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1、.1/7 椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点 P 到二焦点的距离之积|21PFPF取得最大值的点是椭圆短轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点.例 1、椭圆192522yx上一点到它的二焦点的距离之积为m,则m取得的最大值时,P 点的坐标是.P0,3或0,-3 例 2、已知椭圆方程12222byax222,0cbaba p 为椭圆上一点,21,FF是椭圆的二焦点,求|21PFPF的取值 X 围.分析：22221)(|xeaexaexaPFPF,)|(|ax 当ax时,min21|PFPF=222bca,当0 x时,2max21|aPFPF 即2b|21PFPF2a 2、椭圆上到的椭圆内一个
2、定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数.例 3、已知)1,1(A,1F、2F是椭圆15922yx的左右焦点,P 为椭圆上一动点,则|2PFPA 的最大值是,此时P 点坐标为.|2PFPA 的最小值是,此时 P 点坐标为.3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点.例 4、已知)1,1(A,1F是椭圆15922yx的左焦点,P 为椭圆上一动点,则.2/7|1PFPA 的最小值是,此时 P 点坐标为
3、.|1PFPA 的最大值是,此时 P 点坐标为.分析：|2121AFPFPFPFPA,当 P 是2AF的延长线与椭圆的交点时取等号.|2121AFPFPFPFPA,当 P 是2AF的反向延长线与椭圆的交点时取等号.4、椭圆上的点 P 到定点 A 的距离与它到椭圆的一个焦点 F 的距离的e1倍的和|1|PFePA 的最小值 e为椭圆的离心率,可通过edPF|转化为dPA|d为 P 到相应准线的距离最小值,取得最小值的点是 A 到准线的垂线与椭圆的交点.例 5、已知定点)3,2(A,点 F 为椭圆1121622yx的右焦点,点 M 在该椭圆上移动,求|2|MFAM 的最小值,并求此时 M 点的坐标
4、.例 6、已知点椭圆192522yx与点)0,3(),2,2(BA,),(yxP为椭圆上一个动点,则|5|3PBPA 的最小值是.5、以过椭圆中心的弦的端点与椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形.例 7、过椭圆12222byax222,0cbaba的中心的直线交椭圆于BA,两点,右焦点)0,(2cF,则2ABF的最大面积是.例 8、已知 F 是椭圆22525922yx的一个焦点,PQ 是过原点的一条弦,求PQF面积的最大值.6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形.3/7 例 9、P 为椭圆12222bya
5、x222,0cbaba一点,左、右焦点为)0,(1cF)0,(2cF,则21FPF的最大面积是.7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形.例 10、已知 A 是椭圆22525922yx的长轴一个端点,PQ 是过原点的一条弦,求APQ面积的最大值.8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式与椭圆方程联立化为求函数最值问题.例 11、设 O 为坐标原点,F 是椭圆192522yx的右焦点,M 是 OF 的中点,P为椭圆上任意一点,求|MP的最大值和最小值.例 12、椭圆中心在原点,长轴在x轴上,23e,已知
6、点)23,0(P到这个椭圆上的最远距离是7,求椭圆方程.9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点.exar1)|(|ax 为x的增函数,exar2)|(|ax 为x的减函数,ax时,22,rr分别取得最大值ca和最小值ca.例 13、椭圆192522yx上的点到右焦点的最大值,最小值.10、椭圆上的点到定直线的距离最近与最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点.例 14、已知椭圆8822 yx,在椭圆上求一点 P,是 P 到直线04:yxl的距离最小,并求最小值.4/7 11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角.X 围大于
7、等于00,小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角.分析：aPFPF2|21|21PFPF2a 等号成立的条件：aPFPF|21,即 P 点为短轴的端点.例 15、已知椭圆 C：12222byax)0(ba,两个焦点为22,FF,如果 C 上有一点 Q,使021120QFF,求椭圆的离心率的取值 X 围.例 16、如图所示,从椭圆12222byax)0(ba上一点 M 向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点1F,且它的长轴的端点 A 短轴的端点 B 的连线 AB 平行于OM.1求椭圆的离心率 2设 Q 为椭圆上任意一点,2F为椭圆的右焦点,求21QFF的 X 围.3当ABQF 2时,延长2QF与
8、椭圆交于另一点P,若PQF1的面积为320,求此椭圆方程.12、椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角.X围为大于2,小于它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角.例 17、已知椭圆 C：12222byax)0(ba,长轴的两个端点为 A、B,如果 C上有一点 Q,使0120AQB,求椭圆的离心率的取值 X 围.13、点 P 在椭圆上,nymxunm,为常数的最大值或最小值分别是直线0unymx与椭圆相切时u的值.5/7 例 18、已知点),(yxP在12514422yx上的点,则yxu的取值 X 围是.14、点 P 在椭圆上,nxmyu
9、nm,为常数的最大值或最小值分别是直线mnxuy)(与椭圆相切时的斜率.例 19、点),(yxP在椭圆4)2(422yx上,则xy的最大值,最小值.例 20、点),(yxP在椭圆192522yx上,则46yxt的最大值,最小值.15、xbyxaxysincos00的最大值或最小值是直线00)(yxxky与椭圆sincosbyax相切时切线的斜率.例 21、求xxycos24sin3的最大值、最小值 16、椭圆的平行弦、过定点弦等弦长最值问题与有关弦长的最值问题：例 22、求直线1 kxy被椭圆1422 yx所截得弦长的最大值.例 23、NMQP,四点均在椭圆上,椭圆方程为：1222 xy,F为
10、椭圆在y轴正半轴的焦点,已知FQPF,共线,FNMF,共线,且021PFPF,求四边形PMQN面积的最小值.17、利用方程元的 X 围求有关最值问题：例 24、已知椭圆方程为1y222x,求过点 P0,2的直线交椭圆于不同两点 A、B,PBPA,求的取值 X 围.），（331 18、其它有关最值 例 24、P为椭圆：12222byax)0(ba上一动点,若A为长轴的一个端点,B.6/7 为短轴的一个端点,当四边形OAPB面积最大时,求P点的坐标.例 25、已知椭圆131222yx和直线09:yxl,在l上取一点M,经过点M且以椭圆的焦点21,FF为焦点作椭圆,当M在何处时所作椭圆的长轴最短,并
11、求此椭圆方程.例 26、设椭圆12222byax)0(ba的两个顶点为)0,(),0(aBbA,右焦点为F,且F到直线AB的距离等于它到原点的距离,求离心率的取值 X 围.例 27、已知椭圆 C：)0(12222babyax,21,FF为其左右焦点,P 为椭圆C 上一点,xPF2轴,且21FPF的正切值为43 1求椭圆 C 的离心率.2过焦点2F的直线l与椭圆 C 交于点NM、,若MNF1面积的最大值为 3,求椭圆 C 的方程.解：cx代入)0(12222babyax得：aby2 又21FPF的正切值为43,所以),(2abcP,即432432222accaacb 注意到10ac,所以21ac 2设),(),(2211yxNyxM,过焦点2F的直线l的方程为cmyx,代入椭圆方程得：设11)1(922mmu,12mt,则)1(19tttu 由于)(tu在),1 上是增函数,所以10)1(uu,1u时取等号,即0m时.7/7 取等号,此时有2236101121ccSMNF,又MNF1面积的最大值为 3,故椭圆 C 的方程为：13422yx