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1、等比数列的前 n 项和公式一、教材分析等比数列的前 n 项和，是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前 n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养数列内容的新课程设计与时俱进，注重数学过程，渗透数学思想和拓展思维空间。与旧教材相比新教材让学生体验和理解公式形成的过程。二、学情分析认识上：从学生的思维特点看，易与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点
2、等方面进行类比，但本节公式的推导与等差数列前n 项和的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，还应强调 q=1 的特殊情况。能力上：教学对象是高一学生，在课堂教学过程中，应注重过程、激发兴趣、发展学生的个性思维品质和实践能力，还应注意学生缺乏冷静、深刻，易片面、不严谨。情感态度：注意引导学生自主探究意识、培养学生处理问题时创新和实践能力及思维的严谨性三、教学目标知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题能力与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、
3、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，让学生体验数学学习带来的自信和成功感，提到对数学的兴趣，树立学好数学的信心。通过分类讨论的思想培养学生思维的严谨性。通过发散思维的教学，培养学生思维灵活性。四、教学重点、难点教学重点：等比数列前 n 项和公式的推导与应用。教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点五、学法与教法学法：合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨解决问题的途径。（引课问题的处理。）自主探究：引导学生通过
4、自己动脑解决相应问题（例题，变式练习的处理。）启迪思维：引导学生寻求多种方法解决问题，开阔思维。培养能力。教法：创设情境：提出问题，鼓励学生合作讨论，通过自己的努力解决问题，激发进一步深入学习的兴趣和欲望。启发引导：组织学生分组探索，获得等比数列前n 项和公式的推导的多种方法。例题选讲：针对知识点精选例题，初步掌握公式运用。变式强化：深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。归纳总结：鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得以提高和发展。六、教学过程（一）创设情景、引入新课印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第 1 个格子里放 1 颗麦粒，在第 2 个格子里放 2
5、 颗麦粒，在第 3 个格子里放 4 颗麦粒，在第 4 个格子里放 8 颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2 倍，直到第64 个子，请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国王有能力满足发明者的上述要求吗？设计意图：源于历史，富有人文气息.图中算数，激发学习兴趣.承上启下，探讨求和方法23631+2+2+2+2（二）初步探索，体会方法探讨 1：263S6412 2 2有何特征？探讨 2：如果把每一项都乘以 2 有何变化？让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这
6、儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机由刚才的分析可知：实际上就是一个以1 为首项，2 为公比的等比数列的前64 项的求和问题，即：（三）类比联想 推导公式首项为提出问题一：设等比数列an,a1,公比为 q,如 何求其前 n 项和？提出问题二：有没有其他方法推导等比数列前n 项和公式？提出问题三：(1 q)Sn a1(1 qn)或（1 q)Sn a1 anqa1(1 qn)能否得到Sn1 q为什么1、等比数列的求和公式一般地，设有等比数列：a1,a2,a3,an（错位相减）1qSn a1anq1qSna1a1qn2、提取公因式：等比数列等比数列an,公比为公比为q,它的前它的前n项
7、和项和Sn a1 1 a2 2 a3 3 an 1 1 an2n 2n 1S a a q a q a q a qn11111 a1 q(a1 a1q a1qn 3 a1qn 2)a1 1 q(Sn a1qn 1)(1 1 q)Sn a1 1 a1 1qn 3、和比定理法：a a3 3a an na a2 2a a4 4 q q因为a a1 1a a2 2a a3 3a an n 1 1S Sn n a a1 1a2 a3 a4 an q q q所以S S a aa1 a2 a3 an 1n nn nna1q1a1 anqnq11 q设计意图：自主探究，体验成就；以疑导思，发展创新；强化理解，突
8、破难点（四）基础演练，提高认识1.口答填空：an等比，q为公比21（1）若 a1,q 则 Sn _33(2)若 a1 2,q 1,则 Sn _2.判断正误：1 (1 2n)2n1）1 2 2 2（1 2n1 2n 1(2)1 2 4 8 16 (2)1 (2)设计意图:新颖基础练习；深化理解认识；激发学习热情。(五)变式训练、深化认识例 1:求等比数列1,1,1,1,前 8项和；248 16变式练习：631,1,1,1,1、等比数列 前多少项的和是?2 4 8 16642、等比数列1,1,1,1,求第 5项到第 10 项的和.2 4 8 16采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通
9、过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识设计意图:选用公式；变用公式；理解内化（六）循序渐进、延伸拓展例 2：求和1+a+a2+a3+an-1.变式练习：求和111（1)(2 2)(n n)(n Nx 0 xxx该题有助于培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想 训练学生注意考察 q 是否为 1 的情况，突破易错点。设计意图：S含参问题，分类讨论；逐层深化，发展思维；突破难点，提高素养。（七）归纳总结、内化知识等比数列前 n 项和求和公式。推导数列求和公式的错位相减法、提取q 法、和比定理法。对含字母的等比数列要注意考察q 是否为 1。作业布置：必做：P50 练习 A 1、2选做：23nx 2 x 3 xnx(x 0)必做题，有助学生课后巩固提高，选作题是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间