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1、 1 等比数列的前 n 项和 一、教学目标 1.知识目标：理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。2.能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。3.情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。二、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。三、教学过程（一）复习：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1等比数列：如果一个数列从
2、第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示（q0），即：na成等比数列 nnaa1=q（Nn,q0）“na0”是数列na成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。2.等比数列的通项公式:)0(111qaqaann，)0(11qaqaammn 3既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 4等比中项：G为a与b的等比中项.即G=ab（a,b同号）.5性质：若 m+n=p+q，qpnmaaaa 6判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 2 如：有一个数列满足135nna，与公式)0(111qaqaann比较我们可以
3、判断出这个数列为等比数列且3,51qa。（二）讲解新课 创设问题情景 课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在 30 天中，富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！学生
4、直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：穷人 30 天借到的钱：465230)301(302130S（万元）穷人需要还的钱：292302221S?直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!教师紧接着把如何求292302221S？的问题让学生探究，292302221S 若用公比 2 乘以上面等式的两边，得到 302923022222S 若式减去式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030S(分)1073(万元)465（万元）答案:穷人不能向富人借钱 引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式？（学生很自然
5、地模仿以上方法推导）)1(11212111nnnqaqaqaqaaS)2(111211nnnqaqaqaqaqS 3（1）-（2）有nnqaaSq11)1(推导等比数列前 n 项和nS的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）学生 A：qaaaaaann12312 qaaaaaann12132 即 qasasnnn1)1(11qqqaasnn。学生 B：112111nnnqaqaqaas qaqsaasqaqsaqaqaaqannnnnn111121111qaaqssnnn1)1(11qqqaasnn“特例类比猜想”是一种常用的科学
6、的研究思路！教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！【基础知识形成性练习】1、求下列等比数列的各项和：(1)1，3，9，2187 （2）5121,81,41,21,1 2、根据下列条件求等比数列 na的前 n 项和nS 8,2,21nqa 21,2,81naqa(四)数学应用 例 1 求等比数列 1/2，1/4，1/8的 1,11)1(1,111qqqaaqqaqnaSnnn 4(1)前 8 项的和;(
7、2)第四项到第八项的和 解：（1）8,21,211nqa 256255211)211(218nS（2）5,161314nqaa 25631211)211(1615S 例 2：在等比数列 na中，（1）已知 ,2,41qa 求nS（2）已知 2,243,11qaak求kS 例 1 教师板演示范，强调解题的规范。例 2、例 3 学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。【演练反馈巩固性练习】1、在等比数列 na中，已知96,5.171aa，求q和nS 已知,12,433Sa求q和1a 2、求数列)0(1132aaaaan的前 n 项和。允许学生对不会做的题目可以
8、不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价（五）课堂小结 等差数列 等比数列 求和公式 推导方法 公式应用 5 由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容（六）布置作业 1、根据下列条件，求等比数列na的前 n 项和nS:6,2,31nqa :21,21,81naqa：4,00096.0,12.052naa :,45,106431aaaa 2、在等比数列na中，:已知26,231Sa，求q和nS:已知115,3032SS，求nS 3、在等比数列na中，已知60,482nnSS，求nS3 作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业
9、。五、板书设计 公式推导 例题 等比数列的前 n 项和 练习 六、教学后记 本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。