,2,5实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹6根轨迹的会合与分离根轨迹的会合与分离1 说明什么2 d的推导3 分离角定义实轴上某段实轴上某段右右侧零、极点侧零、极点个数之和个数之和为为奇数奇数，则该段，则该段是是根轨迹根轨迹j=1mi=1nd-pi11d-zj=k=0,1,2,L=(2k+1)L,无零点时右边为零无零点时右边为零L为来会合的根轨迹条数为来会合的根轨迹条数7 与虚轴的交点与虚轴的交点 可由可由劳斯表劳斯表求出求出 或或 令令s=j解出解出8 起始角与终止角起始角与终止角根轨迹示例根轨迹示例1j0j0j0
5、j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏了吧？同学们，头昏了吧？根轨迹示例根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d)n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d)变化的参数不是开环根轨迹增益变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹的根轨迹解解题题关关键键：要要将将开开环环传传函函变变形形，将将非非开开环环增增益的参数变换到开环增益的位置。益的参数变换到开环增益的位置。参数参数根轨迹根轨迹注意：注意：该变形是在等效变换的基础上得来的该变形是在等效变换的基础上得来的“等效等效”
6、仅在闭环极点相同这一点上成立。仅在闭环极点相同这一点上成立。零度零度根轨迹根轨迹特征方程为以下形式时，特征方程为以下形式时，绘制绘制零度零度根轨迹根轨迹1、K*:0 +12、K*:0 1+零度零度根轨迹的模值条件与相角条件根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1 s-zj s-pii=1模值条件模值条件:(s-zj)(s-pj)=(2k+1)k=0,1,2,j=1i=1mn相角条件相角条件:2k零度零度绘制绘制零度零度根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则1根轨迹的根轨迹的条数条数就是特征根的就是特征根的个数个数不变！不变！不变！不变！2根轨迹对称于根轨迹对称于 轴轴实实3根轨迹起始于根轨迹起始于
7、,终止终止于于开环极点开环极点开环零点开环零点()0()j=1mn=ss-zjpii=11K*不变！不变！4 n-m 条渐近线对称于实轴条渐近线对称于实轴,起点起点pi-zj n-m i=1j=1nma=不变！不变！渐近线方向渐近线方向:a=(2k+1)n-mk=0,1,2,2k5实轴上某段实轴上某段右右侧零、极点侧零、极点个数之和个数之和为为 奇奇 数数，则该段，则该段是是根轨迹根轨迹偶偶6根轨迹的分离点根轨迹的分离点j=1mi=1nd-pi11d-zj=k=0,1,2,L=(2k+1)L,不变！不变！不变！不变！7与虚轴的交点与虚轴的交点8起始角与终止角起始角与终止角变了变了 举例说明举例
8、说明利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能例一、设反馈控制系统中例一、设反馈控制系统中要求：要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。（2）如果改变反馈通路传递函数使）如果改变反馈通路传递函数使 H(s)=1+2S 试判断试判断 H(s)改变后系统的稳定性，研究改变后系统的稳定性，研究 H(s)改变改变所产生的效应。所产生的效应。解解：（：（1）系统无开环零点，开环极点）系统无开环零点，开环极点 为：为：P1=P2=0,P3=2,P4=5实轴上根轨迹区间为：实轴上根轨迹区间为：5，2，0，0根轨迹渐近线条数为：根轨迹渐近线条数为：4，且
9、：，且：由分离点方程：由分离点方程：得：得：0 2 5无论无论 K*取何值，闭环系统恒不稳定取何值，闭环系统恒不稳定（2）当）当H(s)=1+2S 时，系统开环传递函数为：时，系统开环传递函数为：其中其中 K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个的改变使系统增加了一个开环零点。开环零点。实轴上的根轨迹区间为：实轴上的根轨迹区间为：，5，2,0.5,0,0 根轨迹渐近线条数为：根轨迹渐近线条数为：3 且：且：系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为:列劳斯表列劳斯表 S4 1 10 K*S3 7 2K*S2 K*S当当 K*=22.75 时，劳斯表时，劳斯表 S 行的元素全为零。行的元素全为零
10、。由辅助方程：由辅助方程：解得根轨迹与虚轴的交点为：解得根轨迹与虚轴的交点为：S 1,2=j2.55.0 2 5由右图可知由右图可知，当当 0 K*3 时，根轨迹将有两时，根轨迹将有两条分支伸向条分支伸向S平面的右半部，这时系统不稳平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：定，所以系统稳定的开环增益范围为：0 K 33、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点 S1,S2 的位置。的位置。首先，在首先，在S平面上画出平面上画出 =0.5 时的阻尼线，时的阻尼线，使其与实轴负方向的夹角为使其与实轴负方向的夹角为:=cos 1=cos 1 0.5
11、=600 ，阻尼线与根轨迹阻尼线与根轨迹相交点的坐标设为相交点的坐标设为S1，则从根轨迹图上可测得：，则从根轨迹图上可测得：S1=0.33+j0.58 与与 S2=利用根轨迹的模值方程可求得与利用根轨迹的模值方程可求得与S1点对应的点对应的k*值值下面确定除下面确定除S1,S2极点以外的第三个极点的位置极点以外的第三个极点的位置已知两个极点已知两个极点 S1,2=,用综合除法可求得第三个用综合除法可求得第三个极点极点 S3=S3 离虚轴的距离是离虚轴的距离是 S1,2 的的7倍，可认为倍，可认为 S1,2 为为 主主导极点。这样，可根据闭环主导极点导极点。这样，可根据闭环主导极点 S1,2 来估算来估算系统的性能指标。系统的性能指标。系统闭环传递函数近似为二阶系统的形式：系统闭环传递函数近似为二阶系统的形式：%=16.3%